L3 SM UE604P Universit´ e de Tours Ann´ ee 2011-2012
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
contrˆ ole continu dur´ ee: 2h
1. Soienta,a† deux op´erateurs v´erifiant la relation [a, a†] = 1 et soitf un vecteur v´erifiantaf = 0. Montrer que
fα=eαa†f, α∈C est un vecteur propre deaet calculer la valeur propre associ´ee.
2. Consid´erons l’ensemble d’op´erateurs diff´erentiels `n = −zn+1∂z∂ avec n ∈ Z. Calculer le commutateur [`n, `m] et l’exprimer en fonction des{`k}. L’alg`ebre engendr´ee par ces relations de commutation s’appelle l’alg`ebre de Witt. V´erifier qu’elle contient l’alg`ebre du moment angulaire comme sous-alg`ebre associ´ee `a n=−1,0,1.
3. Donner la forme explicite des fonctions propres communes deL2etLzassoci´ees aux valeurs propres`= 4, m=−1.
4. Montrer queJ1/2(s) = q2
π
sins
√s . Puis d´emontrer la formule
J`+1
2(s) = (−1)` r2
π s`+12 1
s d ds
`sins
s , `= 0,1,2, . . .
Indication: on pourra (par exemple) utiliser la formule de reflexion pour la fonction gamma:
Γ(z)Γ(1−z) = π sinπz.
