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Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2011-2012 Master 2 `eme ann´ee M´etiers de l’Enseignement en Math´ematiques

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2011-2012 Master 2 `eme ann´ee M´etiers de l’Enseignement en Math´ematiques

Pr´eparation ´ecrit analyse S´eance 4 : Int´egrale g´en´eralis´ee.

Exercice 1. Etudier l’int`egrabiliter des applications suivantes 1. f : x 7→ 1

x ( √

x 2 + x − 1 − √

x 2 − x + 1) sur [1, +∞[

2. f : x 7→ sin x + cos x

√ x 3 + 1 sur [0, +∞[ et f : x 7→ ln x

√ x 3 + 1 sur [1, +∞[

3. f : x 7→

r x 2 + 1

x 2 + x sur ]0, 1] et f : x 7→ 1 + x

√ x + x 2 sur ]0, 1]

4. f : x 7→ ln x

x 3 + x 2 sur ]0, 1] et — f : x 7→ 1

√ 1 − x 6 sur ] − 1, 1[

5. f : x 7→ sin x

√ x 3 + x 4 sur ]0, +∞[ et f : x 7→ 1 + x 2 e −x

x 2 + e −2x sur ] − ∞, +∞[

Exercice 2. Etudier l’existence de Z 1

0

sin π

x

1 x

dx.

Exercice 3. Existence et calcul des int´egrales suivantes : Z +∞

0

1

(x + 1)(x + 2) dx, Z 1

0

x 4 x 10 + 1 dx,

Z +∞

−∞

cosh x cosh 2x dx,

Z

12

0

ln(1 − 3x + 2x 2 ) dx Exercice 4. Existence et calcul, pour tout n ∈ N de

I n = Z +∞

0

x n e −x

2

dx

Exercice 5. Soient I un intervalle de R , f : I → C continue par morceaux et born´ee. Montrer que si f 2 est int´egrable sur I , alors f l’est aussi. Le r´esultat subsiste-t-il si on ne suppose pas que f est born´ee.

Exercice 6. Soient I un intervalle de R , f, g, h = I → R continues par morceaux. On suppose que f et h sont int´egrables sur I et que f 6 g 6 h. Montrer que g est int´egrable sur I.

Exercice 7. Montrer que l’application N : R 2 → R d´efinie par N (x, y) = Z +∞

0

|x + ty|e −t dt est une norme sur R 2 .

Exercice 8.

1. Existence et calcul, pour tout a ∈ R , de I(a) =

Z +∞

1

1 x − a

x 2 2

dx.

2. D´eterminer inf a∈ R I(a) et inf a∈ Z I(a).

1

(2)

2

Exercice 9. On note, pour tout n ∈ N , sous r´eserve d’existence I n =

Z +∞

0

e −x

x n (1 + x 2 ) dx 1. Montrer, pour tout n ∈ N , l’existence de I n .

2. A l’aide d’une int´egration par parties, trouver un ´equivalent simple de I n pour n → +∞.

Exercice 10. Existence et calcule de I =

Z 2π

0

dx

i + cos x , J (z) = Z +∞

−∞

e zt e −|t| dt pour z ∈ C .

Exercice 11. Trouver

x→0 lim

+

Z 2x

2x

sin t

sinh 2 t dt, lim

x→0

Z +∞

1

(t + 2) x−1 (t + 1) x+1 dt.

Exercice 12. Trouver un ´equivalent simple de Z

π2

0

e −x sin t dt, lorsque x → +∞.

Exercice 13. Former un d´eveloppement asymptotique de f : x 7→

Z x

2

x

√ dt

t 4 + 1 `a l’ordre o x 1

12

, lorsque x → +∞..

Exercice 14. Soient a ∈ R , P ∈ R [X]. Montrer l’existence de I =

Z +∞

−∞

e −x

2

P (x + a) dx et exprimer I `a l’aide des d´eriv´ees successives de P en a.

Exercice 15. On note, sous r´eserve d’existence, pour x ∈ R , f(x) = Z +∞

1

1

t x (1 + ln t) dt.

1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f.

2. Etudier le sens de variation de f et sa convexit´e.

3. D´eterminer les limites de f en 1 et en +∞.

4. Tracer la courbe repr´esentative de f.

5. Montrer que f (x) est ´equivalent `a 1 x quand x → +∞.

Exercice 16. Soit f : [0, +∞[→ R continue > 0, telle que, pour tout p ∈ R , l’application t 7→ f (t)e −pt est int´egrable sur [0, +∞[.

1. Montrer que l’application

F : R → R , p 7→

Z +∞

0

f(t)e −pt dt

est de classe C 2 sur R et que : ∀p ∈ R , (F 0 (p)) 2 6 F (p)F 00 (p).

2. En d´eduire que, si de plus f 6= 0, alors l’application ln ◦F est convexe sur R . Exercice 17. Existence et calcul , pour (p, q) ∈ ( R + ) 2 de

F (p, q) = Z Z

[0,+∞[

2

e −px−qy sin(x + y) dx dy.

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