MT09 - A2010 - Examen m´edian - Questions de cours
Dur´ee : 30mn. Sans documents ni machines `a calculer - R´ediger sur l’´enonc´e NOM PRENOM :
ATTENTION, il y a trois exercices pour cette partie questions de cours ! Exercice 1 (bar`eme indicatif : 1 point)
Soit la matriceA=
1 0
−1 4
4 1
. CalculerkAk1,kAk∞ etkAk2.
Exercice 2 (bar`eme indicatif : 2 points)
1. Donner la d´efinition de matrice `a diagonale strictement dominante.
2. Montrer que les coefficients diagonaux d’une matrice `a diagonale strictement dominante sont non nuls.
3. SoitA∈ Mnn(IR). Soit J la matrice d´efinissant les it´erations de Jacobi appliqu´ee `a un syst`eme lin´eaire de matriceA. Exprimer la norme kJk∞ en fonction des coefficients de A.
4. En d´eduire que la m´ethode de Jacobi converge lorsqueA est `a diagonale strictement dominante.
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Exercice 3 (bar`eme indicatif : 2 points) Soit A∈ M22(IR), d´efinie par A=
1 1 1 +ε 1
, o`uε∈IR.
1. CalculerkAk∞.
2. Calculer l’inverse deA, en r´esolvant deux syst`emes lin´eaires de matrice A.
3. Calculer le conditionnement deA pour la norme k.k∞.
4. Que peut-on en conclure pour la pr´ecision obtenue sur la solution deAx=b, quandεest petit ? Ce r´esultat est-il surprenant ?
MT09 - A2010 - Examen m´edian
Dur´ee : 1h30. Seuls les polycopi´es de cours et de Scilab sont autoris´es.
Barˆeme de la question de cours d´ej`a trait´ee : 5 points
Le r´esultat de toute question peut ˆetre admis pour r´esoudre les suivantes.
TRAITER CHACUN DES TROIS EXERCICES SUR UNE COPIE SEPAR ´EE.
Exercice 1: (bar`eme indicatif : 5 points) CHANGER DE COPIE
Toutes les matrices de cet exercice seront des matrices carr´ees `an lignes etn colonnes.
Soit A la matrice d´efinie par :
A= 1 h
4 1 0 · · · 0 1 4 1 · · · 0 ... . .. ... ... ... ... · · · 1 4 1
· · · 0 1 4
o`un eth satisfont la relation nh= 1.
1. CalculerkAk∞. 2. On poseA= 4
h(I+N), o`u I est la matrice identit´e. Donner N et calculerkNk∞. 3. Soitk.k, une norme matricielle subordonn´ee.
(a) Montrer quekIk= 1.
(b) Soit E une matrice carr´ee. On admettra que, lorsque kEk < 1, la matrice I +E est inversible. V´erifier l’identit´e :
(I+E)−1=I −(I+E)−1E.
En d´eduire que
k(I+E)−1k ≤ 1 1− kEk.
4. Utiliser le r´esultat pr´ec´edent pour obtenir une majoration dekA−1k∞. 5. En d´eduire une majoration du conditionnement de A, pour la norme k.k∞.
6. Que peut-on en d´eduire sur le comportement de ce conditionnement, lorsqueh→0 ?
Exercice 2 (bar`eme indicatif : 6 points)CHANGER DE COPIE
Soit f : [−π/2, π/2] → [−1,0] la fonction d´efinie par : f(x) = cosx−1. On d´esire r´esoudre num´eriquement l’´equation f(x) = 0 par la m´ethode de Newton.
1. Quelle est la racine de cette ´equation sur l’intervalle [−π/2, π/2] ? 2. ´Ecrire l’algorithme de la m´ethode de Newton pour cette ´equation.
3. On rappelle que pourxpetit cosx−1 et sinxse comportent comme−x2/2 etx respectivement.
Soit alors g la fonction qui d´efinit les it´erations de Newton. Calculer g0 au point fixe de la fonctiong. On pourra ˆetre conduit `a faire un passage `a la limite pour lever une ind´etermination.
Que constatez-vous ?
T. S. V. P.
4. On d´esire cette fois-ci utiliser, pour r´esoudre la mˆeme ´equation, la m´ethode de point fixe d´efinie par la fonction h(x) =x−2f(x)/f0(x). Quel est le point fixe de la fonction h ? Calculerh0 en ce point fixe. Que constatez-vous ?
5. ´Ecrire une fonction Scilab qui mette en œuvre le deuxi`eme algorithme, uniquement pour la fonction f(x) = cosx−1 de cet exercice : on ne passera ni f ni f0 en param`etre, on utilisera directement leurs expressions dans le corps de la fonction. On pr´ecisera bien :
• L’en-tˆete de la fonction : les param`etres d’entr´ee et de sortie,
• Comment on arrˆete les it´erations.
Exercice 3 (bar`eme indicatif : 4 points)CHANGER DE COPIE
Soit A∈ M33(IR) la matrice d´efinie par A=
1 −1 0
ε−1 1 0
0 −1 3
.
1. Montrer que cette matrice admet une d´ecomposition LU.
2. Calculer cette d´ecomposition en utilisant l’algorithme d’´elimination de Gauss.
3. Utiliser cette d´ecomposition pour r´esoudre le syst`emeAx=bavec b= (0ε2)T. 4. La solution obtenue d´epend-elle de ε? Pouvez-vous expliquer ce r´esultat ?
