Partie III : BASE ADAPTÉE À UN PRODUIT SCALAIRE DANS UN ESPACE EUCLIDIEN

SESSION 2011

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Partie I : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS UN CAS PARTICULIER

I.1. det(i,j)

−AB,→ −AC→

=

0 α 1 1 2

= −α6=0 et donc les pointsA,BetCne sont pas alignés.

I.2. I.2.a.Soit(a, b)∈R².pa,b(A) = (0, b), pa,b(B) = (0, b)et pa,b(C) = (α, aα+b).

f0(a, b) = (0−0)²+ (0−b)²+ (0−0)²+ (b−1)²+ (α−α)²+ (1

2−aα−b)²

=b²+ (b−1)²+

aα+b−1 2

2

.

I.2.b.Soit(a, b)∈R².

f0(a, b) =

aα+b− 1 2

2

+2b²−2b+1=

aα+b−1 2

2

+2 b²−b +1

=

aα+b− 1 2

2

+2

b²−1 2

2

−2 4 +1

=

aα+b− 1 2

2

+2

b²−1 2

2

+1 2. I.2.c.Pour tout(a, b)∈R²,f0(a, b)> 1

2 avec égalité si et seulement siaα+b−1

2 =b−1

2 =0ce qui équivaut àb= 1 eta=0. 2

Pour(a, b) =

0,1 2

, on obtient la droiteD⁰ d’équationy= 1 2.

I.3. I.3.a.Soit(a, b)∈R².p_a,b^′ (A) = (b, 0), p_a,b^′ (B) = (a+b, 1)et p_a,b^′ (C) = a

2 +b,1 2

.

f₁(a, b) = (0−b)²+ (0−a−b)²+ α− a

2 −b2

=b²+ (a+b)²+ α−a

2 −b2

. I.3.b.Pour(a, b)∈R²,

b²+ (a+b)²+ α−a

2 −b2

=3b²+2b

−α+ 3a 2

+a²+α²−aα+a² 4

=3

b²+2b

−α 3 + a

2

+α²−aα+5a² 4

=3 b− α

3 +a 2

2

−3

−α 3 + a

2 2

+α²−aα+5a² 4

=3 b− α

3 +a 2

2

+a² 2 +α²

3 .

I.3.c.Pour tout(a, b)∈R²,f0(a, b)> 2α²

3 avec égalité si et seulement sia= a

2 +b−α

3 =0 ce qui équivaut àa=0 et b= α

3.

Pour(a, b) = 0,α

3

, on obtient la droiteD1d’équationx= α 3.

I.4. Les droites D0 et D1 sont respectivement dirigées par i et j et sont donc orthogonales. Elles se coupent au point M=

α 3,1

2

. Or l’isobarycentre de(A, B, C)est







0+0+α

3 ,

0+1+1 2 3





= α

3,1 2

=M,

et doncMest l’isobarycentre de(A, B, C).

Partie II : RÉSULTATS SUR UN ESPACE PRÉHILBERTIEN RÉEL

II.1. F^⊥ est l’ensemble des vecteurs deEqui sont orthogonaux à tous les vecteurs de F. F^⊥ est un sous-espace vectoriel deEtel queF∩F^⊥={0}. Si de plusE est de dimension finie,E=F⊕F^⊥.

II.2. Puisque dimF <+∞, le théorème de la projection orthogonale montre quepF est bien défini.

Soit x∈ E. {kx−zk, z ∈ F} est une partie non vide de R (car contient kxk par exemple) et minorée par 0. Par suite, {kx−zk, z∈F}admet une borne inférieure.

Pour tout vecteurzdeF,

kx−zk=q

kx−zk²

= q

kx−p_F(x)k²+kp_F(x) −zk²(d’après le théorème dePythagorecarx−p_F(x)∈F^⊥etp_F(x) −z∈F)

>

q

kx−pF(x)k²=kx−pF(x)k,

avec égalité si et seulement siz=p_F(x). Donc, la borne inférieure de{kx−zk, z∈F} est atteinte en l’unique élémentz deFdéfini parz=p_F(x).

II.3. II.3.a.• Soit(x, y)∈E².

(x|y)_F= (x|y−p_F(y) +p_F(y))_F= (x|y−p_F(y))_F+ (x|p_F(y))_F(d’aprèsi))

= (x|y−pF(y))_F(d’aprèsiii)carpF(y)∈F)

= (y−p_F(y)|x)_F(d’aprèsii))

= (y−pF(y)|x−pF(x))_F+ (y−pF(y)|p_F(x))_F= (x−pF(x)|y−pF(y))_F

= (x−p_F(x)|y−p_F(y)) (d’aprèsiv)car(x−p_F(x)∈F^⊥ety−p_F(y)∈F^⊥).

•Soitx∈E. D’après l’égalité précédente,(x|x)F= (x−pF(x)|x−pF(x)) =kx−pF(x)k²= (d(x, F))².

•En particulier,(x|x)_F= (d(x, F))²>0.

•Soitx∈E.(x|x)F=0⇔kx−pF(x)k=0⇔x=pF(x)⇔x∈F (six∈F, alorspF(x) =xet six=pF(x)alorsx∈F).

II.3.b. D’après la question précédente, on a nécessairement∀(x, y)∈ E², (x|y)_F = (x−p_F(x)|y−p_F(y)) ce qui assure l’unicité de(|)_F.

Réciproquement, posons∀(x, y)∈E²,(x|y)_F= (x−pF(x)|y−pF(y)).

i)Soitx∈E. L’applicationy7→y−pF(y)est linéaire et donc l’application y7→(x−pF(x), y−pF(y))est linéaire par linéarité du produit scalaire par rapport à sa deuxième variable.

ii)L’application(x, y)7→(x|y)_Fest symétrique par symétrie du produit scalaire.

iii)Pourx∈Eety∈F,(x|y)_F= (x−p_F(x)|y−p_F(y)) = (x−p_F(x)|0) =0.

iv)Pour(x, y)∈(F^⊥)²,p_F(x) =p_F(y) =0 et donc(x|y)_F= (x−p_F(x)|y−p_F(y)) = (x|y).

Donc,(|)F est effectivement un produit subordonné à F. On a ainsi montré qu’il existe un unique produit subordonné à F.

II.4. Soit(x, y)∈E². D’après l’inégalité deCauchy-Schwarz

|(x|y)F|=|(x−pF(x)|y−pF(y))|6kx−pF(x)kky−pF(y)k=kxk^Fkyk^F. De plus, on sait que|(x|y)F|=kxkFkykFsi et seulement si la famille(x−pF(x), y−pF(y))est liée.

II.5. II.5.a.E{0}. Donc il existex∈Etel quex6=0. Le vecteuru= 1

kxkxest un vecteur deEtel quekuk=1.

II.5.b.Soitx∈E. Il existeλ∈Rtel que pD(x) =λu. De plus,

x−pD(x)∈D^⊥⇒(x−λu|u) =0⇒(x|u) −λ(u|u) =0⇒λ= (x|u)(carkuk=1).

Donc,∀x∈E,p_D(x) = (x|u)u.

II.5.c.Soitx∈E.σx=kxkD=kx−pD(x)k=kx− (x|u)uk=kx−mxuk. Soit(x, y)∈E².

cov(x, y) = (x|y)D = (x− (x|u)u|y− (y|u)u) = (x|y) − (x|u)(y|u) − (y|u)(x|u) + (x|u)(y|u)(u|u) = (x|y) − (x|u)(y|u)

= (x|y) −m_xm_y.

II.6. Puisque la famille (x, y, u) est libre, x /∈ Vect(u) = D. D’après la question II.3.a, kxkD = p

(x|x)_D > 0 et kxkD=p

(x|x)_D6=0. Doncσx=kxkD> 0. De même,σy> 0.

II.7. II.7.a.m_x∗ = (x^∗|u) = 1

σ_x(x−m_xu|u) = 1

σ_x((x|u) −m_x(u|u)) = 1

σ_x(m_x−m_x) =0.

σx^∗ =kx^∗−mx^∗uk=kx^∗k= 1

σxkx−mxuk= σ_x σx

=1.

|ρ|=

cov(x, y) σxσy

= |(x|y)_D|

kxkDkykD ∈[0, 1]d’après la question II.4. De plus,

|(x|y)D| kxkDkykD

=1⇒(x−pD(x), y−pD(y))liée⇒∃(λ, µ)6= (0, 0)/ λ(x−pD(x)) +µ(y−pD(y)) =0

∃(λ, µ)6= (0, 0)/ λx+µy+ (−λm_x−µmy)u=0⇒(x, y, u)liée.

Par contraposition,(x, y, u)libre⇒ |(x|y)_D|

kxkDkykD 6=1. Finalement,|ρ|< 1ou encoreρ∈] −1, 1[.

II.7.b.Puisqueu6=0 etx /∈Vect(u), Fest un plan vectoriel.

kuk=1et kx^∗k= kx−m_xuk σx

=1. Enfin,

(u|x^∗) = 1 σx

(u|x−pD(x)) =0 carx−pD(x)∈D^⊥.

Donc(u, x^∗)est une famille orthonormale. Enfin,u∈Fetx^∗∈Vect(x, u) =F. Donc,(u, x^∗)est une famille orthonormale deFet finalement une base orthonormale deFcarF est un plan.

II.7.c.D’après la question II.2, inf{ky−ax−buk, (a, b)∈R²}=inf{ky−zk, z∈F}existe et vautky−p_F(y)k=d(y, F).

II.7.d.Puisque la famille(u, x^∗)est une base orthonormée deF

p_F(y) = (y|u)u+ (y|x^∗)x^∗=m_yu+ (y|x^∗)x^∗, et donc inf{ky−ax−buk, (a, b)∈R²}=ky−m_yu− (y|x^∗)x^∗k.

II.7.e.(y|x^∗) = 1

σ_x(y|x−mxu) = (x|y) −mx(y|u)

σ_x = (x|y) −mxmy

σ_x = cov(x, y)

σ_x =σyρet donc y−myu− (y|x^∗)x^∗=σyy^∗−σyρx^∗=σy(y^∗−ρx^∗),

puis inf{ky−ax−buk, (a, b)∈R²}=σ_yky^∗−ρx^∗k. II.7.f.

p_F(y) =m_yu− (y|x^∗)x^∗= 1

σ²_x(y|x−m_xu)(x−m_xu) +m_yu

= 1

σ²_x((y|x) −mx(y|u))

x+

−mx

σ²_x((y|x) −mx(y|u)) +my

u

= cov(x, y) σ²_x x+

−mx

σ²_xcov(x, y) +my

u

=ρσy

σx

x+

−m_xρσy

σx

+my

u.

Donca₀=ρσ_y σx

etb₀= −m_xρσ_y σx

+m_y.

II.8. y=a₀x+b₀⇔y=ρσy

σ_xx−m_xρσy

σ_x +m_y⇔y−my

σ_y =ρx−mx

σ_x .

II.9. Le résultat s’obtient en échangeant les rôles dexetyce qui est licite puisque la famille(y, x, u)est libre.

II.10. a1et b1s’obtiennent en échangeant les rôles dexet ypuis une équation deD1 s’obtient en échangeant les rôles dexet y. Une équation deD1est donc x−m_x

σ_x =ρy−m_y

σ_y (carρest invariant quand on échange les rôles dexet y).

II.11. Un vecteur normal àD0 estn0= ρ

σx

,− 1 σy

et un vecteur normal à D1est n1= 1

σx

,− ρ σy

.

ρ σ_x

1 σ_x

− 1 σ_y − ρ

σ_y

= −ρ²+1

σxσy 6=0(d’après la question II.7.a).

Donc les droitesD0et D1sont sécantes en un unique point. Le point(m_x, m_y)appartient à chacune de ces deux droites et donc les droitesD0 etD1 sont sécantes en l’unique point(m_x, m_y).

II.12.

D0⊥D1⇔(n₀|n₁) =0⇔ρ 1

σ²_x + 1 σ²_y

=0⇔ρ=0⇔cov(x, y) =0⇔(x|y) =m_xm_y.

Partie III : BASE ADAPTÉE À UN PRODUIT SCALAIRE DANS UN ESPACE EUCLIDIEN

III.1. On identifie une matrice de format(1, 1)et son unique coefficent.

tXSY= Xn

i=1

xi



 Xn

j=1

si,jyj



= X

16i,j6n

xiyj(e_i|e_j) =



 Xn

i=1

xiei

!

|



 Xn

j=1

yjej







= (x|y).

III.2. III.2.a.Soit(i, j)∈J1, nK².sj,i= (e_j|e_i) = (e_i|e_j) =si,j. DoncSest une matrice symétrique réelle de formatn.

D’après le théorème spectral, le spectre deS est contenu dansR. Soit alors λune valeur propre deS puisX un vecteur propre unitaire associé.

tXSX=^tX(λX) =λ^tXX=λkXk²=λ

et doncλ=^tXSX= (x|x)> 0carx6=0. Ainsi, les valeurs propres deS sont des réels strictement positifs.

III.2.b.S∈D_n(R)⇔∀i6=j, (e_i|e_j) =0⇔(e_i)_16i6n est une base orthogonale deE_n.

III.3. Supposons que∀(X, Y)∈(Mn,1(R))²,^tXAY=^tXBY ou encore supposons que∀((x_i)_16i6n,(y_j)_16j6n)∈(Rⁿ)², X

16i,j6n

x_iy_ja_i,j= X

16i,j6n

x_iy_jb_i,j.

En appliquant cette égalité aux vecteursX=E_ketY =E_lde la base canonique deMn,1(Rpour chaqueket chaquelde J1, nK, on obtienta_k,l=b_k,l pour chaqueket chaque ldeJ1, nKet doncA=B.

III.4. III.4.a.On sait queX=PX^′.

III.4.b.^tX^′S^′Y^′= (x, y) =^tXSY=^t(PX^′)S(PY^′) =^tX^′(tPSP)Y^′.

Ainsi, pour tout(X^′, Y^′)∈(Mn,1(R))²,^tX^′S^′Y^′ =^tX^′(tPSP)Y et d’après la question III.3,S^′ =^tPSP.

III.4.c.Eest un espace euclidien et on sait alors qu’il existe dansEau moins une base orthonorméeB^′= (e_i^′)16i6n. III.4.d. Pour tout (i, j) ∈ J1, nK², S^′ = (e_i^′|e_j^′) = δ_i,j. Par suite, (e_i^′|e_j^′)

16i,j6n = I_n. D’après la question III.4.b,

tPSP=I_n puisS=^t(P⁻¹)P⁻¹. Mais alors

P∈O_n(R)⇔P⁻¹∈O_n(R)⇔^t(P⁻¹)P⁻¹=I_n⇔S=I_n ⇔Best une base orthonormée.

III.5. Soit B^′ = (e_i^′)_16i6n une base orthonormée de E_n. Pour i ∈ J1, nK, on pose e_i^′′ = √

d_ie_i^′ puis on pose B^′′ = (e_i^′′)_16i6n. Puisque chaque√

d_i est non nul,B^′′ est une base deE. De plus, pour tout(i, j)∈J1, nK², (e_i^′′|e_j^′′) =√

di

pdjδi,j=

disii=j 0sii6=j .

Donc la matrice associée à la baseB^′′est diag(di)_16i6n c’est-à-direM₁. La matriceM₁est donc associée à une base de E_n.

III.6. III.6.a.χM₂=

1−X 1 1 1−X

=X²−2X=X(X−2). Donc Sp(f2) = (0, 2).

Ker(f2) =Vect(e₁^′)oùe₁^′ = 1

√2(e1−e2)et Ker(f2−2Id) =Vect(e₂^′)oùe₂^′ = 1

√2(e1+e2).

III.6.b. Si Mest une matrice associée à une certaine base de E₂, les valeurs propres de M sont strictement positives d’après la question III.2.a. Comme0est valeur propre deM₂,M₂n’est pas associée à une base deE₂.

III.7. III.7.a.rg(M3−4I₃) =1et donc dim(Ker(M3−4I₃)) =2. Par suite, 4est valeur propre d’ordre au moins2.

La dernière valeur propreλest fournie par la trace deM3:9=Tr(M3) =4+4+λet doncλ=8. Ainsi, Sp(f3) = (4, 4, 1).

Ker(f3−4Id)est le plan d’équationx+y+z=0puis Ker(f3−Id)est l’orthogonal de ce plan (car M₃ est symétrique réelle) c’est-à-dire la droite engendrée par le vecteur unitairee₃^′ = 1

√3(e₁+e₂+e₃).

Un vecteur unitaire du plan Ker(f3−4Id) est le vecteur e₁^′ = 1

√2(e1−e2). Par suite une base orthonormée du plan Ker(f3−4Id)est (e₁^′, e₂^′)où

e₂^′ =e₃^′ ∧e₁^′ = 1

√6(e₁+e2+e3)∧(e₁−e2) = 1

√6(e₁+e2−2e3).

III.7.b.PosonsQ=P^B′

B =















√1 2

√1 6

√1 3

− 1

√2

√1 6

√1 3

0 − 2

√6

√1 3















. Les formules de changement de bases s’écriventM₃=Qdiag(4, 4, 1)Q⁻¹

avecQ⁻¹=^tQ.

PosonsD=diag(2, 2, 1)de sorte que D²=diag(4, 4, 1). On a alors

M2=QD^2tQ=QD^tD^tQ= (QD)^t(QD).

Ainsi, en posant P = ^t(QD) =













√2 −√

2 0

r2 3

r2 3 −2

r2 1 3

√3

√1 3

√1 3













, on a M3 = ^tPP. Cette dernière égalité signifie que si B^′′ =

(e₁^′′, e₂^′′, e₃^′′)est la base deE3 telle que P=P_B^B′′, alors pour(i, j)∈J1, 3K², (e_i^′′|e_j^′′)est le coefficient lignei, colonnejde la matriceM3.

Ainsi, la matriceM₃est la matrice adaptée à la base (e₁^′′, e₂^′′, e₃^′′) = √

2e1+ r2

3e2+ 1

√3e3,−√ 2e1+

r2 3e2+ 1

√3e3,−2 r2

3e2+ 1

√3e3

! .

III.8. M₄







 1 1

−1

−1









=









−3

−3 3 3









= −3







 1 1

−1

−1









. Donc −3 est une valeur propre deM₄. PuisqueM₄admet une valeur propre négative ou nulle,M₄ n’est pas la matrice associée à une base deE₄ (d’après la question III.2.a). 5on peut aussi remarquer que la trace deM₄est nulle et doncM₄ admet au moins une valeur propre négative ou nulle).

III.9. III.9.a.Une famille adaptée est une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls. On sait qu’une telle famille est libre. Etant de cardinaln=dim(En), une famille adaptée est une base deEn.

III.9.b.Soit (e_i^′)_16i6n une base orthonormée deE_n. Pour i ∈J1, nK, posons e_i = 1

√ne_i^′. La famille(e_i)_16i6n est une famille adaptée.

III.9.c. Il n’y a pas unicité d’une famille adaptée. En effet, soit (e_i)_16i6n et f un automorphisme orthogonal de E_n distinct deId. Puisque fconserve le produit scalaire, la famille (f(e_i))_16i6n est une autre famille adaptée. Par exemple, la famille(−e_i)_16i6n est une famille adaptée distincte de la famille (e_i)_16i6n.

III.9.d.

(x|y) =



 Xn

i=1

xiei

!

|



 Xn

j=1

yjej







= X

16i,j6n

xiyj(e_i|e_j) = 1 n

Xn

i=1

xiyi.

III.9.e.Si x= Xn

i=1

e_i, alors(x|x) = 1 n

Xn

i=1

1×1=1et donc

Xn

i=1

e_i

=1.

Partie IV : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS LE CAS GÉNÉRAL

IV.1. Soit E = R[X]. Pour (P, Q) ∈ E², on pose (P|Q) = Z1

0

P(t)Q(t)dt. (E,( | )) est un espace préhilbertien réel de dimension infinie. D’autre part,Rⁿ muni du produit scalaire canonique est un espace euclidien.

IV.2. Il suffit de prendre pour(e_i)_16i6n une famille adaptée.

IV.3. Soit(α, β, γ)∈R³.

αu+βx+γy=0⇒ Xn

i=1

(α+βx_i+γy_i)e_i=0⇒∀i∈J1, nK, α+βx_i+γy_i=0.

On ne peut avoir (β, γ) 6= (0, 0) car alors tous les points A_i, 1 6 i 6 n, appartiennent à la droite D d’équation α+βX+γY =0 dansRce qui contredit le fait que les pointsA_i ne sont pas alignés.

Doncβ=γ=0puisα=0. On a ainsi montré que la famille(u, x, y)est libre.

IV.4.

f₀(a, b) = Xn

i=1

(y_i− (ax_i+b))²=n× 1 n

Xn

i=1

(y_i−ax_i−bu_i)(y_i−ax_i−bu_i)

=n((y−ax−bu)|(y−ax−bu)) =nky−ax−buk². En échangeant les rôles dexety, on a aussif1(a, b) =nkx−ay−buk².

IV.5. IV.5.a.D’après la question IV.3, la famille(u, x, y)est libre. On peut donc appliquer les résultats des questions II.6 à II.12.

D’après la question II.7.f, inf{ky−ax−buk, (a, b)∈R²}existe et est atteint en l’unique couple(a₀, b₀) =

ρσ_y σx

,−m_xρσ_y σx

+m_y

. Il en est de même de inf{nky−ax−buk², (a, b)∈R²}=inf{f0(a, b), (a, b)∈R²}.

De même,f₁ admet un minimum atteint en l’unique couple(a₁, b₁) =

ρσx

σ_y,−σx

σ_yρm_y+m_x

. D’après la question II.8 et II.10, une équation deD0dansRest : y−my

σ_y =ρx−mx

σ_x et une équation deD1dansRest : x−mx

σx

=ρy−my

σy

.

IV.5.b.D’après la question II.11, les droitesD0etD1se coupent au point(m_x, m_y) = ((x|u),(y|u)) = 1 n

Xn

i=1

x_i, 1 n

Xn

i=1

y_i

! . Ce point est l’isobarycentre de(A₁, . . . , A_n).

IV.5.c.D’après la question II.12, les droitesD0etD1sont orthogonales si et seulement si(x|y) =mxmy ce qui équivaut à 1

n Xn

i=1

xiyi= 1 n

Xn

i=1

xi

! 1 n

Xn

i=1

yi

!

ou encore Xn

i=1

xiyi= 1 n

Xn

i=1

xi

! _n X

i=1

yi

! .

IV.5.d.PosonsA0= (0, 0),A1= (1, 0),A2= (1, 1) etA3= (0, 1). Ces quatre points sont non alignés.

X4

i=1

x_iy_i=0+0+1+0=1et 1 4

X4

i=1

x_i

! _n X

i=4

y_i

!

= 1

4(1+1)(1+1) =1.

Par suite, les droites des moindres carrés D0 et D1 associées à ces quatre points sont orthogonales. Plus précisément, quand D0 et D1 sont orthogonales, on aρ = (x|y) −mxmy

σ_xσ_y = 0. Donc D0 est la droite d’équationy = my ou encore y= 1

2. De même,D1 est la droite d’équationx= 1 2.