On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant :

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths

Equations Diff´ erentielles 2012-2013

Interrogation no. 1 du Mercredi 6 Mars 2013 Syst` emes Diff´ erentiels Lin´ eaires - Dur´ ee 1h30 Exercice 1

On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant :

x

= 5x − 2y + exp(t)

y

= −x + 6y + t (S)

1. D´ eterminer l’ensemble des solutions du syst` eme homog` ene (S

) associ´ e ` a (S).

2. D´ eterminer l’unique solution du probl` eme de Cauchy suivant (S

)

(x(0), y(0)) = (x

, y

).

3. Donner la r´ esolvante du syst` eme homog` ene (S

). En d´ eduire l’exponentielle de la matrice

5 −2

−1 6

.

4. D´ eterminer la solution particuli` ere de (S) qui s’annule en t = 0. En d´ eduire l’ensemble des solutions de (S).

Exercice 2

On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel suivant :







x

= −3x + y + 4z y

= x + 3y − 2z z

= −2x + y + 3z

(S)

1. D´ eterminer l’ensemble des solutions de (S).

2. D´ eterminer l’unique solution du probl` eme de Cauchy suivant (S)

(x(0), y(0), z(0)) = (x

, y

, z

).

3. Donner la r´ esolvante associ´ ee ` a (S). En d´ eduire l’exponentielle de la matrice A =





−3 1 4

1 3 −2

−2 1 3



.

4. En reprenant les calculs faits pr´ ec´ edement, d´ eterminer la d´ ecomposition de Dunford de A.

5. Retrouver exp(A) ` a partir de la d´ ecomposition de Dunford de A.

Exercice 3

Soit I ⊂ R un intervalle et A : I → M

( R ) une application continue. On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel homog` ene suivant :

u

= A(t)u. (S)

1. Rappeler la d´ efinition de la r´ esolvante R associ´ ee au syst` eme diff´ erentiel (S).

2. Montrer que R(t

, t

) ◦ R(t

, t

) = R(t

, t

) (o` u t

, t

, t

∈ I).

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