Partie II – Syst` eme diff´ erentiel

Correction : du Devoir libre d’entrainement

MP Clemenceau 2020 - 21 Pour s’entrainer avant le DS 4

Notations et d´efinitions

• soientn∈IN^∗et (p, q)∈(IN^∗)²;

• IR[X] d´esigne l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans IR ; si P ∈ IR[X], on notera encore P la fonction polynomiale associ´ee ;

• Mp(IR) et Mp(C) d´esignent respectivement les ensembles des matrices carr´ees de taillep`a coefficients dans IR et dansC, et Mp,q(IR) et Mp,q(C) d´esignent respectivement les ensembles des matrices `a plignes et qcolonnes

`

a coefficients dans IR et dansC;

• on noteIp la matrice identit´e de Mp(C) et 0p la matrice de Mp(C) ne comportant que des 0 ;

• on noteχ_A le polynˆome caract´eristique d’une matriceA∈M_p(C), c’est-`a-dire le polynˆome det(XI_p−A) ;

• ´etant donn´ee une matriceM ∈M_p(C), on note Sp(M) l’ensemble des valeurs propres complexes deM. Objectifs

Dans la partie I, on d´etermine les valeurs propres d’une matrice tridiagonale sym´etrique r´eelle particuli`ere. On utilise les r´esultats d´emontr´es dans lapartie Ipour r´esoudre, dans lapartie II, un syst`eme diff´erentiel.

Partie I – ´ El´ ements propres d’une matrice

I.1 – Localisation des valeurs propres.

On consid`ere une matrice A = ((ai,j))_16i,j6n ∈ Mn(C). Soient une valeur propre λ∈C de A et un vecteur propre associ´ex=





 x1

... x_n





∈Mn,1(C)\

0_Mn,1(C) .

1) Montrer que pour touti∈[[1, n]], on a :λxi=

n

X

j=1

ai,jxj.

Correction :Par d´efinition d’un vecteur propre et d’une valeur propre λx=Ax et par d´efinition du produit matriciel :

∀i∈[[1, n]], λx_i=

n

X

j=1

a_i,jx_j

2) Soiti0∈[[1, n]] tel que|xi0|= max

j∈[[1,n]]|xj|. Montrer que :|λ|6

n

X

j=1

|ai0,j|.

En d´eduire que :|λ|6 max

i∈[[1,n]]







n

X

j=1

|ai,j|





 .

Correction :On reprend l’´egalit´e de la question pr´ec´edente aveci=i0. On obtient, d’apr`es l’in´egalit´e triangulaire et le fait que|xj|6|xi₀|pour toutj∈[[1, n]] :

|λ||xi₀|6

n

X

j=1

|ai₀,j||xj|6|xi₀|

n

X

j=1

|ai₀,j|,

or |xi₀| > 0 (sinon, toutes les coordonn´ees du vecteur x´etant inf´erieures ou ´egales `a xi₀ en valeur absolue, on aurait :∀i∈[[1, n]],xi= 0, ce qui est impossible puisqu’un vecteur propre est non nul), donc en divisant par|xi0| on obtient :

|λ|6

n

X

j=1

|ai₀,j|.

On a bien sˆur

n

X

j=1

|ai₀,j|6 max

i∈[[1,n]]







n

X

j=1

|ai,j|







, donc :|λ|6 max

i∈[[1,n]]







n

X

j=1

|ai,j|





 .

Soientαetβ deux nombres r´eels. On consid`ere la matriceAn(α, β)∈Mn(IR) d´efinie par :

A_n(α, β) =



















α β 0 · · · 0 β α β . .. ... 0 . .. . .. . .. 0 ... . .. β α β 0 · · · 0 β α

















 .

3) Justifier que les valeurs propres deAn(α, β) sont r´eelles.

Correction : La matrice An(α, β) est une matrice sym ˜A ctrique r ˜A celle. D’apr ˜A¨s le th ˜A cor ˜A¨me spectral elle est diagonalisable dansMn(IR). Ces valeurs propres sont donc r ˜A celles.

4) Soitλ∈IR une valeur propre deAn(α, β). Montrer que :

|λ|6|α|+ 2|β|.

Correction :En appliquant la question2), on obtient |λ|6M ax{|α|+|β|,|α|+ 2|β|} donc

|λ|6|α|+ 2|β|

I.2 – Calcul des valeurs propres deA_n(α, β).

5) En utilisant la question 4, montrer que pour toute valeur propreλdeAn(0,1), il existeθ∈[0, π] tel queλ= 2 cos(θ).

Correction : Pour α= 0 etβ = 1, la question 4 montre que toute valeur propre λdeAn(0,1) v´erifie : |λ|62, c’est-`a-dire : ^λ₂ ∈[−1,1]. Or la fonction cosinus est surjective de [0, π] dans [−1,1], donc pour toute valeur propre λdeAn(0,1) il existeθ∈[0, π] tel queλ= 2 cos(θ).

On noteUn le polynˆomeχ_An(0,1)(2X).

6) Etablir, pour´ n>3, une relation entreχA_n(0,1), χA_n−1(0,1)etχA_n−2(0,1). En d´eduire, pour n>3, une relation entreUn,Un−1 et Un−2.

Correction :Soitn∈IN\ {0,1,2}, et soitλ∈IR. Pour calculer χ_An(λ) = det(λI_n−A_n(0,1)), on d´eveloppe par rapport `a la derni`ere colonne ou ligne ce d´eterminant et on obtient :

χ_An(0,1)(λ) =λ·χ_An−1(0,1)(λ) +

λ −1 0 · · · 0

−1 . .. . .. . .. ... 0 . .. . .. −1 0 ... . .. . .. λ 0 0 · · · 0 −1 −1

,

On d´eveloppe ce dernier d´eterminant par rapport `a la derni`ere colonne : il ´egale −χ_An−2(0,1)(λ). Ceci vaut pour toutλ∈IR, et on en d´eduit :

χ_An(0,1)=X·χ_An−1(0,1)−χ_An−2(0,1). En composant avec 2X cette relation, on obtient :

∀n>3, Un = 2X·Un−1−Un−2.

7) Montrer par r´ecurrence surnque pour toutθ∈]0, π[ :

Un(cos(θ)) = sin((n+ 1)θ) sin(θ) . Correction :Montrons par r´ecurrenceforte surn∈IN\ {0}que :

∀θ∈]0, π[, Un(cos(θ)) = sin((n+ 1)θ) sin(θ)

Pourn= 1, on a :A1(0,1) = (0), doncχA₁ =X, et : U1 = 2X. On en d´eduit :∀θ ∈]0, π[,U1(cos(θ)) = 2 cos(θ).

Or :

∀θ∈]0, π[, sin(2θ)

sin(θ) =2 sin(θ) cos(θ)

sin(θ) = 2 cos(θ),

d’o`u la proposition au rangn= 1. soitn∈IN\ {0}, et supposons que l’´egalit´e est v´erifi´ee pour les rangsn−1 et n−2. Alors, d’apr`es la question pr´ec´edente, pour toutθ∈]0, π[ on a :

U_n(cos(θ)) = 2 cos(θ)U_n−1(cos(θ))−U_n−2(cos(θ)), et en utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence on a :

∀θ∈]0, π[, Un(cos(θ)) = 2 cos(θ)sin(nθ)

sin(θ) −sin((n−1)θ)

sin(θ) = 2 cos(θ) sin(nθ)−sin((n−1)θ)

sin(θ) .

Or, d’apr`es nos formules de trigonom´etrie pr´ef´er´ees, nous avons pour toutθ∈]0, π[ : sin((n−1)θ) + sin((n+ 1)θ) = 2 sin(nθ) cos(θ), donc :

∀θ∈]0, π[, Un(cos(θ)) = sin((n+ 1)θ) sin(θ) , d’o`u la proposition au rang n.

Le th´eor`eme de r´ecurrence s’applique.

8) D´eduire de la question pr´ec´edente que l’ensemble des valeurs propres de A_n(0,1) est n

2 cos _jπ

n+1

;j∈[[1, n]]o . D´eterminer la multiplicit´e des valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associ´es.

Correction : Les valeurs propres de An(0,1) sont exactement les racines de son polynˆome caract´eristique. Or, pour toutθ∈]0, π[, on a :

χ_An(0,1)(2 cos(θ)) =U_n(cos(θ)) = sin((n+ 1)θ) sin(θ) . Voyons `a quelle condition surθ cette quantit´e s’annule. Soitθ∈IR. Alors :

Un(cos(θ)) = 0⇐⇒sin((n+ 1)θ) = 0⇐⇒ ∃j∈Z, (n+ 1)θ=jπ⇐⇒ ∃j ∈Z, θ= jπ n+ 1. On en d´eduit queχA_n admet pour racines tous les r´eels de l’ensemble :

2 cos

jπ n+ 1

;j ∈[[1, n]]

.

Notons que cet ensemble contientn ´el´ements : en effet, pour toutj ∈ [[1, n]] on a _n+1^jπ ∈ [0, π], et le cosinus est strictement d´ecroissant sur [0, π], donc il y est injectif. Ceci prouve que les 2 cos _jπ

n+1

, pour j ∈ [[1, n]], sont distincts.

Ainsi nous avons l`anracines deχA_n; orχA_n est de degr´en, en tant que polynˆome caract´eristique d’une matrice d’ordren: il s’agit donc de l’int´egralit´e des racines de χA_n. On en d´eduit que l’ensemble des valeurs propres de A_n(0,1) estn

2 cos

jπ n+1

;j∈[[1, n]]o .

PuisqueAn(0,1) admetnvaleurs propres distinctes, elles sont toutes simples, et on en d´eduit que les sous-espaces propres associ´es sont de dimension 1.

Consid´eronsj∈[[1, n]] et posonsθ_j = jπ n+ 1.

9) Montrer que pour tout vecteur proprex=





 x₁

... xn





∈M_n,1(IR) deA_n(0,1) associ´e `a la valeur propre 2 cos(θ_j), on

a : 





−2 cos(θj)x₁+x₂ = 0,

∀k∈[[2, n−1]]t, x_k−1−2 cos(θ_j)x_k+x_k+1 = 0, x_n−1−2 cos(θ_j)x_n = 0.

Correction : Soit x =





 x1

... x_n





 un vecteur propre de An(0,1) associ´e `a la valeur propre 2 cos(θj). On reprend l’´egalit´e de la premi`ere question, en prenant soin de distinguer la premi`ere ligne (qui donne : 2 cos(θj)x1 =x2), la derni`ere ligne (qui donne : 2 cos(θ_j)x_n =x_n−1) et les lignes interm´ediaires (qui nous donnent :∀k∈[[2, n−1]], 2 cos(θ)x_k =x_k−1+x_k+1). D’o`u :







−2 cos(θj)x1+x2 = 0,

∀k∈[[2, n−1]], x_k−1−2 cos(θj)xk+xk+1 = 0, x_n−1−2 cos(θj)xn = 0.

SoitE l’ensemble des suites r´eelles (uk)_k∈IN v´erifiant la relation de r´ecurrence :

∀k∈IN^∗, u_k−1−2 cos(θj)uk+uk+1= 0.

10) Montrer queEest un espace vectoriel sur IR dont on pr´ecisera la dimension.

Correction :Les suites deEsont des suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 `a coefficients constants. Par th´eor`eme, on sait queE est un espace vectoriel de dimension 2.

On peut montrer facilement queE est un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites r´eelles. Il contient la suite nulle et est stable par combinaison lin´eaire.

Pour la dimension, on peut utiliser l’isomorphisme entreEet IR², qui `a toute suite deE associe le couple (u₀, u₁).

11) D´eterminer l’ensemble des suites (u_k)_k∈IN∈E telles queu₀=u_n+1= 0.

Correction :

I L’´equation caract´eristique est : r²−2 cos(θj)r+ 1 = 0. θj ´etant non congru `a 0 moduloπ, cette ´equation a deux racines complexes distinctes conjugu´eese^{i θj} ete^{−i θj}.

I D’apr`es le cours

∀u∈E, ∃(A, B)∈IR² /∀k∈IN, uk=Acos(kθj) +Bsin(kθj) I Soit F ={u∈E / u0=un+1= 0}.

Soituune suite deE. Avec les notations pr´ec´edentes :

u0= 0 ⇐⇒ A= 0 Dans ce cas, u_n+1=Bsin((n+ 1)θ_j) =Bsin(jπ) = 0. Donc

F ={u∈E /∃B∈R /∀k∈IN, u_k=Bsin(kθ_j)}=V ect((sin(kθ_j))_k∈IN) 12) En d´eduire l’espace propre deA_n(0,1) associ´e `a la valeur propre 2 cos(θ_j).

Correction :On sait que l’espace propreE_j deA_n(0,1) associ´e `a la valeur propre 2 cos(θ_j) est de dimension 1.

On remarque qu’un ´el´ement de F v´erifie le syst`eme de la question9)et queF est de dimension 1. Donc

Ej=









 B









 sin(θj) sin(2θj)

... sin(nθj)











/ B∈R











=V ect



















 sin(θj) sin(2θj)

... sin(nθj)





















13) En d´eduire, pour tout (α, β)∈IR², l’ensemble des valeurs propres deAn(α, β) et les espaces propres associ´es. On distinguera le casβ6= 0 du casβ= 0.

Correction :

I Cas β = 0 :

An(α,0) =αIn doncαest l’unique valeur propre deAn(α,0) et le sous espace propre associ´e est IRⁿ. I Cas β 6= 0 :

En factorisant chaque ligne du d´eterminant parβ, on obtient χ_An(α,β)(X) =βⁿ χ_An(0,1)

X−α β

Donc

λ∈Sp(A_n(α, β)) ⇐⇒ λ−α

β ∈Sp(A_n(0,1)) ⇐⇒ λ∈α+β.Sp(A_n(0,1)) Ainsi

Sp(A_n(α, β)) =

α+ 2β cos jπ

n+ 1

/ j∈[[1, n]]

De plus, pour j∈[[1, n]] et en notant λ= cos jπ

n+ 1

, un simple calcul montre que An(α, β)−(α+ 2βλ)In =β (An(0,1)−λIn)

β ´etant non nul,xest donc un vecteur propre deA_n(α, β) associ´e `a la valeur propreα+ 2βλsi et seulement sixest vecteur propre deA<sub>n</sub>(0,1) associ´e `a la valeur propreλ.

Donc le sous espace propre de α+ 2βλpourAn(α, β) est identique au sous espace propre deλpourAn(0,1).

Partie II – Syst` eme diff´ erentiel

II.1 – Matrices par blocs

On consid`ereA,B,C etD des matrices de Mn(C) telles queC etD commutent.

14) Calculer

A B C D

D 0_n

−C I_n

.

Correction :Un produit matriciel par blocs qui utilise le fait que CD=DC donne A B

C D

D 0_n

−C I_n

=

AD−BC B

0_n D

L’objectif des trois prochaines questions est de d´emontrer la relation : det

A B C D

= det(AD−BC). (1)

15) Montrer l’´egalit´e (1) dans le cas o`uD est inversible.

Correction : On sait d’apr`es le cours que si M =

M1 M2

0n M4

ou M =

M1 0n

M3 M4

est triangulaire par blocs alors

det(M) = det(M₁)×det(M₄). Donc, par propri´et´e du d´eterminant : det

A B C D

×det

D 0n

−C In

= det

AD−BC B

0n D

det

A B C D

×det(D)×det(In) = det(AD−BC)×det(D)

On sait que det(In) = 1 etD est inversible donc det(D)6= 0. Ainsi, en simplifiant, il vient det

A B C D

= det(AD−BC)

16) On ne suppose plusD inversible. Montrer qu’il existe p0∈IN^∗ tel que pour tout p>p0, la matrice D+¹_pIn soit inversible.

Correction : Le polynˆome caract´eristique de−D est non nul, donc admet un nombre fini de racines r´eelles non nulles. Notons λ0 la plus petite d’entre elles en valeur absolue, et soit p0 ∈ IN\ {0} un entier quelconque tel que 1

p0

< |λ0| (il en existe, vu que : lim

p0→+∞

1 p0

= 0). Alors pour toutp >p0, on a 1 p 6 1

p0

<|λ0|, donc 1 p ne peut pas ˆetre une racine de χ_−D, et : χ_−D

1 p

6= 0. Ceci ´equivaut pr´ecis´ement `a : det

D+1 pIn

6= 0, et donc

`

a l’inversibilit´e de la matrice D+1

pI_n. On a donc bien montr´e que pour tout p > p₀, la matrice D+ 1 pI_n est inversible.

On vient de montrer que l’ensemble des matrices inversibles est dense dans l’ensemble des matrices.

17) En d´eduire que l’´egalit´e (1) est ´egalement vraie dans le cas o`u Dn’est pas inversible.

Correction :l’application d´eterminant est continue, on en d´eduit le r´esultat par densit´e.

Consid´erons une matriceM ∈Mn(C) et formons la matrice : N =

0_n I_n M 0n

.

18) Montrer que Sp(N) ={µ∈C;µ²∈Sp(M)}.

Correction :Pour toutλ∈C, on a :

χN(λ) = det(λI2n−N) = det

λIn −In

−M λIn

,

et les matrices−M et λIn commutent. Donc, d’apr`es les questions pr´ec´edentes :

∀λ∈C, χ_N(λ) = det(λI_n·λI_n−(−I_n)·(−M)) = det(λ²I_n−M) =χ_M(λ²).

On en d´eduit queµ∈Cest une racine deχN si et seulement siµ²est une racine deχM, donc : Sp(N) ={µ∈C;µ²∈Sp(M)}.

19) Soientµ∈Sp(N) etx=





 x₁

... xn





∈M_n,1(C) un vecteur propre deM associ´e `a la valeur propreµ². Montrer que le vecteur

x µx

∈M2n,1(C) est vecteur propre deN associ´e `a la valeur propreµ.

Correction :Sixest un vecteur propre deM associ´e `aµ², en particulier il est non nul, donc x

µx

est ´egalement non nul. De plus :

N x

µx

=

0_n I_n M 0_n

x µx

= µx

M x

= µx

µ²x

=µ x

µx

,

donc x

µx

est bien un vecteur propre deN associ´e `a la valeur propreµ.

20) Montrer que siM est diagonalisable et inversible, alorsN est ´egalement diagonalisable et inversible.

Correction : Si M est inversible, alors 0 n’est pas valeur propre deM, et donc n’est pas valeur propre deN d’apr`es la question18): on en d´eduit que sous cette hypoth`ese, N est ´egalement inversible.

SiM est de plus diagonalisable, alors d’apr`es le crit`ere de diagonalisation, on a : X

λ∈Sp(M)

dim(ker(M −λI_n)) =n. (2)

De plus, d’apr`es la question18), siλest une valeur propre deM alors ses deux racines carr´eesµ<sub>λ</sub> et−µλ sont des valeurs propres deN (il existe bien deux racines carr´ees carλ6= 0 : par hypoth`eseM est inversible). La question 19)assure de plus que les applications lin´eaires :







ker(M −λIn) → ker(N−µλI2n) x 7→

x µλx

, et







ker(M−λIn) → ker(N+µλI2n) x 7→

x

−µλx

sont bien d´efinies, et elles sont clairement injectives : si x

±µ_λx

= 0_2n alors en particulier x= 0_n, donc leurs noyaux sont r´eduits au vecteur nul. Ceci d´emontre que pour toute valeur propreλdeM, on a :

dim(ker(N−µ_λI_2n))>dim(ker(M−λI_n)), et dim(ker(N+µ_λI_2n))>dim(ker(M−λI_n)) (c’est par exemple une cons´equence du th´eor`eme du rang). En conclusion :

X

λ∈Sp(M)

(dim(ker(N−µ_λI_2n)) + dim(ker(N+µ_λI_2n)))> X

λ∈Sp(M)

2 dim(ker(M −λI_n))⁽²⁾= 2n,

mais on a aussi : P

λ∈Sp(M)

(dim(ker(N−µλI2n)) + dim(ker(N+µλI2n)))62n, puisqu’il s’agit de la dimension de la somme directe L

λ∈Sp(M)

(ker(N−µλI2n))⊕ker(N+µλI2n)) (les µλ sont tous distincts pour λ∈Sp(M)), qui est incluse dans l’espace vectoriel M2n,1(C) de dimension 2n. On en d´eduit :

X

λ∈Sp(M)

(dim(ker(N−µλI2n)) + dim(ker(N+µλI2n))) = 2n, donc d’apr`es le crit`ere de diagonalisation la matriceN est diagonalisable.

En conclusion, siM est diagonalisable et inversible alorsN l’est ´egalement.

II.2 – Application `a un syst`eme diff´erentiel dans le cas o`un= 2 On consid`ere le syst`eme diff´erentiel :

x⁰⁰₁ = −2x1+x2,

x⁰⁰₂ = x1−2x2. (3)

21) D´eterminer (α, β)∈IR²tel que le syst`eme (3) soit ´equivalent au syst`eme diff´erentiel du premier ordreX⁰=BX, o`uX =







 x1

x2

x⁰₁ x⁰₂









et B=

02 I2

A2(α, β) 02

∈M4(IR).

Que d´eduit-on du th´eor`eme de Cauchy quant `a la structure de l’ensemble des solutions de ce syst`eme ? 22) En utilisant la question 18, d´eterminer les valeurs propres deB et en d´eduire queB est diagonalisable.

On consid`ere la matrice :

D=









−i√

3 0 0 0

0 i√

3 0 0

0 0 −i 0

0 0 0 i







 .

23) En utilisant la question 19, d´eterminer une matrice inversibleP ∈M4(C) dont la premi`ere ligne ne comporte que des 1 et telle queB =P DP⁻¹.

24) D´eterminer l’ensemble des solutions du syst`eme diff´erentielY⁰=DY, avecY =







 y₁ y₂ y₃ y₄







 .

25) D´eterminer la solution du syst`eme diff´erentiel (3) avec conditions initiales (x₁(0), x₂(0), x⁰₁(0), x⁰₂(0)) = (1,0,0,0).