UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2013-2014 Feuille d’exercices no 7
1.a. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel
(x0(t) = 2x(t) + 3y(t) y0(t) = 2x(t) +y(t).
1.b. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel
(x0(t) =x(t) + 2y(t) y0(t) = 2x(t) +y(t).
2. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel
x0(t) =x(t) y0(t) = 2y(t) +z(t) z0(t) = 2z(t).
3. On consid`ere la matriceA=
0 −2 1
0 −2 0
−2 2 −3
∈M3(R).
3.a. IndiquerP ∈Gln(R) telle queP−1AP soit diagonale. En d´eduireexp(A).
3.b. Trouver l’unique fonction d´erivableφ:R→R3:t7→
x(t) y(t) z(t)
qui v´erifie
φ(0) =
1 1 1
et
x0(t) =−2y(t) +z(t) y0(t) =−2y(t)
z0(t) =−2x(t) + 2y(t)−3z(t).
3.c. Soit ψ : R → R3 une solution (non identiquement nulle) du syst`eme diff´erentielψ0(t) =Aψ(t). Calculer limt→∞kψ(t)k et limt→−∞kψ(t)k.
4. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes:
4.a. 2y00(x) + 2y0(x) +y(x) =xe−x. 4.b. y00(x)−3y0(x) + 2y(x) = (x2+ 1)ex. 4.c. y00(x)−4y0(x) + 4y(x) = cos 2x.
4.d. y00(x) +y(x) =|x|+ 1.
5. On consid`ere l’´equation y00(x) + 2(1−cosθ)y0(x) + (5−4 cosθ)y(x) = 0 pour un θ ∈ R fix´e. R´e´ecrire cette ´equation diff´erentielle comme un syst`eme diff´erentiel X0 = AθX pour une matrice Aθ ∈ M2(R). D´eterminer les θ ∈ R pour lesquels les solutionsy(x) tendent vers 0 sixtend vers∞.
6. Trouver toutes les solutions de l’equation 4xy00(x) + 2y0(x)−y(x) = 0.
Indication: Chercher une solution formelley(x) =a0S(X) avecS(X)∈R[[X]].
Identifier cette solution en distinguant les cas x > 0 et x < 0. Poser y(x) = a(x)S(X), puis trouver et r´esoudre l’´equation diff´erentielle satisfaite para(x).
Mots-Cl´es : Syst`emes diff´erentiels lin´eaires et equations diff´erentielles du second ordre.
