Exercice 1. Etudier le syst` ´ eme S :

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(1)

Universit´ e Paris Diderot Ann´ ee 2017-2018 MIAN

Interrogation

Exercice 1. Etudier le syst` ´ eme S :

x + 2z = 3 2x + y + 2z = 2 ax + y + z = 1

Pour quelles valeurs de a y a-t-il une solution ? Dans ce cas, ´ ecrire toutes les solutions du syst` eme, en fonction de a.

Solution :

On re-´ ecrit le syst` eme matriciellement et on applique la m´ ethode d’´ elimination de Gauss

1 0 2 3 2 1 2 2 a 1 1 1

 ∼

1 0 2 3

0 1 −2 −4

0 1 1 − 2a 1 − 3a

∼

1 0 2 3

0 1 −2 −4

0 0 3 − 2a 5 − 3a

On voit que si a = 3/2, la derni` ere ´ equation donne 0z = 1/2, qui est fausse. Donc, pas de solution.

Si a 6= 3/2, on trouve z = 5 − 3a

3 − 2a , y = −4 + 2z = 2a − 2

3 − 2a , x = 3 − 2z = 1

2a − 3 . (1) Exercice 2. Soient v

1

= (1, 2, 3) et v

2

= (1, 1, 1).

(i) ´ Ecrire l’´ equation param´ etrique du plan P qui contient v

1

et v

2

.

(ii) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de R

3

. D´ eterminer une base de P (justifier) et en d´ eduire sa dimension.

(iii) ´ Ecrire une ´ equation cart´ esienne du plan P .

(iv) Trouver une ´ equation param´ etrique pour les points (x, y, z) qui sont dans l’inter- section du plan P avec le plan Q d’´ equation x + y + z = 1.

Solution :

(i)

P =

~

v ∈ R

3

: ~ v = λ

 1 2 3

 + µ

 1 1 1

 avec λ, µ ∈ R

(2)

1

(2)

(ii) On a P = Vect({v

1

, v

2

}). ´ Evidement P ⊂ R

3

(sous-ensemble). Comme on a vu dans le cours, il est aussi un sous-espace vectoriel de R

3

: soient v, w ∈ P , qu’on

´

ecrira alors comme v = λ

1

v

1

+ µ

1

v

2

et w = λ

2

v

1

+ µ

2

v

2

pour certaines constantes λ

1

, λ

2

, µ

1

, µ

2

∈ R ; pour tous les α, β ∈ R :

αv + βw = α(λ

1

v

1

+ µ

1

v

2

) + β(λ

2

v

1

+ µ

2

v

2

) = (αλ

1

+ βλ

2

)v

1

+ (αµ

1

+ βµ

2

)v

2

(3) et donc αv + βw ∈ P .

L’espace engendr´ e par deux vecteurs (parfois dites “directeurs”) dans R

3

est un plan. Dans ce cas, comme on a dit, P = Vect({v

1

, v

2

}). ´ Evidement les vecteurs v

1

et v

2

ne sont pas colin´ eaires ; en fait, apr` es l’´ elimination de Gauss :

 1 1 2 1 3 1

 ∼

 1 1 0 1 0 0

 (4)

on trouve deux pivots. Donc {v

1

, v

2

} est une base de P et alors P a dimension 2 (cardinalit´ e de sa base).

(iii) Le point (x, y, z) ∈ R

3

appartient ` a P si et seulement si le syst` eme λ

 1 2 3

 + µ

 1 1 1

 =

 x y z

 (5)

a une solution (les inconnues sont λ, µ ∈ R ).

On fait pivot de Gauss :

1 1 x 2 1 y 3 1 z

 ∼

1 1 x

0 −1 y − 2x 0 −2 z − 3x

∼

1 1 x

0 −1 y − 2x 0 0 x − 2y + z

Alors ce syst` eme a une solution si et seulement si x − 2y + z = 0. Autrement dit, l’´ equation cart´ esienne de P est x − 2y + z = 0.

(iv)

P ∩ Q =

 x y x

 ∈ R

3

: x − 2y + z = 0 et x + y + z = 1

(6) Le points d’intersections correspond alors aux solutions du syst` eme

1 −2 1 0

1 1 1 1

∼

1 −2 1 0 0 1 0 1/3

∼

1 0 1 2/3 0 1 0 1/3

2

(3)

Alors z est une variable libre ; les solutions sont

 x y z

 =

 2/3 1/3 0

 + λ

−1 0 1

 o` u λ ∈ R . (7) Exercice 3. Soient v

1

= (5, 1, 2, 3), v

2

= (−1, 2, 3, −2), v

3

= (3, 5, 8, −1) et v

4

= (11, 0, 1, 8).

(i) Montrer que Vect({v

1

, v

2

}) = Vect({v

3

, v

4

}).

(ii) D´ ecrire l’espace F = Vect({v

1

, v

2

}) par un syst` eme d’´ equations cart´ esiennes.

(iii) Montrer que F est contenu dans G = {(x, y, z, w) ∈ R

4

| 11z+11w−9x−10y = 0}.

Est-ce que F = G ? Solution :

(i) Prenons les 4 vecteurs comme colonnes d’une matrice et faisons l’´ elimination de Gauss :

5 −1 3 11

1 2 5 0

2 3 8 1

3 −2 −1 8

∼

5 −1 3 11

0 11 22 −11

0 17 34 −17

0 −7 −14 7

∼

5 −1 3 11

0 1 2 −1

0 0 0 0

0 0 0 0

∼

5 0 5 10 0 1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0

∼

1 0 1 2 0 1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0

Si on consid` ere que les colonnes 1, 2 et 3, on obtient une solution au syst` eme αv

1

+ βv

2

= v

3

. En fait, ¸ca dit que

v

3

= v

1

+ 2v

2

. (8)

De fa¸con analogue, les colonnes 1, 2 et 4 impliquent que

v

4

= 2v

1

− v

2

. (9)

Alors, Vect({v

3

, v

4

}) ⊂ Vect({v

1

, v

2

}), car toute combinaison lin´ eaire de v

3

et v

4

peut s’´ ecrire comme combinaison lin´ eaire de v

1

et v

2

si on utilise (8)-(9).

De plus, les relations (8)-(9) sont inversibles. On en d´ eduit v

1

= 1

5 (v

3

+ 2v

4

) (10)

v

2

= 1

2 (v

3

− 1

5 (v

3

+ 2v

4

)). (11)

D’o` u Vect({v

1

, v

2

}) ⊂ Vect({v

3

, v

4

}).

3

(4)

(ii) (x, y, z, w) ∈ F si et seulement le syst` eme suivante a une solution

5 −1 x

1 2 y

2 3 z

3 −2 w

∼

5 −1 x

0 11 5y − x 0 17 5z − 2x 0 −7 5w − 3x

∼

5 −1 x

0 11 5y − x

0 0 (5z − 2x)/17 − (5y − x)/11 0 0 (5w − 3x)/(−7) − (5y − x)/11

Ce syst` eme a une solution ssi (5z − 2x)/17 − (5y − x)/11 = 0 et (5w − 3x)/(−7) − (5y − x)/11 = 0. En simplifiant, on obtient le syst` eme d’´ equations cart´ esiennes

−8x + 11w + 7y = 0 (12)

11z − x − 17y = 0 (13)

(iii) Il faut simplement v´ erifier que v

1

, v

2

∈ G, car G est un sous-espace vectoriel de R

4

et on a vu dans le cours que tout espace vectoriel que contient v

1

, v

2

contient aussi Vect({v

1

, v

2

}). Comme v

1

satisfait l’´ equation de G (11 ×2+11× 3−9×5−10×1 = 0), on d´ eduit que v

1

∈ G. Avec un calcul analogue, on preuve que v

2

∈ G.

F 6= G car la dimension de F est deux (comparer avec la partie (ii) de l’exer- cice pr´ ec´ edent) et la dimension de G est 3 (en g´ en´ eral, un hyperplan dans R

n

a dimension n − 1).

4

Figure

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