TD de syst` emes asservis n ◦ 10
Novembre - D´ ecembre 2004
1 Etude de la stabilit´ e
Un syst`eme est d´ecrit par sa repr´esentation d’´etat : X˙ =
−1 −2
−4 −3
.X+
2
0
.U Y =
1 0
0 2
.X
• Quel est l’ordre de ce syst`eme ?
• Donner le nombre d’entr´ees ? le nombre de sorties ?
• CalculereAt par le th´eor`eme de Caley-Hamilton
• Ce syst`eme est-il stable ?
2 Commande de trois bacs d’eau en cascade
Un syst`eme est compos´e de trois bacs en s´erie num´erot´es de 1 `a 3 (voir sch´ema 1). On appellenile niveau d’eau dans le bacietSi sa surface. Les vannesR1, R2et R3 sont libres et ouvertes et laissent passer un d´ebit d’eau proportionnel
`
a la diff´erence de hauteur entre les deux bacs. Par exemple, le d´ebit allant du bac 1 au bac 2 est deR1(n1−n2). (Rappel : cette propri´et´e lin´eaire n’est vraie qu’autour d’un point de fonctionnement et en ne consid´erant que de petites variations des hauteur - voir TD 1) Les bacs 1 et 3 sont aliment´es par un d´ebit d’entr´eeu1(t) etu3(t). La sortie est la hauteur du bac 2.
R1 R2 R3
n1 n2
n3
S 1 S 2 S 3
s(t)
u 1(t) u 3(t)
Figure 1: Sch´ema des trois bacs
Donner une repr´esentation d’´etat de ce syst`eme. (on prendra les variables n1,n2 etn3 comme variables d’´etat.
1
3 Syst` eme de type 2
Un syst`eme a une fonction de transfert : T(p) = Y(p)
U(p) = K p2.(1 +τ p)
On prendra comme application num´erique : K= 1 etτ = 100ms.
1. Donner l’ordre et le type de cette fonction de transfert 2. Etudier la stabilit´e en boucle ferm´ee de ce syst`eme ?
3. En choisissant les variables de phase, donner une repr´esentation d’´etat de ce syst`eme. D´efinir les variables d’´etat.
4. On souhaite stabiliser ce syst`eme par un retour d’´etat. Donner le cor- recteurG`a appliquer pour obtenir, en BF un syst`eme dont la fonction de transfert soit :
H(p) =Y(p)
R(p) = 1
(1 +τ p) (1 +p+p2) o`uR(p) est la consigne.
5. Compl´eter la figure 2. Si on n’a pas la r´eponse `a la question pr´ec´edente, on prendraG= [ g1 g2 g3 ].
R(p) ?=Y(p)
1/p 1/p
K 1 + Tp
?
? + + +
? ?
?
?
?
? ?
Figure 2: Sch´ema bloc
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