Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble
Option calcul scientifique 2008/2009
TP n
o8 : un syst` eme de r´ eaction-diffusion
On consid`ere le mod`ele de Lotka-Volterra pour l’´evolution d’un ´ecosyst`eme comprenant des densit´es u(t) de proies et v(t) de pr´edateurs.
u′(t) = 4u(t)−u(t)v(t) v′(t) =−v(t) +u(t)v(t) Quel est le comportement qualitatif de ce syst`eme ?
On introduit maintenant une dimension spatiale au probl`eme : le milieu est repr´esent´e par un intervalle [0,1]. On suppose que le milieu n’est pas homog`ene. Par exemple, on suppose que les proies ne se reproduisent que dans un intervalle I ⊂ [0,1]. Le probl`eme devient
∂tu(x, t) = c∆u(x, t) + 4χI(x)u(x, t)−u(x, t)v(x, t) (x, t)∈(0,1)×R+
∂tv(x, t) = c∆v(x, t)−v(x, t) +u(x, t)v(x, t) (x, t)∈(0,1)×R+
∂xu(0, t) =∂xu(1, t) =∂xv(0, t) = ∂xv(1, t) = 0 t >0
u(x,0) =u0 v(x,0) =v0 x∈(0,1)
o`uc= 1/10 est le coefficient de diffusion des esp`eces animales.
Quel est le comportement qualitatif de ce syst`eme ? Discuter du mod`ele et proposer des syst`emes similaires.
