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Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)
(2)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2

(3)
(4)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2

groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

(5)
(6)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2

groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

(7)
(8)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

(9)
(10)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

(11)
(12)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P

(13)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

(14)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

(15)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

(16)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

(17)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 .

(18)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 .

(19)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves

(20)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

(21)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

(22)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

(23)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

(24)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

(25)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

(26)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

s 2 s 1 A 0

(27)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

s 2 s 1 A 0

(28)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

s 2 s 1 A 0

(29)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

s 2 s 1 A 0

(30)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0

(31)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0

s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0

(32)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0

(33)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0

(34)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0

(35)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0

(36)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0

(37)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0 = t 2 A 0

(38)

Φ: Syst`eme de racines de type A dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0 = t 2 A 0

(39)

Groupe ´etendu W a : W e = W 0

n

P =

hin

W a ,

automorphisme de graphe

Alcˆ oves

A

: composantes connexes de V

nF

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W e sur les alcˆ oves Exemple :

s 3 s 1 s 2 s 1 s 3 A 0 s 2 s 1 A 0 = t 1 A 0 s 1 s 2

2 A 0 = t 2 A 0

`

( w ) :=

`

( w ) =

f

nombre d’hyperplans qui s´eparent A 0 et w A 0 }

(40)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

(41)
(42)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

(43)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

(44)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

(45)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

(46)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

(47)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

(48)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

(49)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

(50)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(51)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(52)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(53)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(54)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(55)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(56)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(57)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0

z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0

(58)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

(59)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

(60)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

.

(61)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

.

e

2 s 3

s 3

s 3

2

(62)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

. Consid´erons B 0

A .

A

(63)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

. Consid´erons B 0

A .

A

(64)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

. Consid´erons B 0

A . On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de translations de B 0

A

(65)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

. Consid´erons B 0

A . On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de translations de B 0

A

(66)

W =

hin

A ˜ 2 :

✟ ✟ ✟ ✟

❍ ❍

❍ ❍

s 1

s 3

s 2 W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

. Consid´erons B 0

A . On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de translations de B 0

A

(67)

z = e z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

z s 1 s 2 s 1 A 0 z

0

=

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

On pose B 0 1 =

f

e

;;

2

;

s 3

;

s 3

;

s 3

2

g

. Consid´erons B 0

A . On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de translations de B 0 Chaque ´el´ement de c 0 peut-ˆetre ´ecrit :

z t 1 n t 2 m w 0 z

0

1 ( z

;

z

0 2

B 0 )

e

2 s 3

s 3

s 3

2

(68)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2

(69)
(70)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2

groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

(71)
(72)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2

groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

(73)
(74)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

(75)
(76)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

(77)
(78)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

(79)
(80)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

(81)

Alcˆ ove fondamentale : A 0

(82)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Alcˆ ove fondamentale : A 0

(83)

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 .

(84)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 .

(85)

Alcˆ ove fondamentale : A 0

Faces de A 0 . Action de W a :

(86)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Alcˆ ove fondamentale : A 0 Faces de A 0 . Action de W a :

s 3 s 2 s 1 s 2 s 3 A 0

(87)

Alcˆ ove fondamentale : A 0 Faces de A 0 . Action de W a :

s 3 s 2 s 1 s 2 s 3 A 0

(88)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Alcˆ ove fondamentale : A 0 Faces de A 0 . Action de W a :

s 3 s 2 s 1 s 2 s 3 A 0

(89)

Alcˆ ove fondamentale : A 0 Faces de A 0 . Action de W a :

s 3 s 2 s 1 s 2 s 3 A 0

(90)

Φ: Syst`eme de racines de type G dans l’espace euclidien de dimension 2 groupe de Weyl W 0 =

h;2

Φ

i

=

h

s 1

;

s 2

i

F

famille d’hyperplans H

;

k =

f

x

2

V

jh

x

;

v

i

= n

g

groupe de Weyl affine W a =

h

s H

j

H

2Fi

=

h

s 1

;

s 2

;

s 3

i

= W 0

nh

Φ

i

Alcˆ ove fondamentale : A 0 Faces de A 0 . Action de W a :

s 3 s 2 s 1 s 2 s 3 A 0

(91)

Alcˆ ove fondamentale : A 0 Faces de A 0 . Action de W a :

s 3 s 2 s 1 s 2 s 3 A 0

(92)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

(93)
(94)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

(95)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

(96)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

(97)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

(98)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

(99)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

(100)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

(101)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

Chaque cˆ one z i

2

W

(102)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0

z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

Chaque cˆ one z i

2

W

(103)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0 Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

(104)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0 Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

(105)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0 Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

(106)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0 Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

(107)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de

translations de B 0

(108)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de

translations de B 0

(109)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de

translations de B 0

(110)

W = ˜ G 2 :

s 1

a

s 2 b

s 3

b W 0 :=

s 1 s 2 w 0 = s 1 s 2 s 1 s 1 s 2 s 1

c 0 =

f

w

2

W

j

w = z

:

w 0

:

z

0;

z

;

z

02

W

g

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de translations de B 0

Chaque ´el´ement de c 0 peut-ˆetre ´ecrit :

z t 1 n t 2 m w 0 z

0

1 ( z

;

z

0 2

B 0 )

(111)

z

0

= e z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 A 0 z

0

= s 3 s 2 z s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 3 s 2 A 0

Chaque cˆ one z i

2

W

On pose B 0 1 =

f

z i

j

i = 1

:::

12

g

On peut recouvrir le cˆ one `a l’aide de translations de B 0

Chaque ´el´ement de c 0 peut-ˆetre ´ecrit :

z t 1 n t 2 m w 0 z

0

1 ( z

;

z

0 2

B 0 )

(112)

M

0 =

h

C y

j

y

2

c 0

i

=

h

C z 1 t m

1 t 2 n w 0 z 2 1

j

n

;

m

2N;

z 1

;

z 2

2

B 0

i

(113)
(114)

M

0 =

h

C y

j

y

2

c 0

i

=

h

C z 1 t m

1 t 2 n w 0 z 2 1

j

n

;

m

2N;

z 1

;

z 2

2

B 0

i

On cherche V

;

B

;

tels que

M

0

'A

(V

;

B

;

)

”Clairement” V : module de dim

j

B 0

j

et B : Polynˆomes en t 1

;

t 2

(115)

On ”pense”

Φ :

A

(V

;

B

;

)

! M

0

v i

t 1 m t 2 n

v j

7 !

C z

i t 1 m t 2 n w 0 z j 1

(116)

M

0 =

h

C y

j

y

2

c 0

i

=

h

C z 1 t m

1 t 2 n w 0 z 2 1

j

n

;

m

2N;

z 1

;

z 2

2

B 0

i

On cherche V

;

B

;

tels que

M

0

'A

(V

;

B

;

)

”Clairement” V : module de dim

j

B 0

j

et B : Polynˆomes en t 1

;

t 2

Th´ eor` eme.

Il existe des ´el´ements P (z) (z

2

B ), P (t i ) de

H

tels que : P (z)C w 0 = C zw 0 and P (t i )C w 0 = C t i w 0

On ”pense”

Φ :

A

(V

;

B

;

)

! M

0

v i

t 1 m t 2 n

v j

7 !

C z

i t 1 m t 2 n w 0 z j 1

Références

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