Considérons le système différentiel (III.1.2) x0(t

(1)

Johannes Huebschmann

UFR de Math´ematiques, Universit´e de Lille I 59 655 VILLENEUVE D’ASCQ CEDEX

III. Syst`emes diff´erentiels [Dixmier XLIV p. 151]

On prendra les nombres réels R ou complexes C comme corps de base, désigné alors par K.

III.1. Généralités

III.1.1. D´efinition. Soit

f = (f₁, . . . , f_n):U →Kⁿ

une application définie sur une partie U ⊆R×Kⁿ. Considérons le système différentiel

(III.1.2) x⁰(t)

= dx dt

=f(t, x)

du premier ordre. On appelle solution, ou intégrale, de ce système toute fonction vectorielle différentiable

x= (x1, . . . , xn):I −→Kⁿ,

qui est définie dans un intervalle I de R et vérifie l’équation (III.1.2) pour tout t dans I. Résoudre, ou intégrer cette équation, c’est en trouver toutes les solutions.

Si x est une solution définie dans I, sa restriction à un sous-intervalle quelconque de I est encore une solution. Inversement il peut exister des solutions prolongeant x. Si la seule solution prolongeant x est x elle-même, on dit que x est une solution maximale. La résolution d’un système différentiel se ramène donc à la recherche des solutions maximales: une fois celles-ci obtenues, il reste à prendre leurs restrictions

`

a des sous-intervalles, op´eration banale qu’on se dispense `a faire.

42

(2)

III.2. Systèmes différentiels linéaires

III.2.1. Définition. Un système différentiel linéaire est un système différentiel de la forme

(III.2.2) x⁰ =Ax+b

o`u

b:I −→Kⁿ est une fonction vectorielle et

A:I −→M_n(K)

une fonction matricielle, à valeurs dans l’anneau M_n(K) des matrices carrées d’ordre n, définies dans un intervalle I. Si b= 0, le système est dit homogène, sinon, c’est dit non homogène. Etant donné un système différentiel non homogène de la forme (III.2.2), le système

(III.2.3) x⁰ =Ax

est appelé système homogène associé au système (III.2.2).

Théorème III.2.4. Les solutions maximales d’un système homogène forment un K-espace vectoriel. Une solution maximale quelconque d’un système non homogène

x⁰ =Ax+b est de la forme

x=y+z,

où y est solution particulière et z solution du système homogène associé.

Démonstration. La première assertion est évident. Pour établir la deuxième, soit y solution particulière et z solution du système homogène associé. On a alors

(y+z)⁰ =Ay+b+Az =A(y+z) +b,

c’est-à-dire, la somme y+z est également solution du système non homogène. De plus, soient y et ˜y deux solutions du système non homogène. On a alors

(y−y)˜ ⁰ =Ay+b−A˜y−b=Ay−A˜y =A(y−y),˜

c’est-à-dire, la différence y−y˜ est solution du système homogène associé.

(3)

III.3. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

III.3.1. Définition. Un système différentiel linéaire à coefficients constants est un système différentiel linéaire de la forme

(III.3.2) x⁰ =Ax+b,

A étant une matrice constante. Le système homogène associé est

(III.3.3) x⁰ =Ax.

Théorème III.3.4. Soient x₀ ∈ Kⁿ\0 et λ ∈ K. Pour que la fonction vectorielle x:R →Kⁿ définie par x(t) = e^λtu soit solution de (III.3.3) il faut et il suffit que λ soit valeur propre de A et que x₀ soit un vecteur propre de A associé à λ.

D´emonstration. En effet, si Ax0 =λx0,

x⁰(t) =λe^λtx0 = e^λtλx0 = e^λtAx0 =Ae^λtx0 =Ax(t).

R´eciproquement, si la fonction vectorielle x:R → Kⁿ d´efinie par x(t) = e^λtx₀ est solution de (III.3.3),

λe^λtx0 =x⁰(t) =Ax(t) =Ae^λtx0 = e^λtAx0

c’est-`a-dire,

Ax₀ =λx₀.

Théorème III.3.5. Soit A une matrice carrée diagonalisable d’ordre n, soient λ1, . . . , λn les valeurs propres de A, et soient y1, . . . , yn des vecteurs propres associés linéairement indépendants. Alors les solutions maximales du système différentiel

x⁰ =Ax

sont les fonctions vectorielles x:R→Kⁿ de la forme x(t) =y₁e^tλ¹c₁+· · ·+y_ne^tλⁿc_n, o`u c= (c1, . . . , cn)∈Kⁿ d´esigne un vecteur quelconque.

Démonstration. D’après le théorème III.3.4, les n fonctions vectorielles t7→y₁e^tλ¹, . . . , t7→y_ne^tλⁿ

sont des solutions, et il est évident qu’elles sont linéairement indépendantes. Dans la base constituée des vecteurs propres y1, . . . , yn de A, le système différentiel en considération se réduit à n équations différentielles linéaires homogènes ordinaires.

L’énoncé du théorème en découle.

Remarque III.3.6. Si la matrice A est réelle il peut arriver qu’elle n’est diagonalisable que sur les nombres complexes. Les n solutions x₁, . . . , x_n ainsi trouvées sont alors complexes. Parmi les 2n solutions réelles

Re(x1), Im(x1), . . . ,Re(xn), Im(xn), on peut alors trouver n solutions lin´eairement ind´ependantes.

Lorsque la matrice A n’est pas diagonalisable le th´eor`eme III.3.5 n’est pas applicable.

(4)

III.4. Exponentielle d’une matrice

On considera les matrices carrées d’ordre n comme éléments de l’espace normé E =Mn(K) de dimension n², muni d’une norme adaptée que nous notons || · ||.

Théorème III.4.1. Etant donn´´ ee une matrice carrée A d’ordre n quelconque, l’exponentielle matricielle

(III.4.2) e^tA =

∞

X

j=0

(tA)^j j! est une s´erie absolument convergente.

D´emonstration. Puisque

e^tA ≤

∞

X

j=0

||tA||^j

j! = e^{|t| ||A||}, la matrice e^tA est la limite de la suite





n

X

j=0

(tA)^j j!





de points de Mn(K).

Lemme III.4.3. Si les matrices carr´ees A et B commutent, c’est-`a-dire, si AB =BA, on a

eÂ+B = eÂe^B. Démonstration. Exercice.

Corollaire III.4.4. Quelle que soit la matrice carr´ee A, la matrice e^A est inversible d’inverse e^−A.

Théorème III.4.5. Etant donn´´ ee une matrice carrée A quelconque d’ordre n, l’exponentielle matricielle, considérée comme fonction matricielle

e_A:R−→M_n(K), t7−→e^tA, est diff´erentiable et v´erifie la relation

(III.4.6) e⁰_A(t) =Ae^tA =AeA(t).

D´emonstration. En effet,

e^(t+h)A−e^tA

h = e^tAe^hA−e^tA

h = e^tAe^hA −Id

h .

Or,

e^hA−Id

h =A+ 1

2hA²+ 1

3!h²A³+. . . , d’o`u

e^hA−Id

h −A

≤

e^|hA|−1

h − |A|

et donc

h→0lim

e^hA−Id

h =A.

(5)

III.5. Solutions maximales d’un syst`eme `a coefficients constants

Th´eor`eme III.5.1. Quels que soient A ∈ M_n(K), t₀ ∈ R, et x₀ ∈ Kⁿ, la fonction vectorielle

ϕt₀,x₀:R−→Kⁿ, ϕt₀,x₀(t) = e^(t−t⁰^)Ax0

est solution maximale du syst`eme diff´erentiel

(III.5.2) x⁰ =Ax

telle que ϕ_t₀_,x₀(t₀) = x₀, et cette solution est d´etermin´ee de fa¸con unique par la condition ϕ(t0) =x0.

Démonstration. Soit ϕ solution du système différentiel (III.5.2) telle que ϕ(t0) =x0. Alors la fonction vectorielle t 7→ e^−(t−t⁰^)Aϕ(t) a dérivée nulle et est donc constante d’où, puisque ϕ(t0) =x0,

e^−(t−t⁰^)Aϕ(t) =x0.

Corollaire III.5.3. Les solutions maximales de (III.5.2) forment un espace vectoriel de dimension n dont une base est constitu´ee des fonctions vectorielles x1, . . . , xn

donn´ees par

x_j(t) = e^tAb_j,

(b₁, . . . , b_n) étant une base de Kⁿ. En particulier, une solution maximale quelconque de (III.5.2) s’écrit comme combinaison linéaire des fonctions vectorielles x1, . . . , xn.

Soient x1, . . . , xn des solutions maximales de (III.5.2) lin´eairement ind´ependantes.

On dit que x₁, . . . , x_n est un système fondamental de solutions de (III.5.2). Nous désignerons X = [x1, . . . , xn] la fonction matricielle dont x1, . . . , xn sont les fonctions vectorielles colonnes; pour tout t ∈ I, la matrice X(t) est la matrice de passage de la base canonique à la base x1(t), . . . , xn(t). Il est clair que l’on a détX(t)6= 0 pour tout t∈I. De plus, la fonction matricielle X satisfait à

X⁰ =AX.

II.6. Calcul de l’exponentielle matricielle

Il reste donc à calculer la matrice e^tA. C’est ici où l’on applique la théorie de réduction suivant sous-espaces caractéristiques développée ci-dessus. En effet il n’est pas nécessaire de calculer la série P(tA)ⁿ

n! .

Lemme III.6.1. Soient P une matrice carr´ee inversible d’ordre n et A une matrice carr´ee quelconque d’ordre n. Alors

e^{P AP}⁻¹ =Pe^AP⁻¹. D´emonstration. En effet, quel que soit j ≥1,

(P AP⁻¹)^j =P A^jP⁻¹

(6)

et donc e^{P AP}⁻¹ =

∞

X

j=0

(P AP⁻¹)^j

j! =

∞

X

j=0

P A^j

j! P⁻¹ =P





∞

X

j=0

A^j j!



P⁻¹ =Pe^AP⁻¹.

Notation III.6.2. Soit A une matrice carr´ee d’ordre n sur K, et soit (y₁, . . . , y_n) une base de Kⁿ telle que, avec la matrice

P = [y1, . . . , yn]

dont les vecteurs colonnes soient les vecteurs de base y₁, . . . , y_n donn´es, on ait A =P J P⁻¹,

avec un tableau diagonal

J =







J1 0 0 · · · 0

0 J2 0 · · · 0

· · · ·

· · · 0

0 0 0 · · · J_s







de matrices de Jordan

Jj =







λ_j 1 0 · · · 0

0 λj 1 · · · 0

· · · ·

· · · 1

0 0 0 · · · λj





 ,

chacune d’ordre (disons) αj, les λ1, . . . , λs ´etant les valeurs propres de A. Pour 1≤j ≤s, on pose

Qj =







1 t ¹₂t² · · · _(α^t^αj⁻¹

j−1)!

0 1 t · · · _(α^t^αj⁻²

j−2)!

· · · ·

· · · t

0 0 0 · · · 1





 .

Lemme III.6.3. Quel que soit t ∈R,

(III.6.4) e^tJ =







e^tλ¹Q1 0 0 · · · 0

0 e^tλ²Q2 0 · · · 0

· · · ·

· · · 0

0 0 0 · · · e^tλ^sQs







(7)

d’o`u

(III.6.5) e^tA =Pe^tJP⁻¹.

D´emonstration. On voit tout de suite que

e^tJ = Diag(e^tJ¹, . . . ,e^tJ^s).

Pour calculer e^tJ^j, nous ´ecrivons

Jj =λjId + (Jj −λjId).

Les matrices λ_jId et J_j −λ_jId commutent, et un calcul facile montre que e^t(J^j^−λ^j^Id) =Q_j.

Il s’ensuit que

e^tJ^j = e^tλ^j^Id+t(J^j^−λ^j^Id)

= e^tλ^j^Ide^t(J^j^−λ^j^Id)

= Diag(e^tλ^j, . . . ,e^tλ^j)Qj

= e^tλ^jQj,

d’o`u la formule annonc´ee (III.6.4) calculant e^tJ. III.7. Calcul explicit des solutions maximales

Soit toujours A une matrice carr´ee r´eelle ou complexe d’ordre n. On conserve les notations introduites en (III.6.2).

Théorème III.7.1. Le système (y1, . . . , yn) désignant une base de Kⁿ telle que, avec la matrice P = [y₁, . . . , y_n] dont les vecteurs colonnes soient les vecteurs de base y1, . . . , yn donnés, on ait

A =P J P⁻¹,

avec un tableau diagonal J des matrices de Jordan, les solutions maximales x:R→Kⁿ du syst`eme diff´erentiel

x⁰ =Ax sont les fonctions vectorielles

x(t) = [y₁, . . . , y_n]







e^tλ¹Q1 0 0 · · · 0

0 e^tλ²Q2 0 · · · 0

· · · ·

· · · 0

0 0 0 · · · e^tλ^sQs











 c1

·

· cn







(8)

où c= (c₁, . . . , c_n)∈Kⁿ désigne un vecteur quelconque. Autrement dit, une solution maximale quelconque x s’écrit sous la forme

x(t) =y1e^tλ¹

c1+c2t+ 1

2c3t²+· · ·+ t^α¹⁻¹ (α₁−1)!cα₁

+y2e^tλ¹

c2+c3t· · ·+ t^α¹⁻² (α₁−2)!cα₁

+· · ·+y_α₁e^tλ¹c_α₁ +y_α₁₊₁e^tλ²

c_α₁₊₁+c_α₁₊₂t+ 1

2c_α₁₊₃t²+· · ·+ t^α²⁻¹

(α2−1)!c_α₁_+α₂

+y_α₁₊₂e^tλ²

c_α₁₊₂+c_α₁₊₃t· · ·+ t^α²⁻²

(α2−2)!c_α₂₋₂

+· · ·+yα1+α2e^tλ²cα1+α2

+. . .

+yne^tλ^scn.

D´emonstration. Soit c un vecteur constant et soit x(t) =Pe^tJc.

Alors

x⁰(t) =P J P⁻¹Pe^tJc=Ax(t).

Posons c = P⁻¹x0. D’après le théorème III.5.1 et le lemme III.6.1, la fonction vectorielle

x(t) = e^tAx0 = e^{tP J P}⁻¹x0 =Pe^tJ P⁻¹x0

est la solution maximale qui prend la valeur x₀ pour t = 0. D’apr`es le lemme III.6.3,

Pe^tJ = [y1, . . . , yn]







e^tλ¹Q₁ 0 0 · · · 0

0 e^tλ²Q2 0 · · · 0

· · · ·

· · · 0

0 0 0 · · · e^tλ^sQ_s





 .

De plus, lorsque x₀ parcourt Kⁿ, il en est de mˆeme de c=P⁻¹x₀.

Il s’ensuit que les solutions maximales sont les fonctions vectorielles de la forme annonc´ee.

Remarque III.7.2. Si la matrice A est réelle il peut arriver qu’elle n’admette une forme de Jordan correspondante que sur les nombres complexes. Les n solutions fondamentales x1, . . . , xn ainsi trouvées sont alors complexes. Pour obtenir des solutions réelles, comme dans le cas d’une matrice diagonalisable, voir la remarque III.3.6, on considère alors les 2n solutions réelles

Re(x1), Im(x1), . . . ,Re(xn), Im(xn).

Parmi eux on peut trouver n solutions lin´eairement ind´ependantes.

(9)

III.8. Variation des constantes

On va voir que la méthode de variation des constantes permet, quand on a réussi à résoudre le système homogène associé (III.3.3), de résoudre un système non homogène donné (III.3.2).

Soient x1, . . . , xn des solutions maximales de (III.3.3) linéairement indépendantes et soit Z = [x₁, . . . , x_n] la fonction matricielle dont x₁, . . . , x_n soient les fonctions vectorielles colonnes. On cherche une solution particulière de (III.3.2) du type

(III.8.1) x=Zc,

où c:I →Kⁿ est une fonction vectorielle à déterminer. La condition (III.8.1) entraˆıne la relation

x⁰ =Z⁰c+Zc⁰ =AZc+Zc⁰ =Ax+Zc⁰,

c’est-`a-dire, pour que x soit solution de (III.3.2) il faut et il suffit que Zc⁰ =b.

Puisque la matrice Z(t) est inversible pour tout t∈R, cette relation ´equivaut `a c⁰ =Z⁻¹b,

c’est-`a-dire, `a

(c⁰₁, . . . , c⁰_n) =



 X

j

z_1,jb_j, . . . ,X

j

z_n,jb_j



,

o`u

b= (b1, . . . , bn) et Z⁻¹ = [zi,j],

et les c1, . . . , cn n’interviennent plus que par leurs dérivées. Autrement dit, il suffit de résoudre les équations différentielles scalaires

c⁰_k =X

j

z_k,jb_j, 1≤k ≤n,

`

a une variable d’où les cj qui sont définies à une constante additive près.

III.9. Exemples

Cas homogène. On considère le système (III.9.1)

x⁰₁(t) x⁰₂(t)

=A

x1(t) x₂(t)

,

avec

A=

0 1

−b −2a

.

Le polynˆome caract´eristique PA est:

PA(X) =X²+ 2aX +b.

(10)

Les valeurs propres sont donc:

λ1,2 =−a±p

a²−b.

Si a² 6=b, les deux valeurs propres sont distinctes, et les deux vecteurs 1

λ_1,2

sont les vecteurs propres associ´es. Posons

P =

1 1 λ₁ λ₂

, J =

λ1 0 0 λ₂

.

Alors

AP =P J, et les solutions maximales sont de la forme

x(t) =Pe^tJc=

1 1 λ1 λ2

e^tλ¹ 0 0 e^tλ²

c₁ c2

=c₁e^tλ¹ 1

λ1

+c₂e^tλ² 1

λ2

.

Il s’ensuit que les deux solutions x1 et x2 d´efinies par x1(t) = e^tλ¹

1 λ1

, x2(t) = e^tλ² 1

λ2

forment un syst`eme fondamental de solutions de (III.9.1); ainsi, la matrice fondamentale Z correspondante est

(III.9.2) Z(t) =Pe^tJ =

e^tλ¹ e^tλ² λ1e^tλ¹ λ2e^tλ²

;

et les solutions maximales sont les fonctions vectorielles qui s’´ecrivent sous la forme x(t) =c1x1(t) +c2x2(t).

Si a² =b, il n’y a qu’une seule valeur propre. On voit facilement qu’avec P =

1 0

−a 1

,

la matrice A s’´ecrit sous la forme P

−a 1 0 −a

P⁻¹ =

0 1

−b −2a

=A, c’est-`a-dire, la matrice

−a 1 0 −a

est la forme de Jordan de A cherch´ee. Il s’ensuit que les solutions maximales x sont les fonctions vectorielles de la forme

x(t) =

1 0

−a 1

e^−at

1 t 0 1

c₁ c2

= e^−at

c₁+tc₂

−ac1+ (1−at)c2

.

(11)

En particulier, les deux fonctions x₁ et x₂ d´efinies par x1(t) = e^−at

1

−a

, x2(t) = e^−at t

1−at

constituent un syst`eme fondamental de solutions maximales de (III.9.1); ainsi la matrice fondamentale Z correspondante est

(III.9.3) Z(t) = e^−at

1 t

−a 1−at

.

Cas non homogène; variations des constantes. On considère le système (III.9.4)

x⁰₁(t) x⁰₂(t)

=A

x1(t) x₂(t)

+

β1(t) β₂(t)

,

avec

A=

0 1

−b −2a

,

le système homogène correspondant (III.9.1) étant étudié ci-dessus. Une solution maximale particulière x de (III.9.4) est alors donnée par x = Zc où la fonction vectorielle c est solution de l’équation différentielle vectorielle

Zc⁰ =β.

Si a² 6=b, la matrice inverse Z⁻¹ de la matrice fondamentale (XI.5.2) est:

(III.9.5) Z⁻¹(t) = 1

d´et(Z(t))

λ₂e^tλ² −e^tλ²

−λ1e^tλ¹ e^tλ¹

,

avec

d´et(Z(t)) = (λ2−λ1)e^t(λ¹^+λ²⁾=−2p

a²−be^−2at.

Une solution maximale particulière x de (III.9.4) est donc donnée par x =Zc où la fonction vectorielle c est solution du système

c⁰₁(t) c⁰₂(t)

= −e^2at 2√

a²−b

λ₂e^tλ² −e^tλ²

−λ1e^tλ¹ e^tλ¹

β₁(t) β2(t)

.

Si a² =b, la matrice inverse Z⁻¹ de la matrice fondamentale (XI.5.3) est:

(III.9.6) Z⁻¹(t) = e^at

1−at −t

a 1

.

Une solution maximale particulière x de (III.9.4) est donc donnée par x =Zc où la fonction vectorielle c est solution du système

c⁰₁(t) c⁰₂(t)

= e^at

1−at −t

a 1

β1(t) β₂(t)

.

(12)

III.10. Équations différentielles d’ordre supérieur; généralités

Jusqu’ici, les équations différentielles considérées ne faisaient intervenir que la dérivée première de la fonction inconnue; elles étaient dites du premier ordre. Si l’on considère une équation faisont intervenir les dérivées d’ordre supérieur, d’une fonction inconnue, on obtient une équation différentielle d’ordre supérieur. Un artifice nous permettra de ramener une équation différentielle d’ordre p à un système différentiel d’ordre 1.

Une ´equation

(III.10.1) y^(p)=f(t, y, y⁰, . . . , y^(p−1))

s’appelle équation différentielle (explicite) d’ordre p. On appelle solution ou intégrale de (III.10.1) toute fonction réelle t 7→φ(t) définie et p fois dérivable dans un intervalle I, telle que

(III.10.2) φ^(p)(t) =f(t, φ(t), φ⁰(t), . . . , φ^(p−1)(t)).

Considérons le système différentiel de p équations du premier ordre à p inconnues x1, . . . , xp:

(III.10.3)

x⁰₁ =x2

x⁰₂ =x3

· · ·

x⁰_p =f(t, x₁, . . . , x_p)

Th´eor`eme III.10.4. L’application y7→(y, y⁰, . . . , y^(p−1)) est une application bijective de l’ensemble N des solutions maximales de (III.10.1) sur l’ensemble N⁰ des solutions maximales de (III.10.3).

Démonstration. Pour qu’une fonction y, définie et p fois dérivable dans dans un intervalle, soit solution de (III.10.1) il faut et il suffit que la suite des p fonctions (y, y⁰, . . . , y^(p−1)) soit solution de (III.10.3). L’application y 7→ (y, y⁰, . . . , y^(p−1)) est donc une application de l’ensemble M des solutions de (III.10.1) sur l’ensemble M⁰ des solutions de (III.10.3). Il est clair que cette application est injective. C’est donc une application bijective de M sur M⁰.

Soient y et z deux solutions de (III.10.1). Pour que z prolonge y il faut et il suffit que la solution (z, z⁰, . . . , z^(p−1)) de (III.10.3) prolonge la solution (y, y⁰, . . . , y^(p−1)) de (III.10.3). Par suite, pour que y soit solution maximale de (III.10.1) il faut et il suffit que (y, y⁰, . . . , y^(p−1)) soit solution maximale de (III.10.3). Donc y7→(y, y⁰, . . . , y^(p−1)) est une application bijective de l’ensemble N des solutions maximales de (III.10.1) sur l’ensemble N⁰ des solutions maximales de (III.10.3).

Définition III.10.5. On appelle équation différentielle linéaire d’ordre p une équation de la forme

(III.10.6) y^(p) =a0y+a1y⁰ +· · ·+ap−1y^(p−1)+b,

où a₀, . . . , a_p−1, b sont des fonctions définies dans un intervalle I. Si b= 0 l’équation est dite homogène. L’équation

(III.10.7) y^(p)=a0y+a1y⁰+· · ·+a_p−1y^(p−1)

(13)

est appelée équation homogène associée à (III.10.6).

Considérons le système différentiel du 1êr ordre:

(III.10.8)

x⁰₁ =x2

x⁰₂ =x₃

· · ·

x⁰_p =a0x1+a1x2 +· · ·+a_p−1xp+b.

Ce système est linéaire. D’après le théorème III.10.4, l’association y7→(y, y⁰, . . . , y^(p−1))

est une application bijective de l’ensemble des solutions maximales de (III.10.6) sur l’ensemble des solutions maximales de (III.10.8). L’ensemble des solutions maximales d’une équation différentielle homogène du type (III.10.7) est un espace vectoriel, et l’association qu’on vient de donner est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Le système différentiel homogène du 1êr ordre

(III.10.9)

x⁰₁ =x2

x⁰₂ =x3

· · ·

x⁰_p =a₀x₁+a₁x₂+· · ·+a_p−1x_p est alors le système homogène associé à (III.10.8).

III.11. Equations différentielles linéaires d’ordre n à coefficients constants On appelle équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants une

´equation de la forme

(III.11.1) y⁽ⁿ⁾+a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a1y⁰+a0y=β,

où a0, . . . , a_n−1 sont des constantes et β une fonction. Si β = 0 l’équation est dite homogène. L’équation

(III.11.2) y⁽ⁿ⁾+a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a₁y⁰+a₀y = 0

est appelée équation homogène associée à (III.11.1). D’après le théorème III.10.4, pour résoudre l’équation différentielle (III.11.1), il suffit de résoudre le système linéaire

(III.11.3)





 x⁰₁

·

· x⁰_n−1

x⁰_n







=A





 x1

·

· x_n−1

xn





 +





 0

·

· 0 β





 ,

(14)

o`u

(III.11.4) A=







0 1 0 · · · 0

· · · ·

0 · · · · 0 1

−a₀ −a₁ · · · −a_n−2 −a_n−1





 .

En vertu du Corollaire III.5.3, le théorème III.10.4 entraˆıne que les solutions maximales de l’équation différentielle (III.11.2) forment un espace vectoriel de dimension n.

Exemple III.11.5. On consid`ere l’´equation

y⁰⁰ + 2ay⁰+by = 0.

D’apr`es la discussion dans (III.9) ci-dessus, si a² 6= b, les solutions maximales sont les fonctions y du type

y(t) =c1e^λ¹^t+c2e^λ²^t,

λ₁ et λ₂ ´etant les deux valeurs propres distinctes de la matrice associ´ee, tandis que si a² =b, les solutions maximales sont les fonctions

y(t) = (c1+tc2) e^−at; ici c₁ et c₂ sont des constantes.

L’équation caractéristique de l’équation différentielle (III.11.2) est l’équation de degré n suivante :

(III.11.6) Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a1X +a0 = 0.

Ainsi, le polynôme caractéristique P_A(X) de la matrice (III.11.4) et l’équation caractéristique de l’équation différentielle (III.11.2) sont liés par la relation suivante : (III.11.7) (−1)ⁿPA(X) =Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a1X +a0

Théorème III.11.8. [Dixmier 45.3.4. p. 167] On suppose que PA se decompose en facteurs linéaires, et soient λ₁, . . . , λ_m les racines distinctes de (III.11.6), et h₁, . . . , h_m leurs multiplicités. Alors les fonctions

(∗)

e^λ¹^t , te^λ¹^t , t²e^λ¹^t , · · ·, t^h¹⁻¹e^λ¹^t, e^λ²^t , te^λ²^t , t²e^λ²^t , · · · , t^h²⁻¹e^λ²^t,

· · · ·

e^λ^m^t, te^λ^m^t, t²e^λ^m^t, · · ·, t^h^m⁻¹e^λ^m^t,

sont n solutions linéairement indépendantes de l’équation différentielle (III.11.2); elle engendrent l’espace vectoriel des solutions de (III.11.2). Une solution maximale quelconque de (III.11.2) est donc combinaison linéaire des solutions (∗).

(15)

Lemme III.11.9. [Dixmier 44.3.13. p. 161] Soient λ₁, . . . , λ_m des nombres complexes distincts et P1, . . . , Pm des polynˆomes `a coefficients dans Cⁿ. Si

(III.11.10) e^λ¹^tP1(t) +· · ·+ e^λ^m^tPm(t) = 0, quel que soit t, on a

P1 =· · ·=Pm = 0.

Démonstration. En passant aux coordonnées, on se ramène au cas où P1, . . . , Pm sont des polynômes à coefficients dans C, que nous noterons également P₁, . . . , P_m.

Le lemme est évident si m= 1; supposons-le établi pour m−1. Supposons P1 6= 0 et aboutissons à une contradiction. En multipliant les deux membres de (III.11.10) par e^−λ^m^t on se ramène au cas où λm = 0, donc λ1 6= 0. Si l’on dérive (III.11.10), on obtient une égalité de la forme

e^λ¹^tQ₁(t) + e^λ²^tQ₂(t) +· · ·+P_m⁰ (t) = 0,

avec Q₁(t) = P₁⁰(t) +λ₁P₁(t), donc Q₁ 6= 0, en considérant le terme de plus haut degré. En dérivant un nombre suffisant de fois, on obtient une égalité de la forme (III.11.10) avec P_m remplacé par 0 et P₁ 6= 0; ceci contredit l’hypothése de récurrence.

Cette contradiction prouve que P1 = 0. On voit de mˆeme que Pj = 0 pour tout

j.

Démonstration du théorème III.11.8. Le nombre de fonctions citées dans le théorème est h₁+· · ·+h_m = n, et, d’après le lemme III.11.9, ces fonctions sont linéairement indépendantes. Il reste à vérifier que, lorsque λ est racine de (III.11.6) d’ordre h, tⁱe^λt est solution de (III.11.2) si i≤h−1. Or, d’après la formule de Leibniz, on a

(tⁱe^λt)^(j)= e^λt[λ^jtⁱ+jλ^j−1itⁱ⁻¹+. . . + j(j−1). . .(j−k+ 1)

k! λ^j−ki(i−1). . .(i−k+ 1)t^i−k+. . .].

Rempla¸cons y par tⁱe^λt dans (III.11.2). Le coefficient de i(i−1). . .(i−k+ 1)e^λtt^i−k dans (III.11.2) est

p−1

X

j=k

a_jj(j−1). . .(j−k+ 1)

k! λ^j−k.

Or, on a

p(p−1). . .(p−k+ 1)λ^p−k+

p−1

X

j=k

aj

j(j −1). . .(j −k+ 1)

k! λ^j−k = 0

pour k = 0, . . . , i; en effet, λ étant racine d’ordre h de (III.11.6), annule les dérivées de

Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a1X +a0

jusqu’`a l’ordre h−1≥i. Donc tⁱe^λt est bien solution de (III.11.2).

(16)

III.12. La m´ethode de variations des constantes.

On suppose qu’on connaˆıt n solutions maximales lin´eairement ind´ependantes y1, . . . , yn

de l’équation homogène associée (III.11.2). On peut alors trouver toutes les solutions de (III.11.1) par la méthode de variations des constantes. Cette méthode consiste ici en la recherche d’une solution particulière de (III.11.1) du type

(III.12.1) y=c₁y₁+· · ·+c_ny_n

où les c₁, . . . , c_n sont des fonctions à déterminer. On La matrice

Z = [z₁, . . . , z_n] =







y1 y2 · · · yn

y⁰₁ y₂⁰ · · · y_n⁰

· · · ·

y⁽ⁿ⁻¹⁾₁ y₂⁽ⁿ⁻¹⁾ · · · yn⁽ⁿ⁻¹⁾







fournit alors une matrice fondamentale du système linéaire homogène correspondant du type (III.11.3). Par conséquent, puisqu’ici le vecteur b est du type

b=





 0

·

· 0 β





 ,

pour trouver c₁, . . . , c_n il suffit de résoudre les équations différentielles scalaires c⁰₁ =z_1,nβ, . . . , c⁰_n=z_n,nβ,

`

a une variable, o`u

Z⁻¹ = [zi,j]. Exemple III.13. On consid`ere l’´equation

(III.13.1) y⁰⁰ + 2ay⁰+by =β.

On utilisera les résultats dans (III.9) et (III.11.4). Si a² 6=b une solution particulière y de (III.13.1) est donc donnée par

y(t) =c₁(t)e^λ¹^t+c₂(t)e^λ²^t o`u les fonctions c₁ et c₂ sont solution de

c⁰₁(t) c⁰₂(t)

= −e^2atβ(t) 2√

a²−b

−e^tλ² e^tλ¹

.

De même, si a² =b, une solution particulière y de (III.13.1) est donnée par y(t) = (c1(t) +tc2(t)) e^−at

(17)

où les fonctions c₁ et c₂ sont solutions de l’équation différentielle vectorielle c⁰₁(t)

c⁰₂(t)

= e^atβ(t) −t

1

.

Bibliographie

1. J. Dixmier, Cours de Mathématiques du 1er cycle, 1er et 2ème année, Gauthier- Villars, Paris.

2. J. Lelong-Ferrand, J. M. Arnaudies, Cours de Mathématiques, tome 1: Algèbre, tome 2: Analyse, tome 3: Géométrie et cinématique, tome 4: Equations´ différentielles, Intégrales multiples, Dunod, Paris, 1978–1982.

3. Seymour Lipschutz, Linear Algebra, Schaum’s outline series, Mc Graw Hill Book Company, New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, Sydney, 1968.

4. Strang, Linear algebra.