A20056. Syst` eme positif
R´esoudre le syst`eme x+y2+z3 = 3, y+z2+x3 = 3, z+x2+y3 = 3,
avec x, y, z r´eels positifs.
Solution
Six, y, z sont tous positifs et ≤1, les premiers membres des ´equations sont
≤3, avec ´egalit´e seulement six=y=z= 1.
De mˆeme, si x, y, z sont tous ≥1, les premiers membres des ´equations sont
≥3, avec ´egalit´e seulement six=y=z= 1.
Pour trouver d’autres solutions en r´eels positifs, on peut donc supposer que parmix, y, z, il y en a qui sont >1 pour les uns, <1 pour les autres.
Et comme le syst`eme d’´equations est invariant par permutation circulaire des inconnues, je peux supposer que c’estx ety qui encadrent 1.
Alors la suitex3, x2, x,1, y, y2, y3 est monotone.
Les expressions x3−x2, x3 −x, y−y2, y −y3 sont de mˆeme signe et non nulles, donc aussi les expressions
(x3+y)−(x2+y3) =z−z2, (x3+y)−(x+y2) =z3−z2.
Le produit (z−z2)(z3−z2) = −z3(1−z)2 devrait alors ˆetre strictement positif, ce qui est incompatible avecz≥0.
La solution x=y=z= 1 est donc la seule solution en r´eels positifs.
Les curieux pourront d´emontrer (mais c’est plus laborieux) qu’il n’existe pas d’autres solutions avec x, y, z r´eels de signe quelconque. Une approche possible consiste `a ´etablir, si on n’a pas x = y = z, que x+y+z = s est racine du polynˆome
s10−2s9+s8−s7+ 17s6−186s5+ 620s4−1004s3+ 1019s2−584s+ 183, puis que celui-ci n’a pas de racine r´eelle.
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