Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010
CM 3 Groupe Concours
Feuille 9
Equations et syst`emes diff´erentiels lin´eaires
Exercice1 — R´esoudre les ´equations diff´erentielles lin´eaires suivantes :
(1 +x2)y0(x) + 4xy = 0 pour un intervalleI⊂R (1) xy0(x)−αy(x) = 0 avecα >0 surR (2)
x(1 +x2)y0(x)−αy(x) = 0 surR (3)
(1 +x2)y0(x)−(x−1)2y(x) = x3−x2+x+ 1 surR (4)
y0(x)−cos(x)y(x) = sin(x) cos(x) surR (5)
Exercice2 — R´esoudre les ´equations diff´erentielles lin´eaires suivantes surR:
y00−5y0+ 6y = 0 (6)
y00+ω2y = 0 (7)
y00−ω2y = 0 (8)
y00−4y0+ 4y = (x2+ 1)ex (9)
y00+y = cos3(x) (10)
Exercice3 — R´esoudre les ´equations diff´erentielles lin´eaires suivantes : y00− 2x
1 +x2y0+ 2
1 +x2y = 0 (11)
(x2+ 1)y00−2y = 0 (12)
y00−xy= 0 (13)
4x(1−x)y00+ 2(1−3x)y0−y = 0 (14)
Exercice4 — Trouver les solutions des ´equations diff´erentielles suivantes :
xy0+y−xy3 = 0 (15)
y0+ 3y+ 3y2+ 2 = 0 (16)
x2y00+axy0+by = kpourx∈R∗+; indication : posert= lnx (17) y00+ (4ex−1)y0+ 4e2xy = 0 pourx∈R; indication : posert=ex (18) (x2+ 1)2y00+ 2x(1 +x2)y0+y = 0 pourx∈R; indication : posert= arctanx (19)
Exercice5 — Consid´erons le syst`eme diff´erentiel suivant : (E)
x0 = 8x−18y+ 27z y0= −3x+72y−6z z0 = −4x+ 7y−11z.
1. ´Ecrire le syst`eme (E) sous la formeX0=AX, pour une certaine matrice A∈M3(R).
X(t) sera le vecteur colonne form´e parx(t),y(t) etz(t).
2. Trouver une matrice inversibleP et une matrice diagonaleD telles queA=P DP−1. Pour toutt∈Ron pose Y(t) =P−1X(t).
3. Soitu(t),v(t) etw(t) les coordonn´ees deY(t). Montrer queu,v etwsont solutions d’un syst`eme diff´erentiel particuli`erement simple, que l’on r´esoudra.
4. D´eterminer l’ensemble des solutions du syst`eme (E).
Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique estA, on admettra que les valeurs propres de f sont2,−1/2et−1, et queu= (−3/2,1,1),v= (0,3/2,1)etw= (1,2,1)sont des vecteurs propres respectivement associ´es `a ces valeurs propres.
Exercice6 — R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant :
x0= 12x−10y+ 5z y0= 10x−8y+ 5z z0= −10x+ 10y−3z.
Dans les deux cas suivants, d´eterminer l’unique solution du syst`eme telle que – x(0) = 0,y(0) = 1 etz(0) = 2 (sans calculs),
– x(0) = 1,y(0) = 1 etz(0) = 1.
Exercice 7 — R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant (on cherchera d’abord l’ensemble des solutions `a valeurs complexes, puis celui des solutions `a valeurs r´eelles) :
x0= 7x−4y+ 2z y0 = 13x−6y+ 6z z0 = −3x+ 2y.
Exercice8 — R´esoudre les syst`emes diff´erentiels suivants :
x0= −x+ 2y+ 3z y0= 2x+ 2y+ 6z z0= x+ 2y+z,
x0= −x+ 2y+ 3z−6t+ 1 y0 = 2x+ 2y+ 6z+ 3t+ 2 z0 = x+ 2y+z+ 1.
Comme `a l’exercice 1, on admettra que l’endomorphisme associ´e `a la matrice du premier syst`eme admet une base de vecteurs propres(u, v, w), o`uu= (1,2,1)est associ´e `a la valeur propre6, tandis quev= (−2,1,0)etw= (−3,0,1) sont associ´es `a la valeur propre−2.
Exercice9 —
1. Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est donn´ee par :
A=
1 −3 4 4 −7 8 6 −7 7
.
Trouver une base de chaque sous-espace propre de f. Trouver une base (e1, e2, e3) de R3 dans laquelle la matrice def est de la forme
Ta,b=
3 0 a
0 −1 b
0 0 −1
aveca,b∈R.
2. Soitλ∈Ret µ∈R∗ fix´es. Exprimer la matrice def dans la base (e1, µe2, e3+λe1). Trouver une base de R3 dans laquelle la matrice def est T =T0,1.
3. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant :
x0 = x−3y+ 4z y0= 4x−7y+ 8z z0= 6x−7y+ 7z.
Exercice10 — R´esoudre les syst`emes diff´erentiels suivants :
x0 = 13x−20y−10z y0= 15x−22y−10z z0 = −15x+ 20y+ 8z,
x0= 13x−20y−10z−cost y0= 15x−22y−10z−cost z0= −15x+ 20y+ 8z+ cost.
Comme `a l’exercice 1, on admettra que l’endomorphisme associ´e `a la matrice du premier syst`eme admet une base de vecteurs propres (u, v, w), o`u u= (−1,−1,1) est associ´e `a la valeur propre 3, tandis que v = (2,0,3) et w= (0,1,−2) sont associ´es `a la valeur propre−2.
Exercice11 — On poseA=
12 −10 5
10 −8 5
−10 10 −3
.
1. DiagonaliserA. En d´eduire une expression de la matrice exp(tA), pour toutt. (On ne calculera pas l’inverse de la matrice de passage.)
2. Soit X0 ∈ M3,1(R) un vecteur colonne. Montrer que exp(tA)X0 est solution de l’´equation diff´erentielle matricielleX0=AX. Retrouver les r´esultats de l’exercice 6.
Exercice12 — On reprend les notations de l’exercice 9.
1. Donner une matrice diagonale D et une matrice triangulaire sup´erieure stricteN telles que DN =N D et T =D+N.
2. CalculerN2, puis exp(tN) pour toutt. Calculer exp(tT) pour toutt.
3. Donner une matrice inversibleP telle queA =P T P−1. En d´eduire une expression simple de exp(tA) pour toutt. (On ne calculera pas l’inverse de la matrice de passage.)
4. Retrouver le r´esultat de l’exercice 9.
