Effet r´ egularisant de l’ajout de bruit dans un syst` eme
C. de Raynal P.E, sous la direction de F.Delarue
Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, Laboratoire J.A. DIEUDONNE
16 avril 2012
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme :
dXt =b(Xt)dt
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d). Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme :
dXt =b(Xt)dt b Lipschitz : Existence et unicit´e
b “Sous-Lipschitz”
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d).
Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme :
dXt =b(Xt)dt b Lipschitz : Existence et unicit´e
b “Sous-Lipschitz” : pas de r´esultat d’unicit´e au sens “classique”
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d). Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme :
dXt =b(Xt)dt b Lipschitz : Existence et unicit´e
b “Sous-Lipschitz” ?
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d). Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme :
dXt =b(Xt)dt+dWt b Lipschitz : Existence et unicit´e
b “Sous-Lipschitz”
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d). Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme :
Xt=x+ Z t
0
b(Xs)ds+(Wt−W0) b Lipschitz : Existence et unicit´e
b “Sous-Lipschitz”
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d). Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme : Xt=x+
Z t
0
b(Xs)ds+(Wt−W0) b Lipschitz : Existence et unicit´e forte (trajectorielle).
b “Sous-Lipschitz”
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d). Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme : Xt=x+
Z t
0
b(Xs)ds+ (Wt−W0)
b Lipschitz : Existence et unicit´e forte (trajectorielle).
b “Sous-Lipschitz”
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d).
Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme :
Xt =x+ Z t
0
b(Xs)ds+ (Wt−W0)
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d).
Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Pr´ esentation du probl` eme
Regardons le syst`eme : Xt =x+
Z t
0
b(Xs)ds+ (Wt−W0)
Ajout “microscopique” d’un bruit gaussien.
=⇒ Existence et unicit´e forte pourbH¨older (b∈Lp, p>d).
Pourquoi l’ajout de bruit permet-il d’affaiblir les conditions de solvabilit´e ?
Lien avec les EDP et l’effet r´egularisant du noyau de la chaleur.
Pourquoi des EDPs et des Probabilit´es ? Comment interpr´eter l’effet r´egularisant
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t .
(Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P). u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour m´elanger les valeurs de u... et donc de la r´egulariser
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t . Formule d’Itˆo :
(Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P). u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour m´elanger les valeurs de u... et donc de la r´egulariser
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t .
Formule d’Itˆo : (Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P).
u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour m´elanger les valeurs de u... et donc de la r´egulariser
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t .
Formule d’Itˆo : (Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P).
u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour m´elanger les valeurs de u... et donc de la r´egulariser
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t est C∞!.
Formule d’Itˆo : (Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P).
u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour m´elanger les valeurs de u... et donc de la r´egulariser
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t est C∞!.
Formule d’Itˆo : (Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P).
u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour m´elanger les valeurs de u... et donc de la r´egulariser
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t est C∞!.
Formule d’Itˆo : (Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P).
u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour m´elanger les valeurs de u... et donc de la r´egulariser
EDP, Proba et effet r´ egularisant : la formule de Kolmogorov r´ etrograde
Equation de la chaleur sur´ R+×R:
∂tu(t,x)−12∆u(t,x) = 0 u(0,x) =f(x)
f “seulement” continue born´ee.
Solution : u(t,x) = Z
R
√dy
2πtf(y)e−(y−x)22t est C∞!.
Formule d’Itˆo :
(Bt)t≥0 un mouvement brownien sur (Ω,A,P).
u(t,x) =EP[f(x+Bt)]
=⇒ La solution u au point (t,x) s’exprime comme la moyenne de la condition initiale en les valeurs prises par un mouvement brownien en t, partant dex en 0.
Le Brownien visite suffisamment l’espace tout autour de x pour
Retour ` a notre probl` eme
Soit T >0, on s’int´eresse sur [0,T] `a : dXt =b(Xt)dt+dWt
Equation aux d´´ eriv´ees partielles associ´ee `a ce syst`eme : ∂tu(t,x) +b(x)∂xu(t,x) +12∆u(t,x) =
u(T,x) =
il existe une unique solution u ∈C1,2
et :
||u||∞,Lip≤CT
||∂xu||∞,Lip≤CT0 o`u CT,CT0 →0 quand T →0.
Retour ` a notre probl` eme
Soit T >0, on s’int´eresse sur [0,T] `a : dXt =b(Xt)dt+dWt
Equation aux d´´ eriv´ees partielles associ´ee `a ce syst`eme : ∂tu(t,x) +b(x)∂xu(t,x) + 12∆u(t,x) =φ(t,x)
u(T,x) =f(x)
il existe une unique solution u ∈C1,2
et :
||u||∞,Lip≤CT
||∂xu||∞,Lip≤CT0 o`u CT,CT0 →0 quand T →0.
Retour ` a notre probl` eme
Soit T >0, on s’int´eresse sur [0,T] `a : dXt =b(Xt)dt+dWt
Equation aux d´´ eriv´ees partielles associ´ee `a ce syst`eme : ∂tu(t,x) +b(x)∂xu(t,x) + 12∆u(t,x) =φ(t,x)
u(T,x) =f(x)
Si φetf H¨older : il existe une unique solution u∈C1,2
et :
||u||∞,Lip≤CT
||∂xu||∞,Lip≤CT0 o`u CT,CT0 →0 quand T →0.
Retour ` a notre probl` eme
Soit T >0, on s’int´eresse sur [0,T] `a : dXt =b(Xt)dt+dWt
Equation aux d´´ eriv´ees partielles associ´ee `a ce syst`eme : ∂tu(t,x) +b(x)∂xu(t,x) +12∆u(t,x) =b(x)
u(T,x) =0
b H¨older : En temps “suffisamment” petit il existe une unique solution u ∈C1,2 et :
||u||∞,Lip≤CT
||∂xu||∞,Lip≤CT0 o`u C ,C0 →0 quand T →0.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
u(t,Xt)−Xt=
|Xt−Yt|2≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
u(t,Xt)−Xt=
|Xt−Yt|2≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
u(t,Xt)−Xt=
|Xt−Yt|2≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
u(t,Xt)−Xt= Z t
0
∂tu(s,Xs) +b(Xs)∂xu(s,Xs) +1
2∆u(s,Xs)
ds
| {z }
− Z t
0
b(Xs)ds +u(0,x0)−x0+
Z t
0
[∂xu(s,Xs)−1]dWs,
|Xt−Yt|2≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
u(t,Xt)−Xt= Z t
0
∂tu(s,Xs) +b(Xs)∂xu(s,Xs) +1
2∆u(s,Xs)
ds
| {z }
=Rt 0b(Xs)ds
− Z t
0
b(Xs)ds +u(0,x0)−x0+
Z t
0
[∂xu(s,Xs)−1]dWs,
|Xt−Yt|2≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
u(t,Xt)−Xt =
u(0,x0)−x0+ Z t
0
[∂xu(s,Xs)−1]dWs,
|Xt−Yt|2≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
u(t,Xt)−Xt =
u(0,x0)−x0+ Z t
0
[∂xu(s,Xs)−1]dWs,
u(t,Yt)−Yt=u(0,x0)−x0+ Z t
0
[∂xu(s,Ys)−1]dWs.
|Xt−Yt|2≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
• On prend le carr´e de la diff´erence
; On prend le supremum surt; On prend l’esp´erance
|Xt−Yt|2 ≤C|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +C
Z t
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)dWs
2
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
• On prend le carr´e de la diff´erence ; On prend le supremum surt
; On prend l’esp´erance
sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2≤C sup
t∈[0,T]
|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2
+C sup
t∈[0,T]
Z t
0
∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)dWs
2
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sont CT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
• On prend le carr´e de la diff´erence ; On prend le supremum surt;On prend l’esp´erance
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2≤C sup
t∈[0,T]E|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2 +CE
Z T
0
|∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)|2ds
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sontCT et CT0 Lipschitz .
Et,CT,CT0 →0 avecT.
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2≤C sup
t∈[0,T]
E|u(t,Xt)−u(t,Yt)|2
+CE Z T
0
|∂xu(s,Xs)−∂xu(s,Ys)|2ds
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sontCT et CT0 Lipschitz .
Et,CT,CT0 →0 avecT.
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2 ≤C(T) (
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2+E Z T
0
|Xs−Ys|2ds )
,
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sontCT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2 ≤C(T) (
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2+E Z T
0
|Xs−Ys|2ds )
,
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sontCT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2 ≤C(T) (
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2+E Z T
0
|Xs−Ys|2ds )
,
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sontCT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2 ≤0
C(T) (
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2+E Z T
0
|Xs−Ys|2ds )
,
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
(Xt,t≥0) et (Yt,t ≥0) deux solution avec la mˆeme condition initiale x0.
T suffisamment petit →On applique La formule d’Itˆo pour u(t,Xt)−Xt et u(t,Yt)−Yt :
u : solution de l’EDP
=⇒ u et∂xu sontCT et CT0 Lipschitz . Et,CT,CT0 →0 avecT.
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2 ≤0
C(T) (
E sup
t∈[0,T]
|Xt−Yt|2+E Z T
0
|Xs−Ys|2ds )
,
Puis on prend T “suffisamment petit”
Il suffit d’it´erer ce raisonnement sur une partition suffisamment petite de l’intervalle.
En bref :
Il y a unicit´e forte pour :
dXt =b(Xt)dt+dWt
En rempla¸cant le drift “b” par la solution “u” de l’EDP (associ´ee `a la dynamique al´eatoire deX) dont le terme source est le drift :
grˆace `a l’effet r´egularisant du noyau de la chaleur, on retrouve le caract`ere Lipschitzien sur les petits intervalles.
Quid du cas ou le bruit d´eg´en`ere ?
On s’attend `a une perte de l’effet r´egularisant... dans quelle mesure ?
En bref :
Il y a unicit´e forte pour :
dXt =b(Xt)dt+dWt
En rempla¸cant le drift “b” par la solution “u” de l’EDP (associ´ee `a la dynamique al´eatoire deX) dont le terme source est le drift :
grˆace `a l’effet r´egularisant du noyau de la chaleur, on retrouve le caract`ere Lipschitzien sur les petits intervalles.
Quid du cas ou le bruit d´eg´en`ere ?
On s’attend `a une perte de l’effet r´egularisant... dans quelle mesure ?
En bref :
Il y a unicit´e forte pour :
dXt =b(Xt)dt+dWt
En rempla¸cant le drift “b” par la solution “u” de l’EDP (associ´ee `a la dynamique al´eatoire deX) dont le terme source est le drift :
grˆace `a l’effet r´egularisant du noyau de la chaleur, on retrouve le caract`ere Lipschitzien sur les petits intervalles.
Quid du cas ou le bruit d´eg´en`ere ?
On s’attend `a une perte de l’effet r´egularisant... dans quelle mesure ?
Le cas d´ eg´ en´ er´ e
EDO `a drift al´eatoire :
d Xt=dWt
dYt =b(t,Wt,Yt)dt
La composante est “compl`etement d´eg´en´er´ee”
Le seul bruit re¸cu provient de la premi`ere composante
b est continus en temps.
b est d´erivable par rapport `ax1 `a d´eriv´ee uniform´ement non-d´eg´en´er´ee, et 2/3-H¨older par rapport `a x2.
La non-d´eg´en´erescence de la d´eriv´ee debassure la transmission de suffisamment de bruit de la premi`ere composante dans la seconde (penser `a un dvp de Taylor)
La r´egularit´e 2/3-H¨older semble ˆetrele prix `a payerpour la d´eg´en´erescence
Il y a `a nouveau unicit´e forte.
Le cas d´ eg´ en´ er´ e
Syst`eme d´eg´en´er´e :
dXt =dWt
dYt =b(t,Xt,Yt)dt
Laseconde composante est “compl`etement d´eg´en´er´ee”Le seul bruit re¸cu provient de la premi`ere composante
b est continus en temps.
b est d´erivable par rapport `ax1 `a d´eriv´ee uniform´ement non-d´eg´en´er´ee, et 2/3-H¨older par rapport `a x2.
La non-d´eg´en´erescence de la d´eriv´ee debassure la transmission de suffisamment de bruit de la premi`ere composante dans la seconde (penser `a un dvp de Taylor)
La r´egularit´e 2/3-H¨older semble ˆetrele prix `a payerpour la d´eg´en´erescence
Il y a `a nouveau unicit´e forte.
Le cas d´ eg´ en´ er´ e
Syst`eme d´eg´en´er´e :
d Xt =dWt
dYt =b(t,Xt,Yt)dt
b est continus en temps.
b est d´erivable par rapport `ax1 `a d´eriv´ee uniform´ement non-d´eg´en´er´ee, et 2/3-H¨older par rapport `a x2.
La non-d´eg´en´erescence de la d´eriv´ee debassure la transmission de suffisamment de bruit de la premi`ere composante dans la seconde (penser `a un dvp de Taylor)
La r´egularit´e 2/3-H¨older semble ˆetrele prix `a payerpour la d´eg´en´erescence
Il y a `a nouveau unicit´e forte.
Le cas d´ eg´ en´ er´ e
Syst`eme d´eg´en´er´e :
d Xt =dWt
dYt =b(t,Xt,Yt)dt
b est continus en temps.
b est d´erivable par rapport `ax1 `a d´eriv´ee uniform´ement non-d´eg´en´er´ee, et 2/3-H¨older par rapport `a x2.
La non-d´eg´en´erescence de la d´eriv´ee debassure la transmission de suffisamment de bruit de la premi`ere composante dans la seconde (penser `a un dvp de Taylor)
La r´egularit´e 2/3-H¨older semble ˆetrele prix `a payerpour la d´eg´en´erescence
Il y a `a nouveau unicit´e forte.
Le cas d´ eg´ en´ er´ e
Syst`eme d´eg´en´er´e :
d Xt =dWt
dYt =b(t,Xt,Yt)dt
b est continus en temps.
b est d´erivable par rapport `ax1 `a d´eriv´ee uniform´ement non-d´eg´en´er´ee, et 2/3-H¨older par rapport `a x2.
La non-d´eg´en´erescence de la d´eriv´ee debassure la transmission de suffisamment de bruit de la premi`ere composante dans la seconde (penser `a un dvp de Taylor)
La r´egularit´e 2/3-H¨older semble ˆetrele prix `a payerpour la d´eg´en´erescence
Le cas d´ eg´ en´ er´ e
Syst`eme d´eg´en´er´e :
d Xt =dWt
dYt =b(t,Xt,Yt)dt
b est continus en temps.
b est d´erivable par rapport `ax1 `a d´eriv´ee uniform´ement non-d´eg´en´er´ee, et 2/3-H¨older par rapport `a x2.
La non-d´eg´en´erescence de la d´eriv´ee debassure la transmission de suffisamment de bruit de la premi`ere composante dans la seconde (penser `a un dvp de Taylor)
La r´egularit´e 2/3-H¨older semble ˆetrele prix `a payerpour la d´eg´en´erescence
Le cas d´ eg´ en´ er´ e
Syst`eme d´eg´en´er´e :
d Xt =dWt
dYt =b(t,Xt,Yt)dt
b est continus en temps.
b est d´erivable par rapport `ax1 `a d´eriv´ee uniform´ement non-d´eg´en´er´ee, et 2/3-H¨older par rapport `a x2.
La non-d´eg´en´erescence de la d´eriv´ee debassure la transmission de suffisamment de bruit de la premi`ere composante dans la seconde (penser `a un dvp de Taylor)
La r´egularit´e 2/3-H¨older semble ˆetrele prix `a payerpour la d´eg´en´erescence
