Sup PCSI2 — Contrˆole 1998/08
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Exercice 1 (d’apr` es une ´ epreuve du concours Archim` ede 1998)
IDans tout cet exercice,ad´esigne un r´eel strictement positif.
Q1 Soit f ∈ C(R,R). Justifiez l’existence deFa : x ∈ R 7→ 1 2a
Z x+a
x−a
f(t)dt et son appartenance `aC1(R,R).
ExplicitezFa0(x).
INous noteronsTa l’application qui, `af ∈ C(R,R), associeFa. Q2 Que pensez-vous respectivement des trois expressions suivantes :
E1= Ta(f)
(x) E2=Ta f(x)
E3=Ta(f)(x) Q3 Montrez que Ta est un endomorphisme deC(R,R).
Q4 Ta est-il injectif ? Q5 Ta est-il surjectif ?
Q6 Que pouvez-vous dire de Fa sif est constante ? Sif est paire ? Sif est impaire ? Si f est monotone ? Q7 Montrez que C∞(R,R) est une partie deC(R,R) stable parTa.
INous nous int´eressons `a l’ensembleHa desf ∈ C(R,R) qui sont invariants parTa:Ta(f) =f. Q8 Montrez que Ha est un sous-espace vectoriel deC(R,R).
Q9 Montrez que ce sous-espace vectoriel ne se r´eduit pas `a la fonction nulle.
Q10 Soitf un ´el´ement deHa, de classeC1(R,R). Montrez que f0 est elle aussi dansHa.
Q11 Montrez que, sif est p´eriodique de p´eriodeτ, alorsTa(f) est ´egalement p´eriodique de p´eriodeτ. ISif : R7→Rest une fonction born´ee, on noteM(f) la borne sup´erieure de|f|:M(f) = sup
x∈R
f(x) . Q12 Notonsϕ: x∈R7→ 1
1 +x2 etψ=Ta(ϕ). Explicitezψ(x). D´eterminezM(ϕ) etM(ψ).
Q13 Soitf ∈ C(R,R) ; on supposef born´ee. Montrez queTa(f) est elle aussi born´ee, et queM Ta(f)
6M(f).
Donnez un exemple o`u cette in´egalit´e est stricte.
INous identifierons un polynˆomeP ∈R[X] et la fonction polynˆome associ´eex∈R7→P(x).
Q14 SoitP un polynˆome non nul, de degr´enet de coefficient dominantc. Montrez queTa(P) est ´egalement un polynˆome ; pr´ecisez son degr´e et son coefficient dominant.
Q15 Montrez queTa induit un automorphismeTa,n deRn[X].
Q16 Quelle est la trace deTa,n?
Q17 Montrez queTa induit un automorphismeTa deR[X].
Q18 Dans cette question, nous fixonsa = 1 et n= 3. Explicitez la matrice de T1,3 dans la base canonique de R3[X].
Tournez S.V.P.
Exercice 2 (concours ESCP voie scientifique 1998)
Q1 Montrez qu’il n’existe aucune matriceA carr´ee d’ordre 2, `a coefficientscomplexes, telle queA2= 0 1
0 0
. ISoientE unR-e.v. etf un endomorphisme de E. Nous dirons qu’un endomorphismeg deEest une racine
carr´ee def sig2=f.
Q2 Quel nom portent les racines carr´ees deIdE?
ID´esormais,E=Rn, avecn>2. Notons B= (ei)16i6n la base canonique de Rn, etf l’endomorphisme de E d´efini parf(e1) =−→0 etf(ei+1) =ei pouri∈[[1,n−1]].
Q3 Repr´esentez la matrice def dans la baseB.
Q4 D´eterminez le noyau et l’image def; vous donnerez une basetr`es simple de chacun de ces sous-espaces.
Q5 Calculez fk(ei) pour i et k appartenant `a [[1,n]] ; vous distinguerez deux cas de figure selon les valeurs respectives deiet k.
Q6 Que pouvez-vous dire de fn?
INous nous proposons de montrer quef ne poss`ede pas de racine carr´ee. Nous allons raisonner par l’absurde, en supposant qu’il existe un endomorphismeg deE tel que g2=f.
Q7 Prouvez queg n’est pas bijectif.
Q8 Prouvez queg etg2 ont mˆeme noyau.
Q9 Prouvez queg etg2 ont mˆeme image.
Q10 Montrez queginduit un automorphisme de img.
Q11 En observantg2n, mettez en ´evidence une contradiction et concluez.
[Contr^ole 1998/08] Compos´e le 13 mai 2006
