1) Soient I ⊂ R un intervalle et A : I → L ( R N ) une application continue. Donner la d´efinition de r´esolvante du syst`eme u 0 = A(t)u.

Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2011/2012 L3 Maths Fondamendales & Enseignement Equations Diff´erentielles Ordinaires ´

Examen du 29 mai 2012 Dur´ee : 3h00

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Exercice 1 (Cours). [3 points]

1) Soient I ⊂ R un intervalle et A : I → L ( R ^N ) une application continue. Donner la d´efinition de r´esolvante du syst`eme u ⁰ = A(t)u.

2) Soient T, L, b ∈ R tels que T > 0 et L > 0. Soit w : [0, T ] → R une fonction continue v´erifiant

w(t) 6 w(0) + Z t

0

(Lw(s) + b) ds ∀t ∈ [0, T ] .

Montrer que

w(t) + b L 6

w(0) + b L

e ^Lt ∀t ∈ [0, T ] .

Exercice 2. [5points]

Pour t ∈ R , on pose

u(t) = Z +∞

0

e ^−x

√ x cos(tx) dx , v(t) = Z +∞

0

e ^−x

√ x sin(tx) dx .

1) Montrer que les fonctions u et v sont de classe C ¹ sur R .

2) Montrer que le couple (u, v) est solution d’un syst`eme diff´erentiel du premier ordre.

3) En d´eduire que la fonction w := u + iv est solution d’une ´equation diff´erentielle complexe, et r´esoudre cette ´equation.

4) En d´eduire les valeurs de u(t) et de v(t). On pourra utiliser R +∞

0 e ^−s

ds =

√ π

2 . Exercice 3. [5 points]

Soit f : R ^N → R ^N v´erifiant

kf (x) − f (y)k ₂ 6 Kkx − yk ₂ ∀x, y ∈ R ² , (1) pour une certaine constante K > 0.

1) Etant donn´e ´ x ₀ ∈ R ^N , on consid`ere le probl`eme de Cauchy ( u ⁰ = f (u)

u(0) = x 0

.

Montrer que ce probl`eme admet une unique solution globale u.

On consid`ere maintenant la solution maximale v du syst`eme perturb´e ( v ⁰ = f (v) + g(t, v)

v(0) = x 0

o`u l’application g : R × R ^N → R ^N est suppos´ee de classe C ¹ et v´erifie

kg(t, x)k 2 6 1 ∀(t, x) ∈ R × R ^N . (2) 2) Justifier l’existence et l’unicit´e de la solution maximale v.

Dans la suite, on notera I max l’intervalle maximal d’existence de v.

3) A l’aide du Lemme de Gronwall sous forme int´egrale, de (1) et de (2), montrer que

kv(t) − u(t)k 2 6 e ^K|t| − 1

K ∀t ∈ I max . 4) En d´eduire que v est une solution globale.

Exercice 4. [4 points]

Soit G : R × R ^N → R ^N une application de classe C ² . Pour t ∈ R on note φ t : R ^N → R ^N l’application d´efinie par φ t (x) = G(t, x). On supposera que

(a) pour tout t ∈ R , φ _t est une bijection de R ^N dans R ^N ;

(b) φ t+s (x) = φ t (φ s (x)) = φ s (φ t (x)) pour tous s, t ∈ R et x ∈ R ^N ; 1) Montrer que φ 0 (x) = x pour tout x ∈ R ^N .

2) Montrer que pour tout t ∈ R , φ t est un diff´eomorphisme de classe C ² de R ^N dans R ^N .

On consid`ere maintenant l’application f : R ^N → R ^N d´efinie par f (x) = ∂G

∂t (0, x) , et on s’int´eresse au probl`eme de Cauchy

( u ⁰ = f (u)

u(0) = x (3)

o`u x ∈ R ^N est donn´e arbitraire.

3) Montrer que le probl`eme (3) admet une unique solution maximale u.

4) En utilisant la propri´et´e (b), montrer que la solution u du probl`eme (3) est donn´ee par u(t) = G(t, x).

Exercice 5. [3 points]

Soit A : R → L ( R ^N ) une application continue et p´eriodique de p´eriode 2π. On consid`ere le syst`eme diff´erentiel u ⁰ = A(t)u , et on note R(t, t 0 ) la r´esolvante de ce syst`eme.

Q) Montrer qu’il existe une solution non nulle 2π-p´eriodique de ce syst`eme si et seule-

ment si 1 est une valeur propre de R(t ₀ + 2π, t ₀ ).