Corrig´ e du TD de SA n ◦ 10
Novembre - D´ ecembre 2004
1 Etude de la stabilit´ e
C’est un syst`eme d’ordre 2 qui a 1 entr´ee et 2 sorties. Les valeurs propres de la matriceAsontλ1= 1 etλ2=−5. D’apr`es le cours,
eA.t= Φ(t) =α0(t).I+α1(t).A avecα0 et α1 solution du syst`eme :
et = α0+α1
e−5t = α0−5α1 Ce qui donne : eAt= 1 6
4et+ 2e−5t 2e−5t−2et 4e−5t−4et 2et+ 4e−5t
Ce syst`eme est instable car A a une valeur propre positive. Autre preuve : limt→∞eAt→ ∞et non 0.
2 Commande des 3 bacs d’eau
Les ´equations d’´evolution des volumes d’eau dans les bacs donnent : S1.n˙1 = u1−R1(n1−n2)
S2.n˙2 = R1(n1−n2)−R2(n2−n3) S3.n˙3 = u3+R2(n2−n3)−R3n3
Ces ´equations peuvent se mettre sous la forme d’une repr´esentation d’´etat en prenant les variablesn1,n2 etn3 comme variables d’´etat.
X˙ =
−R1
S1
R1
S1 0
R1
S2
−R1+R2
S2
R2
S2
0 RS32 −R2+R3
S3
.X+
1 S1 0
0 0
0 S13
.U Y =
0 1 0 .X
Pour mettre en place une commande par retour d’´etat, il faut mesurer les niveaux des trois bacs. Dans une approche par fonction de transfert, vous n’utiliseriez que la sortie, c’est `a dire le niveau du bac 2.
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3 Syst` eme de type 2
Un syst`eme a une fonction de transfert :
T(p) = Y(p)
U(p) = K p2.(1 +τ p)
On prendra comme application num´erique : K= 1 etτ = 100ms.
1. Ordre 3, type 2.
2. Ce syst`eme ne sera pas stable en boucle ferm´ee. Le diagramme de Black en BO donne un d´ephasage toujours sup´erieur `a 180◦ on peut aussi calculer le d´enominateur de la BF et appliquer le crit`ere de stabilit´e.
3. Les variables d’´etat seront : la sortie y(t), sa d´eriv´ee ˙y(t) et sa d´eriv´ee seconde ¨y(t). La repr´esentation d’´etat sera
X˙ =
0 1 0
0 0 1
0 0 −1
τ
.X+
0 0
K τ
.U Y = [ 1 0 0 ]
4. La repr´esentation d’´etat en BF est :
X˙ =
0 1 0
0 0 1
−1
τ −1+τ
τ −1+τ
τ
.X+
0 0
K τ
.U Y = [ 1 0 0 ]
Le correcteur est le vecteurGtel queABF =ABO−B.G. Cela donne le correcteurG= [ K1 (1+τ)K Kτ ]
5. Ce correcteur sera mis en place en pla¸cant successivementg3,g2etg1dans les blocs de retour de la figure au lieu de ce qui est indiqu´e.
R(p) Y(p)
1/p 1/p
K 1 + Tp U(p)
- + + +
- -
1
1+T
T
x3 x2 x1
Figure 1: Sch´ema bloc du correcteur
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