Un syst` eme physique est d´ ecrit par un espace de Hilbert de dimension 3, dont une base orthonorm´ ee est {| 1 i, |2 i, | 3 i}.

(1)

S4-MIAS. Physique 2002-2003 Universit´ e Paris-Sud

TD 7 : La mesure en m´ ecanique quantique 1 Exercice 1

Un syst` eme physique est d´ ecrit par un espace de Hilbert de dimension 3, dont une base orthonorm´ ee est {| 1 i, |2 i, | 3 i}.

1. Dans cette base, deux observables H et B s’expriment comme :

H = E

₀







1 0 0

0 −1 0

0 0 −1





 et B = b







1 0 0 0 0 1 0 1 0





 , (1)

o` u E

0

et b sont des constantes positives.

a) Montrer que H et B commutent.

b) Donner une base de vecteurs propres communs aux observables en fonction de la base initiale ; ces vecteurs seront not´ es {| v

0

i, | v

+

i, | v

−

i}. Exprimer les observables H et B dans la nouvelle base.

2. On consid` ere maintenant deux observables L

_z

et S d´ efinies par leurs actions sur les vecteurs de la base :



 

 

L

_z

|1 i = | 1 i L

z

|2 i = 0 L

_z

|3 i = −| 3 i

et



 

 

S|1 i = |3 i S|2 i = |2 i S|3 i = |1 i

. (2)

a) ´ Ecrire ces deux observables en repr´ esentation matricielle.

b) On peut ´ egalement ´ ecrire ces op´ erateurs ` a l’aide des bras et kets de Dirac : L

z

= | 1 ih 1 | −

| 3 ih 3 |. ´ Ecrire S sous cette forme.

c) Calculer le commutateur [L

_z

, S].

d) Calculer L

²_z

et S

²

.

e) Donner la matrice la plus g´ en´ erale repr´ esentant un op´ erateur qui commute (i) avec L

z

, (ii) avec L

²_z

, (iii) avec S.

2 Mesures

Dans une base orthonorm´ ee {| 1 i, |2 i, | 3 i}, l’hamiltonien H et une grandeur physique D sont repr´ esent´ es par les matrices suivantes :

H = ∆







0 0 0

0 1 0

0 0 −1





 et D = d







1 0 0 0 0 1 0 1 0





 , (3)

o` u ∆ et d sont des constantes positives.

1. a) Si on proc` ede ` a une mesure de l’´ energie, quels r´ esultats de mesure peut-on obtenir ? Quel est l’´ etat du syst` eme apr` es la mesure ?

b) Mˆ eme question concernant une mesure de D.

1

(2)

2. On pr´ epare le syst` eme dans l’´ etat

| ψ

1

i = N (|1 i + | 2 i + | 3 i) . (4)

a) Quelle est la valeur de N ?

b) Quelle est la probabilit´ e pour qu’une mesure de l’´ energie donne 0 ?

c) Le r´ esultat d’une telle mesure est en effet 0. Quel est l’´ etat | ψ

₂

i du syst` eme apr` es la mesure ? d) Une mesure de D donnerait alors quel(s) r´ esultat(s) ? Avec quelle(s) probabilit´ e(s) ?

3. a) Quelle est la probabilit´ e pour que l’´ energie mesur´ ee soit +∆ si le syst` eme est initialement dans l’´ etat | ψ

1

i ? Quel est l’´ etat | ψ

3

i du syst` eme apr` es la mesure ?

b) Quels sont alors les r´ esultats possibles d’une mesure de D, avec leurs probabilit´ es associ´ ees ? c) On suppose que la mesure de D a donn´ e −d. Quel est est l’´ etat |ψ

₄

i du syst` eme apr` es la mesure ?

4. Valeur moyenne. On proc` ede ` a un grand nombre de mesures de l’´ energie sur le syst` eme pr´ epar´ e dans l’´ etat | ψ

1

i. Quelle est la valeur moyenne de l’´ energie pour toutes ces mesures ?

3 Mesure et ´ evolution temporelle

Dans l’exercice pr´ ec´ edent nous avons n´ eglig´ e l’´ evolution temporelle de l’´ etat du syst` eme en- tre chaque mesure. L’´ evolution du vecteur d’´ etat du syst` eme est gouvern´ ee par l’´ equation de Schr¨ odinger :

i¯ h ∂

∂t | ψ(t) i = H| ψ(t) i . (5)

1. L’hamiltonien poss` ede une base d’´ etats propres {|ϕ

_n

i}, i.e. H| ϕ

_n

i = E

_n

| ϕ

_n

i, o` u E

_n

sont les ´ energies propres du syst` eme. On peut d´ ecomposer le vecteur d’´ etat dans cette base :

|ψ(t) i = ^X

n

c

_n

(t)|ϕ

_n

i . (6)

Quelle est la d´ ependance temporelle des coefficients c

n

(t) ? 2. Dans une base orthonorm´ ee {| 1 i, |2 i, | 3 i}, l’hamiltonien est :

H = ¯ hω







0 0 0 0 0 1 0 1 0





 . (7)

a) On suppose que le syst` eme est initialement dans l’´ etat : |ψ(0) i = | 2 i. Donner l’expression de |ψ(t) i dans la base {| ϕ

0

i, | ϕ

+

i, | ϕ

−

i} des ´ etats propres de H, puis dans la base initiale {| 1 i, | 2 i, |3 i}.

b) Quelle est la probabilit´ e P

₂

(t) pour que le syst` eme soit dans l’´ etat |2 i ` a t ? 3. On reprend la question 2 avec : | ψ(0) i =

^√¹₂

(| 1 i + | 2 i).

a) Calculer | ψ(t) i dans la base de d´ epart.

b) ` A t = t

0

on mesure l’´ energie. On mesure 0. Avec quelle probabilit´ e ? Que vaut |ψ(t) i pour t > t

₀

?

c) Au lieu de trouver 0 on mesure +¯ hω ` a t = t

0

. Que vaut cette fois | ψ(t) i pour t > t

0

?

2