L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Notes sur les syst` emes lin´ eaires
Table des mati` eres
1 Forme g´en´erale d’un syst`eme lin´eaire, syst`emes ´equivalents 1
2 Op´erations ´el´ementaires 2
3 Transformation d’un syst`eme en un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent et rang 3
4 Nombre de solution(s) d’un syst`eme 6
1 Forme g´ en´ erale d’un syst` eme lin´ eaire, syst` emes ´ equivalents
D´efinition (syst`eme lin´eaire) :Un syst`eme lin´eaire `ap´equations etninconnues est un syst`eme de la forme
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+. . .+a2nxn=b2
. . . . ap1x1+ap2x2+. . .+apnxn=bp
o`u x1, . . . , xn sont les inconnues du syst`eme, a11, a12, . . . , apn sont des r´eels, appel´es coefficients du syst`eme, b1, b2, . . . , bpsont des r´eels qui forment le second membre du syst`eme.
Remarque : On peut ´ecrire un syst`eme sous forme matricielle. Ce lien syst`eme ↔matrices est tr`es riche et sera retravaill´e intensivement plus tard. Il n’est pas ´evoqu´e dans ce texte.
Exemple :Le syst`eme
(S) :
2x1−x2+x3 = 7
−x1+ 3x2+x3 = 0 a 2 lignes, 3 inconnues, des coefficients sont a11= 2 a12=−1 a13= 1
a21=−1 a22= 3 a23= 1 et son second membre 7
0
. Probl´ematique :On souhaite d´eterminer le nombre de solution(s) et l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire donn´e.
Remarque cl´e :Certains syst`emes sont tr`es simples `a r´esoudre : les syst`emes ´echelonn´es. La d´efinition pr´ecise d’un syst`eme ´echelonn´e sera donn´ee plus loin. Dans un premier temps, on peut penser `a un syst`eme ´echelonn´e comme un syst`eme qui a une forme d’escalier.
Exemple (r´esolution d’un syst`eme ´echelonn´e) :Soit le syst`eme (S) :
x1 + 3x2 − 2x3 = 0 3x2 − x3 = 1 2x3 = 4
.
Ce syst`eme est ´echelonn´e. Pour le r´esoudre on proc`ede comme suit≪en remontant≫. De la ligne 3, on d´eduit quex3= 2.
Dex3= 2 et de la ligne 2, on d´eduit que 3x2= 1 +x3= 1 + 2 et doncx2= 1.
Dex2= 1,x3= 2 et de la ligne 1, on d´eduit quex1=−3x2+ 2x3=−3×1 + 2×2. Doncx1= 1.
(S) poss`ede donc une solution unique (1; 1; 2).
D´efinition :Deux syst`emes (S1) et (S2) sont dits ´equivalents s’ils poss`edent le mˆeme ensemble de solutions.
On note (S1)⇐⇒(S2) pour dire que les syst`emes (S1) et (S2) sont ´equivalents.
Remarque :Pour solutionner le probl`eme que l’on consid`ere, on va chercher `atransformer le syst`eme que l’on consid`ere en un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent (qui est plus ≪simple≫ `a r´esoudre).
2 Op´ erations ´ el´ ementaires
Les op´erations ´el´ementaires sont des transformations des lignes d’un syst`eme. Elles sont de trois types. On va parall`element les expliquer pour un syst`eme g´en´eral (Sg) et les illustrer sur un syst`eme exemple (Se).
(Sg) :
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn=b1 (L1) a21x1+a22x2+. . .+a2nxn=b2 (L2) . . . .
ap1x1+ap2x2+. . .+apnxn=bp (Lp)
(Se) :
2x1 + x2 − x3 = 2 (L1)
x1 − x2 + 3x3 = 0 (L2)
x1 + 3x2 − 2x3 = 1 (L3)
Op´eration ´el´ementaire 1 : multiplication d’une ligne par un r´eel non nul Soitk∈R∗. La ligne obtenue en multipliant la ligne Sur (Se)
ai1x1+ai2x2+. . .+ainxn =bi (Li) du syst`eme parkest not´ee k(Li). C’est la ligne
kai1x1+kai2x2+. . .+kainxn =kbi k(Li).
On note (Li) ← k(Li) (on met k(Li) `a la place de (Li)) la transformation qui consiste `a remplacer la ligne (Li) par la lignek(Li) dans le syst`eme.
2x1 + x2 − x3 = 2 (L1)
3x1 − 3x2 + 9x3 = 0 (L2)←3(L2) x1 + 3x2 − 2x3 = 1 (L3)
Op´eration ´el´ementaire 2 : ´echange de deux lignes
On note (Li)↔(Lj) (on met (Li) `a la place de (Lj)
Sur (Se) et r´eciproquement) la transformation qui consiste `a
´echanger les deux lignes (Li) et (Lj) du syst`eme.
x1 + 3x2 − 2x3 = 1
x1 − x2 + 3x3 = 0 (L1)↔(L3) 2x1 + x2 − x3 = 2
Op´eration ´el´ementaire 3 : addition `a une ligne d’un multiple d’une autre
Soitλ∈Ret soientietjdeux indices de lignes distincts. Sur (Se) On note (Li) +λ(Lj) l’´equation
(ai1+λaj1)x1+(ai2+λaj2)x2+. . .+(ain+λajn)xn=bi+λbj
et (Li)←(Li) +λ(Lj) (on met (Li) +λ(Lj) `a la place de (Li)) la transformation qui consiste `a remplacer la ligne (Li) par la ligne (Li) +λ(Lj) dans le syst`eme.
2x1 + x2 − x3 = 2 (L1)
5x1 + x2 + x3 = 4 (L2)←(L2) + 2(L1) x1 + 3x2 − 2x3 = 1 (L3)
Th´eor`eme 1 (propri´et´e des op´erations ´el´ementaires) :Toute op´eration ´el´ementaire 1. ´echange (Li)↔(Lj),
3. transformation (Li)←(Li) +λ(Lj) (i6=j) transforme un syst`eme en un syst`eme ´equivalent.
Remarques
1. Ce th´eor`eme est la cl´e pour pouvoir transformer un syst`eme quelconque en un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent (en un syst`eme ´equivalent que l’on sait r´esoudre simplement donc).
2. Si on fixe un indice de ligne et que l’on effectue successivement les op´erations (L1)←(L1) +λ1(Li)
...
(Li−1)←(Li−1) +λi−1(Li) (Li+1)←(Li+1) +λi+1(Li)
...
(Lp)←(Lp) +λp(Li)
sur les lignes d’indices diff´erents de i, o`u λ1, . . . , λi−1, λi+1, . . . , λp sont des r´eels, alors on obtient un syst`eme ´equivalent au syst`eme de d´epart (on r´ep`ete (p−1) fois une op´eration ´el´ementaire). On a donc :
(S) ⇐⇒
(L1) +λ1(Li) ...
(Li−1) +λi−1(Li) (Li) (Li+1) +λi+1(Li)
... (Lp) +λp(Li)
.
Ce type de transformation est `a la base d’une m´ethode, appel´ee≪pivot de Gauß≫, qui permet de trans- former un syst`eme quelconque en un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent. On observera que la ligne (Li) reste inchang´ee ; on dit qu’elle sert de pivot.
Attention :Dans la derni`ere remarque ci-dessus, on a appliqu´e plusieurs transformations ´el´ementaires simul- tan´ement. C’est le seul cas o`u on s’autorisera `a effectuer en mˆeme temps plusieurs op´erations ´el´ementaires, dans tous les autres cas on appliquera les op´erations ´el´ementaires une par une, successivement.
En effet appliquer simultan´ement certaines op´erations ´el´ementaires peut transformer un syst`eme en un syst`eme non ´equivalent. Par exemple, si l’on applique simultan´ement les tranformations (L1)←(L1) + (L2) et (L2)← (L2) + (L1) au syst`eme (S) :
x = 0
y = 0 (qui a pour unique solution (0; 0)) on obtient le syst`eme x + y = 0
x + y = 0 qui a une infinit´e de solutions (son ensemble solution est {(x;−x) : x∈R}). Ces deux syst`emes ne sont donc pas ´equivalents.
3 Transformation d’un syst` eme en un syst` eme ´ echelonn´ e ´ equivalent et rang
D´efinition formelle d’un syst`eme ´echelonn´e :Soit (S) un syst`eme lin´eaire `ap´equations etninconnues
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn=b1 (L1) a21x1+a22x2+. . .+a2nxn=b2 (L2) . . . .
ap1x1+ap2x2+. . .+apnxn=bp (Lp)
On dira que (S) est ´echelonn´e si pour chaque indice de ligneil’une des conditions suivantes est v´erifi´ee.
• Cas o`u lesai1, . . . , ainsont tous nuls.
Les coefficients
ai1 . . . ain
a(i+1)1 . . . a(i+1)n
... . .. ... ap1 . . . apn
sont tous nuls.
1`ere colonne n-i`eme colonne i-`eme ligne (i+ 1)-`eme ligne
p-i`eme ligne
≪que des z´eros dans la zone gris´ee≫
• Cas o`u lesai1, . . . , ainne sont pas tous nuls.
Les coefficients
ai1 . . . ai(j−1)
a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j
... . .. ... ... ap1 . . . ap(j−1) apj
sont tous nuls, o`uj est le premier indice de colonne tel que aij 6= 0.
1`ere colonne j-i`eme colonne i-`eme ligne (i+ 1)-`eme ligne
p-i`eme ligne
≪que des z´eros dans la zone gris´ee≫
D´efinition moins formelle d’un syst`eme ´echelonn´e :Soit le syst`eme
(S) :
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn =b1 (L1) a21x1+a22x2+. . .+a2nxn =b2 (L2) . . . .
ap1x1+ap2x2+. . .+apnxn=bp (Lp) Le syst`eme (S) est dit ´echelonn´e si chaque ligne de la matrice de ses coefficients
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . ap1 ap2 . . . apn
⋆ est nulle, si la pr´ec´edente est nulle,
⋆ d´ebute par davantage de 0 que la ligne pr´ec´edente, si la ligne pr´ec´edente n’est pas nulle.
Exemples et contre-exemple :Les syst`emes (S1) et (S2) sont ´echelonn´es, le syst`eme (S3) ne l’est pas.
x+y−z = 0
−y+z = 2
7x+ 2y+z = 1 2y−z = 0
−x+ 6y−9z = −3
−z = 2
D´efinition (rang d’un syst`eme ´echelonn´e) :Le rangrd’un syst`eme ´echelonn´e `ap´equations etninconnues est ´egal au nombre d’´equations qui n’ont pas un premier membre nul. (On a donc 0≤r≤p.)≪rest donc ´egal au nombre de marches si le symbole d’´egalit´e n’est pas atteint, et est ´egal au nombre de marches n´ecessaires pour atteindre le premier symbole d’´egalit´e s’il est atteint.≫
Exemples : On consid`ere `a nouveau les deux syst`emes ´echelonn´es (S1) et (S2) donn´es en exemple ci-dessus.
Le rang de (S1) est 3 et le rang de (S2) est 2.
Remarques
1. Comme on le verra plus loin, le rang d’un syst`eme renseigne sur le nombre de solution(s) de celui-ci (cf.
Th´eor`emes 3, 4 et 5).
2. Le rang d’un syst`eme ´echelonn´e ne d´epend pas de son second membre.
Propri´et´e du rang d’un syst`eme ´echelonn´e : r≤netr≤p.
Th´eor`eme 2
1. Tout syst`eme (S) `ap´equations etninconnues peut ˆetre transform´e par une suite d’op´erations ´el´ementaires en un syst`eme ´echelonn´e (S′) `ap´equations etninconnues ´equivalent.
2. Soient (S1) et (S2) deux syst`emes ´echelonn´es `a p´equations et ninconnues. Si (S1)⇐⇒(S2), alors (S1) et (S2) ont mˆeme rang.
Remarque : On va voir, sur l’exemple suivant, un algorithme, appel´e algorithme du pivot de Gauß, qui va nous permettre de transformer tout syst`eme en un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent.
Exemple :Soit (Σ) le syst`eme
2x + 3y + 5z = 8
x + 4y + 5z = 2
x + y − 10z = 2
.On transforme (Σ) en un syst`eme ´echelonn´e
´equivalent, `a l’aide d’op´erations ´el´ementaires, comme suit.
(Σ) ⇐⇒
x + 4y + 5z = 2
2x + 3y + 5z = 8 (L1)↔(L2)
x + y − 10z = 2
⇐⇒
x + 4y + 5z = 2
−5y − 5z = 4 (L2)←(L2)−2(L1)
−3y − 15z = 0 (L3)←(L3)−(L1)
⇐⇒
x + 4y + 5z = 2
−y − z = 4
5 (L2)← 1 5(L2)
−3y − 15z = 0
⇐⇒
x + 4y + 5z = 2
−y − z = 4
5 (ce syst`eme est ´echelonn´e)
− 12z = −12
5 (L3)←(L3)−3(L2)
D´efinition (rang d’un syst`eme quelconque) :Soit (S) un syst`eme `ap´equations etninconnues. Alors (S) est ´equivalent `a un syst`eme ´echelonn´e (S′) `ap´equations etninconnues et le rang de (S), not´er, est le rang du syst`eme (S′). D’apr`es le th´eor`eme 2,rne d´epend pas du choix de (S′).
Exemple :On consid`ere `a nouveau l’exemple pr´ec´edent du syst`eme (Σ).
Le syst`eme ´echelonn´e
x + 4y + 5z = 2
−y − z = 4/5
− 12z = −12/5
est ´equivalent `a (Σ) et a pour rang 3. Par cons´equent le rang de (Σ) lui-mˆeme est 3.
Propri´et´e du rang d’un syst`eme quelconque :r≤n etr≤p.
Remarques
1. En pratique, pour d´eterminer le rang d’un syst`eme (S) donn´e, on le transforme, par des op´erations
´el´ementaires, en un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent (S′) et on compte alors le nombre d’´equations de (S′) qui ont un premier membre non nul.
2. Le rang d’un syst`eme ne d´epend pas de son second membre.
4 Nombre de solution(s) d’un syst` eme
D´efinition (syst`eme homog`ene) :Un syst`eme est dit homog`ene si son second membre est nul.
Exemple :Le syst`eme
4x − y + z = 0
7x + 3y − z = 0 est homog`ene.
Remarque : Un syst`eme homog`ene `a p´equations et ninconnues a toujours une solution : x1 =x2 =· · · = xn = 0.
Th´eor`eme 3 (nombre de solution(s) d’un syst`eme homog`ene) : Soit (S) un syst`eme homog`ene `a p
´equations etninconnues. On noterle rang de (S).
1. Si n=r, alors (S) admet une unique solution
0
... 0
.
2. Si n > r, alors (S) admet une infinit´e de solutions (le nombre de≪param`etres≫ est donn´e parn−r).
Exemple :Le syst`eme (S) :
−x + y − 4z = 0
2x − 7y + 3z = 0 est un syst`eme homog`ene qui a une infinit´e de solutions. En effet, son rangrest plus petit que p= 2, le nombre de ses lignes. On a doncn= 3> r, o`unest le nombre d’inconnues.
Th´eor`eme 4 (syst`eme de Cramer) :Soit (S) un syst`eme (pas n´ecessairement homog`ene) `an´equations etn inconnues. Si son rangrest ´egal `a n, (S) est appel´e≪syst`eme de Cramer≫, et il poss`ede une solution unique.
Exemple :Le syst`eme (Σ) consid´er´e ci-avant est un syst`eme de Cramer.
Th´eor`eme 5 (nombre de solution(s) d’un syst`eme quelconque) :Soit (S) un syst`eme (pas n´ecessairement homog`ene) `ap´equations etninconnues de rangr.
1. Si n=r, alors (S) poss`ede soit 0 soit 1 solution.
2. Si n > r, alors (S) poss`ede soit 0 soit une infinit´e de solutions (le nombre de≪param`etres≫ est donn´e parn−r).
Remarque :Dans tous les cas, un syst`eme poss`ede soit 0, soit 1, soit une infinit´e de solution(s).
