1M002 : SUITES ET INT´EGRALES, ALG`EBRE LIN´EAIRE ANN´EE 2016-2017

Antonin Guilloux

1M002 : SUITES ET

INT´ EGRALES, ALG` EBRE LIN´ EAIRE

ANN´ EE 2016-2017

Antonin Guilloux

1M002 : SUITES ET INT´ EGRALES, ALG` EBRE LIN´ EAIRE

ANN´ EE 2016-2017

Antonin Guilloux

5

Avertissement

Ce cours de math´ ematiques g´ en´ erales du second semestre de L1 couvre les th` emes des suites et int´ egrales et une introduction ` a l’alg` ebre lin´ eaire.

Diff´ erentes sources d’inspiration m’ont servi pour r´ ediger ce polycopi´ e, no- tamment plusieurs notes de cours de coll` egues (par exemple Patrick Polo, Claire David, Sophie Chemla, Jean-Lin Journ´ e...). Je tiens ` a remercier tout particuli` erement Patrick Polo, dont les conseils m’ont ´ et´ e tr` es utiles. Certaines sections sont en grande partie reprises du polycopi´ e qu’il a lui-mˆ eme r´ edig´ e en 2013/2014. Les discussions avec Laurent Charles et Pierre Charollois m’ont aussi permis d’am´ eliorer ce texte.

Certains r´ esultats ont une importance particuli` ere. Ils sont identifi´ es comme

des questions de cours et sont indiqu´ ees par le symbole (QC) en marge : (QC)

TABLE DES MATI` ERES

1. Introduction : un peu de logique . . . . 9

1.1. ´ Enonc´ es math´ ematiques . . . 10

1.2. Raisonnements . . . 15

1.3. Quelques notations sur les ensembles . . . 16

2. Suites r´ eelles et complexes . . . 19

2.1. Suites r´ eelles ou complexes ; op´ erations sur les suites . . . 19

2.2. Quelques exemples . . . 20

2.3. Suites born´ ees, convergentes . . . 23

2.4. Sous-suites et le th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass . . . 28

3. Suites num´ eriques r´ ecurrentes . . . 31

3.1. Repr´ esentation graphique . . . 31

3.2. D´ efinition, monotonie . . . 32

3.3. Convergence et points fixes . . . 33

3.4. Convergence et points fixes, Cas des fonctions d´ erivables . . . 33

3.5. M´ ethode de Newton . . . 35

4. Matrices . . . 37

4.1. Matrices . . . 37

4.2. Somme de matrices et produit par un scalaire . . . 39

4.3. Produits de matrices . . . 40

4.4. Cas des matrices carr´ ees . . . 43

5. R´ esolution des syst` emes lin´ eaires . . . 47

5.1. Syst` emes lin´ eaires, aspects th´ eoriques . . . 47

5.2. Syst` emes lin´ eaires : le pivot de Gauss . . . 49

6. D´ eterminants . . . 59

8 TABLE DES MATI `ERES

6.1. Cas des matrices 2 × 2 . . . 59

6.2. Cas g´ en´ eral . . . 60

6.3. D´ eterminant et inversion . . . 66

6.4. Calcul de d´ eterminants . . . 68

Annexe : preuve de l’existence du d´ eterminant . . . 69

7. Int´ egration . . . 75

7.1. Primitives et int´ egrales . . . 75

7.2. Propri´ et´ es de l’int´ egrale des fonctions continues . . . 77

7.3. Calculs de primitives et d’int´ egrales . . . 78

7.4. Int´ egration des fonctions rationnelles . . . 84

8. ´ Etude th´ eorique de l’int´ egrale . . . 89

8.1. Int´ egration des fonctions en escalier . . . 89

8.2. Int´ egration des fonctions continues par morceaux . . . 93

8.3. Quelques propri´ et´ es suppl´ ementaires de l’int´ egrale des fonctions continues . . . 97

8.4. Formule de Taylor avec reste int´ egral . . . 98

8.5. Sommes de Riemann . . . 100

8.6. Calculs approch´ es d’int´ egrales . . . 101

8.7. ´ Epilogue : Int´ egrale de fonctions ` a valeurs complexes . . . 102

9. Espaces vectoriels . . . 103

9.1. Groupes ab´ eliens, corps, espaces vectoriels . . . 104

9.2. Combinaisons lin´ eaires, Sous-espaces vectoriels . . . 106

9.3. Application lin´ eaire . . . 109

9.4. Bases, dimensions . . . 112

9.5. Le rang . . . 116

9.6. Application : Les ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 2 ` a coefficients constants . . . 119

10. Matrices d’une application lin´ eaire, Changement de bases, R´ eduction . . . 125

10.1. Matrices d’une application lin´ eaire . . . 125

10.2. Matrices de passage . . . 128

10.3. R´ eduction . . . 131

10.4. Application aux matrices d’´ evolution d’un syst` eme . . . 136

CHAPITRE 1

INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE

Les math´ ematiques demandent une grande rigueur dans l’exposition des r´ esultats et des d´ emonstrations. Si l’intuition et la persuasion sont des outils indispensables dans la recherche de solutions ` a des probl` emes, si l’aspect de jeu d’´ enigmes peut-ˆ etre une motivation pour faire des maths, il n’en reste pas moins que l’´ etape finale d’un travail est une r´ edaction rigoureuse des r´ esultats et des raisonnements.

Le but de cette rigueur est de permettre une v´ erification au lecteur. Dans l’id´ eal, il ne doit pas y avoir d’ambigu¨ıt´ es dans la r´ edaction et le lecteur doit savoir exactement ce que l’auteur du texte a en tˆ ete. Un point qui n’est pas compl` etement ´ evident au premier abord est qu’une r´ edaction rigoureuse d´ e- pend du lecteur. Par exemple, consid´ erons le texte suivant

La fonction x 7→ x

− 2 est d´ efinie et continue sur R, vaut −1 pour x = 1 et 2 pour x = 2. D’apr` es le th´ eor` eme des valeurs interm´ e- diaires, elle s’annule sur l’intervalle [1, 2].

Normalement, il doit vous apparaˆıtre comme rigoureux et vous devez ˆ etre convaincus. Mais, bien sˆ ur, si je dis la mˆ eme chose ` a un ´ el` eve de seconde, il ne peut pas consid´ erer cette r´ edaction comme rigoureuse, car il ne connaˆıt pas les d´ efinitions et le th´ eor` eme auxquels elle fait r´ ef´ erence. Il faudra que je trouve un autre moyen de le convaincre de l’existence de √

2

. Dans le cadre de ce cours, je consid` ere que le lecteur connaˆıt les d´ efinitions et r´ esultats du cours 1M001. Au fur et ` a mesure, nous verrons de nouvelles d´ efinitions et de nouveaux r´ esultats qui permettront de dire de nouvelles choses de mani` ere rigoureuse.

1. Par exemple, d’apr` es le th´ eor` eme de Pythagore, c’est la longueur de la diagonale du

carr´ e de cˆ ot´ e 1. C’est rigoureux pour l’´ el` eve de seconde – et mˆ eme pour nous, ¸ ca donne

beaucoup plus d’informations et d’intuition !

10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE

Cette rigueur repose notamment sur une utilisation tr` es pr´ ecise du langage (et on parle d’ailleurs de langage math´ ematique pour le diff´ erencier du langage courant), sur des r` egles de logique et de raisonnements bien ´ etablies et bien comprises et sur une grande attention aux d´ efinitions des objets et des cadres de travail et ` a l’exposition des d´ emonstrations.

Cette pr´ esente introduction cherche ` a expliciter les deux premiers points : quelle est cette pr´ ecision dans le langage qu’on recherche, et quels sont les outils logiques dont on dispose. Quant au troisi` eme point, il sera illustr´ e tout au long du semestre par la r´ edaction mˆ eme du cours.

Une des dimensions de votre formation en math´ ematiques est d’apprendre

`

a maˆıtriser cette utilisation du langage et de la logique dans votre pratique des math´ ematiques. Vous devez vous approprier ces fa¸ cons de mettre en forme vos raisonnements pour pouvoir les expliquer ` a d’autres.

1.1. ´ Enonc´ es math´ ematiques

1.1.1. Propositions et ´ enonc´ es. — Une proposition est tout simplement une affirmation grammaticalement correcte:

Exemples 1.1.1. — 1. x est positif.

2. La fonction est continue.

On ne peut pas d´ ecider si ces affirmations sont vraies ou fausses: tous les termes ne sont pas bien d´ efinis. Par exemple, pour la premi` ere des deux, ¸ ca d´ epend de qui est x.

Un ´ enonc´ e est une affirmation dont tous les mots sont bien d´ efinis (il ne doit pas y avoir d’ambigu¨ıt´ e). Il est vrai ou faux. Par exemple:

Exemples 1.1.2. —

1. Tout nombre r´ eel positif est le carr´ e d’un nombre r´ eel.

2. Consid´ erons un nombre rationnel positif. Alors il est le carr´ e d’un nombre rationnel.

3. Toute fonction continue sur R est positive.

Pour construire des ´ enonc´ es ou propositions plus compliqu´ es, nous utili- sons des connecteurs logiques : la conjonction (”et”), la disjonction (”ou”), l’implication, l’´ equivalence et la n´ egation.

Consid´ erons donc deux ´ enonc´ es E1 et E2.

1.1. ´ENONC ´ES MATH ´EMATIQUES 11

1.1.2. Conjonction. — La conjonction de E1 et E2 est l’´ enonc´ e “E1 et E2”.

Par exemple :

Exemples 1.1.3. —

1. Tout nombre r´ eel positif est le carr´ e d’un nombre r´ eel et tout nombre r´ eel est le cube d’un nombre r´ eel.

2. Tout nombre r´ eel est le carr´ e d’un nombre r´ eel et tout nombre r´ eel est le cube d’un nombre r´ eel.

La conjonction “E1 et E2” est vraie quand les deux ´ enonc´ es sont vrais. Si l’un des deux est faux ou les deux sont faux, la conjonction est fausse. On peut r´ esumer cette r` egle dans un tableau de v´ erit´ e :

E1 Vrai Faux E2

Vrai Vrai Faux

Faux Faux Faux

Figure 1. Tableau de v´ erit´ e de “E1 et E2”

Exercice : Parmi les deux exemples, certains sont-ils vrais ?

1.1.3. Disjonction. — La disjonction de E1 et E2 est l’´ enonc´ e “E1 ou E2”.

Par exemple :

Exemples 1.1.4. —

1. Tout nombre r´ eel est positif ou tout nombre r´ eel est n´ egatif.

2. Tout nombre r´ eel est le carr´ e d’un nombre r´ eel ou tout nombre r´ eel est le cube d’un nombre r´ eel.

La disjonction “E1 ou E2” est vraie quand l’un des deux ´ enonc´ es est vrai ou les deux sont vrais. Si les deux sont faux, la disjonction est fausse. Le tableau de v´ erit´ e est le suivant.

E1 Vrai Faux E2

Vrai Vrai Vrai

Faux Vrai Faux

Figure 2. Tableau de v´ erit´ e de “E1 ou E2”

Exercice: Parmi les deux exemples, certains sont-ils vrais?

12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE

1.1.4. Implication et ´ equivalence. — L’implication est l’´ enonc´ e “Si E1, alors E2” qu’on peut dire aussi “E1 implique E2” (not´ e “E1 ⇒ E2”).

Exemples 1.1.5. —

1. 2 est positif implique 2 est un carr´ e.

2. 3 est n´ egatif implique −2 est un carr´ e.

3. 3 est positif implique −2 est un carr´ e.

L’implication “E1 implique E2” est vraie si E1 et E2 sont vrais ou si E1 est faux (peu importe la v´ erit´ e de E2) : du faux on peut d´ eduire n’importe quoi.

Le tableau de v´ erit´ e est le suivant.

E1 Vrai Faux E2

Vrai Vrai Vrai

Faux Faux Vrai

Figure 3. Tableau de v´ erit´ e de “E1 implique E2”

Attention, sur l’implication nous commen¸ cons ` a voir des divergences entre le langage courant et le langage math´ ematique: en g´ en´ eral, l’intuition nous commande de dire que le deuxi` eme exemple ci-dessus est faux. Or, il est vrai, car le premier ´ enonc´ e est faux. En plus, les exemples 2 et 3 sont tr` es ´ etranges car il n’y a pas de rapport entre l’´ enonc´ e de gauche et celui de droite, et ¸ ca heurte notre intuition de l’implication. Il se trouve que pour un raisonnement logique rigoureux, la d´ efinition donn´ ee est la bonne.

L’´ equivalence est l’´ enonc´ e “(E1 implique E2) et (E2 implique E1)”, qu’on peut dire aussi “E1 ´ equivaut ` a E2” (not´ e “E1 ⇔ E2”).

Vues les r` egles donn´ ees ci-dessus, l’´ equivalence est vraie si les ´ enonc´ es sont tous les deux vrais ou tous les deux faux. Dans les autres cas, elle est fausse.

1.1.5. N´ egation. — La n´ egation de l’´ enonc´ e E1 est l’´ enonc´ e “non E1”. La n´ egation est vraie si E1 est faux ; elle est fausse si E1 est vrai.

Ca semble simple dit comme ¸ ca, mais vous pouvez m´ editer sur les r` egles (surtout la troisi` eme):

1. “non(E1 et E2)” est (´ equivalent ` a) l’´ enonc´ e “non(E1) ou non(E2)”.

2. “non(E1 ou E2)” est (´ equivalent ` a) l’´ enonc´ e “non(E1) et non(E2)”.

3. “non(E1 ⇒ E2)” est (´ equivalent ` a) l’´ enonc´ e “E1 et non(E2)”.

Pour v´ erifier ces r` egles, une bonne fa¸ con est de dresser un tableau de v´ erit´ e:

faire un tableau avec toutes les valeurs possibles de v´ erit´ e pour E1 et E2 et

verifier que dans chaque cas les deux ´ enonc´ es propos´ es sont en mˆ eme temps

vrais et en mˆ eme temps faux.

1.1. ´ENONC ´ES MATH ´EMATIQUES 13

1.1.6. Variables et quantificateurs. — Regardons le texte suivant

: Lorsque le cube et les choses, pris ensembles, sont ´ egaux ` a un nombre discret,

, on trouve deux nombres qui diff` erent de celui- l` a

tels que leur produit soit toujours ´ egal au cube du tiers des choses nettes

. Le reste alors, en r` egle g´ en´ erale, de la soustraction bien r´ ealis´ ee de leurs racines cubiques est ´ egal ` a ta chose princi- pale

.

Dans le second de ces actes

, lorsque le cube reste seul

, tu ob- serveras ces autres accords : tu diviseras imm´ ediatement le nombre en deux parties, de sorte que l’une multipli´ ee par l’autre donne clai- rement et exactement le cube du tiers de la chose

. Ensuite, de ces deux parties, selon une r` egle habituelle, tu prendras les racines cubiques ajout´ ees ensembles, et cette somme sera ton r´ esultat

. [...]

Il est tr` es difficile de le comprendre, en tous cas pour nous lecteurs modernes.

Nous pr´ ef´ ererions lire et ´ ecrire:

Pour r´ esoudre l’´ equation z

+ pz = q, on peut chercher u et v tels que:

( u − v = q uv =

Alors (dans le cas o` u u et v sont r´ eels), la diff´ erence de leurs racines cubiques donnera une racine de l’´ equation initiale.

Pour r´ esoudre l’´ equation z

= pz +q, on peut chercher u et v tels que:

( u + v = q uv =

Alors (dans le cas o` u u et v sont r´ eels), la somme de leurs racines cubiques donnera une racine de l’´ equation initiale.

2. Tir´ e d’une lettre de 1546 de Tartaglia ` a Cardan, traduction personnelle.

3. C’est ` a dire qu’on veut r´ esoudre une ´ equation

4. On cherche

et

tels que

5. On doit avoir aussi

. 6. Autrement dit, une solution est

u−√³ v.

7. On ´ etudie un deuxi` eme cas, dans une liste d´ ecrite plus haut dans la lettre.

8. C’est ` a dire que l’´ equation est maintenant

egatif ´ etaient suspects !

et

d´ esignent toujours des nombres positifs.

9. Maintenant, on cherche

et

tels que

et

. 10. La solution est alors

u+√³ v.

14 CHAPITRE 1. INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE

Exercice : essayer de comprendre que c’est effectivement une traduction du texte ci-dessus. Ce texte d´ ecrit partiellement une m´ ethode pour r´ esoudre les

´

equations du troisi` eme degr´ e, appel´ ee m´ ethode de Cardan

. Elle est due ` a Cardan qui rep` ere une erreur dans la m´ ethode ci-dessus et la corrige.

Une chose ` a noter est que dans notre traduction, nous avons utilis´ e des variables: nous avons donn´ e un nom ` a des objets qu’il est long de d´ ecrire avec des mots. N’oubliez jamais que ce n’est que ¸ ca: un nom commode donn´ e ` a des objets qu’on pourrait d´ ecrire avec des mots. Les ´ enonc´ es math´ ematiques sont avant tout des phrases !

Une autre abr´ eviation dont nous nous servons couramment sont les quan- tificateurs : nous utilisons le symbole ∀ pour dire “pour tout” et le symbole ∃ pour dire “il existe”.

Exemples 1.1.6. —

1. ∃x ∈ R, x > 0 se lit “il existe un nombre r´ eel positif”.

2. ∀y ∈ [0, +∞[, ∃z ∈ R, y = z

se lit “pour tout nombre r´ eel positif, il existe un nombre r´ eel dont le premier est le carr´ e” et surtout se comprend comme l’affirmation “tout nombre r´ eel positif est un carr´ e”.

Avec toutes ces r` egles (et la connaissance de quelques lettres grecques), vous pouvez lire la d´ efinition de la continuit´ e en un point x

d’une fonction f d´ efinie sur un intervalle I de R:

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − x

| ≤ η ⇒ |f (x) − f (x

)| ≤ ε

Exercice : une fois que vous l’avez lue, essayez de la comprendre, au sens de la dire avec une phrase fran¸ caise la plus compr´ ehensible possible.

1.1.7. N´ egation, encore. — Il nous faut revenir sur la n´ egation, pour comprendre comment nier des phrases compliqu´ ees. Tout d’abord un aver- tissement: il n’est pas si facile de nier une phrase. Cependant, il y a une m´ ethode automatique, qui n’aide pas beaucoup la compr´ ehension mais qui permet d’arriver au bon r´ esultat.

Les r` egles donn´ ees plus haut expliquaient comment nier des phrases li´ ees par un connecteur: si on sait nier E1 et nier E2, alors on sait nier “E1 et E2”:

c’est l’´ enonc´ e “non(E1) ou non(E2)”.

Pour nier un ´ enonc´ e qui commence par un quantificateur, il suffit de l’´ echanger avec l’autre quantificateur, sans changer la condition sur la variable s’il y en a une. Si P est une proposition et A un ensemble, la n´ egation de “∀x ∈ A, P”

est “∃x ∈ A, non(P)” et inversement.

11. Voir par exemple la page Wikipedia:

Cardan

1.2. RAISONNEMENTS 15

Par exemple, la suite des ´ etapes n´ ecessaires pour nier la d´ efinition de la continuit´ e donn´ ee plus haut est :

1. non(∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − x

| ≤ η ⇒ |f (x) − f (x

)| ≤ ε) est (´ equivalent ` a):

2. ∃ε > 0, non(∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − x

| ≤ η ⇒ |f (x) − f (x

)| ≤ ε) qui est (´ equivalent ` a):

3. ∃ε > 0, ∀η > 0, non(∀x ∈ I, |x − x

| ≤ η ⇒ |f (x) − f (x

)| ≤ ε) qui est (´ equivalent ` a):

4. ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈ I , non(|x − x

| ≤ η ⇒ |f (x) − f (x

)| ≤ ε) qui est (´ equivalent ` a):

5. ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈ I, |x − x

| ≤ η et non(|f (x) − f (x

)| ≤ ε) qui est (´ equivalent ` a):

6. ∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈ I , |x − x

| ≤ η et |f (x) − f (x

)| ≥ ε.

Il ne reste maintenant qu’` a comprendre ce qui signifie cet ultime ´ enonc´ e!

1.2. Raisonnements

Nous passons ici en revue les types de raisonnements qui nous serons utiles.

Nous en verrons plusieurs exemples au cours du semestre.

1.2.1. Par r´ ecurrence. — Vous le connaissez : il s’agit de d´ emontrer un

´

enonc´ e du type “pour tout entier n, P (n)” o` u P est une propri´ et´ e de n.

Pour ¸ca on initialise : on montre P (0).

Ensuite, on montre l’h´ er´ edit´ e ou propagation : on montre pour tout entier n l’implication P (n) ⇒ P(n + 1).

Alors l’´ enonc´ e “pour tout entier n, P (n)” est prouv´ e.

Nous verrons beaucoup d’exemples de tels raisonnements. Il y a aussi des variantes (par exemple commencer l’initialisation ` a n = 1 plutˆ ot que 0).

1.2.2. Par la contrapos´ ee. — On a deux ´ enonc´ es A et B et on veut d´ e- montrer que A ⇒ B.

Pour ce faire, on remarque que l’´ enonc´ e A ⇒ B est ´ equivalent ` a l’´ enonc´ e non(B) ⇒ non(A). Pour ce faire, il faut ´ ecrire la table de v´ erit´ e des deux implications et on constater que ces deux tables sont identiques.

Et le raisonnement par contrapos´ ee est de montrer l’´ enonc´ e non(B) ⇒ non(A).

Exemple 1.2.1. — Montrons pour tout entier n que : n

est pair ⇒ n est pair.

On ´ ecrit l’implication contrapos´ ee : n est impair ⇒ n

est impair. C’est cela

maintenant qu’on veut montrer.

16 CHAPITRE 1. INTRODUCTION : UN PEU DE LOGIQUE

C’est facile : si n est impair, on peut ´ ecrire n = 2k + 1 pour k un entier.

Ainsi n

= 4k

+ 4k + 1 est bien un nombre impair.

1.2.3. Par l’absurde. — C’est un raisonnement tr` es proche de la contra- pos´ ee. On veut montrer, sous certaines hypoth` eses, l’´ enonc´ e A.

Pour ¸ ca, on suppose, sous les mˆ emes hypoth` eses, que l’´ enonc´ e non(A) est vrai, et on cherche une contradiction.

Exemple 1.2.2. — Montrons que √

2 est irrationnel.

On veut montrer qu’il est impossible de trouver deux rationnels p et q sans facteurs communs tels que √

2 =

.

Pour ¸ ca, on raisonne par l’absurde : on suppose qu’il existe deux entiers p et q, qui ne sont pas tous les deux pairs car sans facteurs communs, tels que

√ 2 =

.

En mettant au carr´ e, on obtient q

= 2p

. Donc q

est pair et d’apr` es l’exemple pr´ ec´ edent, q est pair : q = 2q

pour un entier q

. En rempla¸ cant, on obtient p

= 2q

, donc p

est pair. Finalement q et p sont pairs : c’est la contradiction recherch´ ee.

On en d´ eduit bien que √

2 est irrationnel.

1.3. Quelques notations sur les ensembles

Passons en revue quelques notations sur les ensembles, sans vraiment nous poser la question de ce qu’est un ensemble – ¸ ca nous emm` enerait trop loin ! Nous restons dans le vague : un ensemble est une collection d’objets, appel´ es

´

el´ ements. On suppose donc qu’on a deux ensembles A et B.

1. L’intersection de A et B est l’ensemble A ∩ B des ´ el´ ements qui sont ` a la fois dans A et dans B. Autrement dit, pour tout x, x ∈ A ∩ B ´ equivaut

`

a x ∈ A et x ∈ B.

2. L’union de A et B est l’ensemble A ∪ B des ´ el´ ements qui sont dans A ou dans B (ou les deux). Autrement dit, pour tout x, x ∈ A ∪ B ´ equivaut

`

a x ∈ A ou x ∈ B.

3. L’ensemble A est inclus dans B, not´ e A ⊂ B, si tout ´ el´ ement de A est aussi ´ el´ ement de B . Autrement dit A ⊂ B ´ equivaut ` a : pour tout x, x ∈ A ⇒ x ∈ B .

Exemples 1.3.1. —

1. ] − ∞, 1] ∩ [0, +∞[ est l’ensemble [0, 1].

2. ] − ∞, 1] ∩ [0, +∞[ est l’ensemble R.

3. L’inclusion ]1, 2[⊂]0, +∞[ est vraie.

1.3. QUELQUES NOTATIONS SUR LES ENSEMBLES 17

4. L’inclusion {kπ, pour k ∈ Z} ⊂ [0, +∞[ est faux. Rappelons que le pre-

mier ensemble est l’ensemble des multiples (positifs ou n´ egatifs) de π.

CHAPITRE 2

SUITES R´ EELLES ET COMPLEXES

Les suites sont un objet fondamental ` a la fois en math´ ematiques et dans l’application des math´ ematiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux dirig´ es divers exemples : approximation d’un nombre ir- rationnel par des d´ ecimaux ; suite de Syracuse ; algorithme de Newton pour approcher les racines d’un polynˆ ome ; mod´ elisation des prˆ ets bancaires.

Ce chapitre commence principalement par des rappels. Ce sera le pr´ etexte pour r´ eintroduire sur divers exemples les nombres complexes et leurs propri´ e- t´ es.

2.1. Suites r´ eelles ou complexes ; op´ erations sur les suites On fixe la notation K = R ou C.

D´ efinition 2.1.1. — Une suite ` a valeurs

dans K est une application u : N → K.

On note u = (u

)

ou u = (u

, u

, . . . , u

, . . .).

L’ensemble des suites ` a valeurs dans K est not´ e S

ou K

. Le nombre u

est appel´ e n-i` eme terme de la suite u.

Il arrive parfois que la suite ne soit pas d´ efinie pour tous les entiers de N, mais seulement pour un sous-ensemble d’indices I ⊂ N. Une suite d´ efinie sur I est une application u : I → K. On la note u = (u

)

.

On peut d´ efinir une suite par diff´ erents proc´ ed´ es, par exemple : 1. une formule ; par exemple la suite d´ efinie par u

= n

+ cos(n).

1. On dit plus simplement suite r´ eelle si

et complexe si

20 CHAPITRE 2. SUITES R ´EELLES ET COMPLEXES

2. un processus de construction (suite d´ efinie par r´ ecurrence) ; dans ce cas, on donne u

, puis on explique comment construire u

` a partir de u

. Autrement dit, la suite v´ erifie une relation de r´ ecurrence u

= f (u

). Par exemple, les suites de Syracuse : on choisit u

´ egal ` a un entier quelconque et on pose u

=

si u

est pair et u

= 3u

+1 si u

est impair. Ces suites peuvent ˆ etre tr` es compliqu´ ees ` a ´ etudier. Par exemple, pour les suites de Syracuse, on conjecture

que pour tout choix de u

, la suite passera par 1 (c’est-` a-dire qu’il existe n avec u

= 1). Par exemple, si u

= 4, alors la suite est (4, 2, 1, 4, 2, 1 . . .). En revanche, si u

= 15, alors la suite est

(15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . .).

3. Une r´ ecurrence ´ etendue : on se donne les p premiers termes, et on ex- plique comment construire u

` a partir de u

, u

, . . ., u

. 2.1.1. Op´ erations sur les suites. — On peut faire des op´ erations alg´ e- briques sur les suites : addition, multiplication, multiplication par un scalaire.

Nous rappelons ces d´ efinitions.

D´ efinition 2.1.2. — Soit u et v deux ´ el´ ements de S

et λ ∈ K. On d´ efinit :

(QC)

— La suite u + v par u + v = (u

+ v

)

.

— La suite λ · u par λ · u = (λu

)

Remarque 2.1.3. — On verra plus tard que ces d´ efinitions font de l’espace des suites un espace vectoriel.

On sait aussi multiplier les suites entre elles.

D´ efinition 2.1.4. — Soient u et v deux suites ` a valeurs dans K. On d´ efinit leur produit uv par uv = (u

v

)

.

(QC)

2.2. Quelques exemples

2.2.1. Les suites arithm´ etiques. —

D´ efinition 2.2.1. — Une suite u = (u

)

est dite arithm´ etique de raison r ∈ K si elle v´ erifie la relation de r´ ecurrence :

(QC)

2. C’est-` a-dire on pense que c’est vrai, mais qu’on ne sait pas le prouver. Pour ces suites, on l’a v´ erifi´ e num´ eriquement pour tous les

jusqu’` a au moins

! Le lecteur pourra aller voir la suite d’articles consacr´ es ` a cette suite sur le magnifique site Image des ma- th´ ematiques (http://images.math.cnrs.fr) : premier article (http://images.math.cnrs.

fr/Le-probleme-3n-1-elementaire-mais.html), deuxi`

eme article (http://images.math.

cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-cycles-de.html) et troisi`

eme article (http://images.math.

cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-y-a-t-il-des.html).

2.2. QUELQUES EXEMPLES 21

u

= u

+ r.

On montre alors, par r´ ecurrence :

Proposition 2.2.2. — Soit (u

) une suite arithm´ etique de raison r. (QC)

— Son terme g´ en´ eral est u

= u

+ nr.

— La somme de termes cons´ ecutifs est donn´ ee par :

n

X

k=p

u

= (n − p + 1) u

+ u

2 . Exemples 2.2.3. —

1. La suite d´ efinie par u

= n est arithm´ etique de raison 1. La somme des n premiers entiers est 1 + . . . + n =

. Une preuve g´ eom´ etrique et bien plus jolie est aussi donn´ ee en TD.

2. On peut repr´ esenter graphiquement dans le plan complexe l’´ evolution de la suite arithm´ etique de premier terme u

= 1 et de raison r = 1 + i. Le lecteur peut consulter cette animation https://ggbm.at/p5GPP7XT.

2.2.2. Les suites g´ eom´ etriques. —

D´ efinition 2.2.4. — Une suite u = (u

)

est dite g´ eom´ etrique de raison

q ∈ K si elle v´ erifie la relation de r´ ecurrence : (QC)

u

= qu

. On montre alors, par r´ ecurrence :

Proposition 2.2.5. — Soit (u

) une suite g´ eom´ etrique de raison q. (QC)

— Son terme g´ en´ eral est u

= u

q

.

— Si q 6= 1, la somme de termes cons´ ecutifs est donn´ ee par :

n

X

k=p

u

= u

1 − q

1 − q .

Exemple 2.2.6. — On peut repr´ esenter graphiquement l’´ evolution d’une suite g´ eom´ etrique de premier terme u

= 1 et de raison q ∈ C. Suivre le lien https://ggbm.at/PNhWKvps pour une animation interactive. On peut traiter le cas q = 1 + i.

Tout d’abord, pour multiplier par un nombre complexe, il vaut mieux le mettre sous notation exponentielle (on renvoie au cours du premier semestre pour cette notion) : on remarque que

1 + i =

√ 2

cos

π 4

+ i sin

π 4

=

√

2e

.

22 CHAPITRE 2. SUITES R ´EELLES ET COMPLEXES

Donc la multiplication par 1 + i se traduit g´ eom´ etriquement par une simili- tude : on fait une homoth´ etie de rapport √

2 puis une rotation d’un quart de tour.

2.2.3. Les suites arithm´ etico-g´ eom´ etriques. —

D´ efinition 2.2.7. — Une suite u = (u

)

est dite arithm´ etico-g´ eom´ etrique de raisons r, q ∈ K si elle v´ erifie la relation de r´ ecurrence :

u

= qu

+ r.

Proposition 2.2.8. — On suppose q 6= 1

. Le terme g´ en´ eral d’une suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique de raisons q et r est :

u

= q

u

+ r(q

− 1) q − 1 .

D´ emonstration. — Modifions la suite u de mani` ere ` a trouver une suite g´ eo- m´ etrique : d´ efinissons la suite v par

v

= u

+ r q − 1 . Alors on a

v

= u

+ r

q − 1 = qu

+r + r

q − 1 = qu

+ qr q − 1 = q

u

+ r q − 1

= qv

. Donc la suite (v

) est g´ eom´ etrique de raison q et v

= q

v

= q

(u

+

).

On en d´ eduit que u

= v

−

= q

u

+

.

Une remarque sur la preuve ci-dessus : c’est un exemple de r´ edaction a posteriori : il a fallu r´ eflechir, faire des calculs, pour trouver la bonne suite v

` a consid´ erer. Ce processus est occult´ e dans la r´ edaction, o` u on donne directement la solution, qui peut alors sembler “magique”. Ce type de r´ edaction est plus efficace, mais cache parfois des id´ ees int´ eressantes.

Exemple 2.2.9. — Un bon exemple de suites arithm´ etico-g´ eom´ etriques est donn´ e par les prˆ ets bancaires. Imaginons qu’on emprunte 10 000 euros au taux annuel de 3% et qu’on d´ ecide de rembourser 100 euros par mois. On veut savoir combien de mois on va mettre ` a rembourser le prˆ et.

Notons u

la somme (”le capital”) restant due ` a la banque apr` es n mois (u

= 0 si on a fini de rembourser). On a u

= 10000. Pour calculer u

en fonction de u

, la r` egle est la suivante : les 100 euros de remboursement servent d’abord ` a payer les int´ erˆ ets du mois sur la somme u

, puis ` a rembourser le capital. Le taux mensuel d’int´ erˆ et est 3/12 = 0, 25%. Par exemple, pour le premier remboursement, on doit commencer par payer 0, 0025 ∗ 10000 = 25

3. Sinon, la suite est arithm´ etique.

2.3. SUITES BORN ´EES, CONVERGENTES 23

euros d’int´ erˆ ets, et on rembourse donc 75 euros de capital. Ainsi, u

= 10000 + 25 − 100 = 9925. Plus g´ en´ eralement, on obtient la relation de r´ ecurrence :

u

= u

+ 0, 0025u

− 100 = 1, 0025u

− 100.

La suite (u

)

est donc arithm´ etico-g´ eom´ etrique, de raison q = 1, 0025 et r = −100, tant qu’on n’a pas fini de rembourser. La proposition pr´ ec´ edente nous donne la formule :

u

= (1, 0025)

u

− 100 1, 0025

− 1

1, 0025 − 1 =(1, 0025)

10000 − 40000(1, 0025

− 1)

=40000 − 30000 × 1, 0025

.

Le nombre de mois n´ ecessaire au remboursement est le plus petit entier n tel que 40000 − 30000 × 1, 0025

≤ 0. Ce nombre est n´ egatif pour n ≥

' 115, 2 (exercice !). Donc le nombre de mois n´ ecessaire au remboursement est 116 (presque 10 ans).

On observe que si on d´ ecide de rembourser 200 euros par mois (r = −200), la dur´ ee est 54 mois – soit moins de la moiti´ e. En revanche, si on ne rembourse que 50 euros par mois, alors la dur´ ee est 278 mois – soit plus du double. Et on a un probl` eme si on ne veut rembourser que 25 euros par mois : chaque mois, ces 25 euros partent int´ egralement pour payer les int´ erˆ ets et on ne rembourse jamais le capital.

2.2.4. R´ ecurrences lin´ eaires d’ordre 2. —

D´ efinition 2.2.10. — On dit qu’une suite u = (u

)

v´ erifie une r´ ecur- rence lin´ eaire d’ordre 2 s’il existe a 6= 0, b et c 6= 0 dans K tels que pour tout n ≥ 0, on a :

(RL2) au

+ bu

+ cu

= 0.

Nous ne traiterons pas en amphi cette ann´ ee ces suites. Elles sont l’objet d’un devoir qu’on peut trouver sur Sakai.

2.3. Suites born´ ees, convergentes

2.3.1. Suites born´ es, major´ ees, monotones. — On rappelle que le mo- dule d’un nombre complexe z = a + ib est |z| = √

a

+ b

. Si z est r´ eel (donc z = a), alors son module est sa valeur absolue. Le module v´ erifie quelques propri´ et´ es utiles :

— on a |a| ≤ |z| et |b| ≤ |z| ;

— on a, si λ est r´ eel, |λz| = |λ||z| ;

— on a l’in´ egalit´ e triangulaire : pour tous z = a+ib, z

= a

+ib

complexes,

|z + z

| ≤ |z| + |z

| et |z − z

| ≥ |z| − |z

|.

24 CHAPITRE 2. SUITES R ´EELLES ET COMPLEXES

D´ efinition 2.3.1. — — Une suite r´ eelle ou complexe u

est dite born´ ee si ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, |u

| ≤ M .

(QC)

— Une suite r´ eelle est major´ ee si ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, u

≤ M.

— Une suite r´ eelle est minor´ ee si ∃m ∈ R, ∀n ∈ N, u

≥ m.

Proposition 2.3.2. — Si u et v sont deux suites ` a valeurs dans K born´ ees, et λ ∈ K, alors u + v est encore born´ ees et λ · u aussi.

Remarque 2.3.3. — Dans le langage qu’on mettra en place plus tard dans ce cours, ces propri´ et´ es s’expriment en disant que l’espace des suites born´ ees est un sous-espace vectoriel de S

.

D´ emonstration. — Prouvons la premi` ere assertion, les autres sont similaires : Soit u et v deux suites complexes born´ ees et λ ∈ C. Soit donc deux r´ eels M et N tels que pour tout n, |u

| ≤ M et |v

| ≤ N . Consid´ erons la suite u + v.

Le module de son n-i` eme terme v´ erifie, grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e triangulaire :

|u

+ v

| ≤ |u

| + |v

| ≤ M + N.

La suite u + v est donc born´ ee par M + N. De mˆ eme, la suite λ · u est born´ ee par |λ|M.

De plus, une suite complexe est born´ ee si et seulement si sa partie imaginaire et sa partie r´ eelle sont born´ ees :

Proposition 2.3.4. — Soit u = (u

)

une suite complexe, et notons a = (a

= Re(u

))

sa partie r´ eelle et b = (b

= Im(u

))

sa partie imagi- naire.

(QC)

Alors u est born´ ee si et seulement si a et b le sont.

D´ emonstration. — Supposons u born´ ee, et soit M ∈ R tel que pour tout n,

|u

| ≤ M . Comme pour tout n on a |a

| ≤ |u

| ≤ M et |b

| ≤ |u

| ≤ M, les suites a et b sont born´ ees.

R´ eciproquement, supposons a et b born´ ees. Alors il existe un r´ eel M > 0 tel que pour tout n on a |a

| ≤ M et |b

| ≤ M . Or, |u

| = ^p a

+ b

≤

√

M

+ M

≤ √

2M . Donc u est born´ ee.

Rappelons la d´ efinition de suites monotones (seulement dans le cas des suites r´ eelles, ¸ca n’a pas de sens pour les suites complexes) :

D´ efinition 2.3.5. — Pour une suite r´ eelle u, on dit que :

— u est croissante si pour tout n ≥ 0, u

≥ u

;

— u est d´ ecroissante si pour tout n ≥ 0, u

≤ u

;

— u est monotone si elle est croissante ou d´ ecroissante.

On ajoute l’adjectif strictement si les in´ egalit´ es sont strictes.

2.3. SUITES BORN ´EES, CONVERGENTES 25

2.3.2. Suites convergentes. — Vous connaissez la d´ efinition :

D´ efinition 2.3.6. — Une suite r´ eelle ou complexe u est dite convergente si

il existe un nombre r´ eel ou complexe l tel que : (QC)

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |u

− l| ≤ ε.

Le nombre l = lim(u) est appel´ e la limite de la suite u. On dit aussi que u tend vers l, not´ e u

−−−→

l.

Proposition 2.3.7. — Soit (u

)

une suite de S

convergente vers l ∈ K.

Alors

1. La suite est born´ ee.

2. La suite (u

− u

)

tend vers 0.

D´ emonstration. — 1. On utilise la d´ efinition de convergence avec ε = 1 : il existe N entier tel que pour tout n ≥ N , |u

− l| ≤ 1. En utilisant l’in´ egalit´ e triangulaire, on obtient |u

| ≤ |l| + 1. Donc la suite est born´ ee par max {|u

|, |u

|, . . . , |u

|, |l| + 1}.

2. Soit ε > 0. Soit N tel que pour tout n ≥ N , |u

−l| ≤ ε. Alors, pour tout n ≥ N , on a |u

−u

| ≤ |(u

−l)+(l−u

)| ≤ |u

−l|+|u

−l| ≤ 2ε.

Ca montre bien la convergence vers 0.

Quand une suite n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente. En niant la d´ efinition pr´ ec´ edente, on voit qu’une suite est divergente si pour tout l, il existe ε > 0 tel que pour tout N ∈ N, il existe n ≥ N tel que |u

− l| > ε.

Exemple 2.3.8. — Prenons le cas des suites g´ eom´ etriques complexes. Soient u

6= 0 ∈ C, q ∈ C et u

la suite g´ eom´ etrique de premier terme u

et de raison q (on renvoie le lecteur ` a l’animation d´ ej` a mentionn´ ee pour les suites g´ eom´ etriques). Trois cas d’´ etudes se pr´ esentent :

— si |q| > 1, alors |u

| = |u

q

| = |u

||q|

tend vers +∞. Donc la suite u

diverge, par contrapos´ ee du premier point de la proposition ci-dessus.

— si |q| < 1, alors |u

| = |u

q

| = |u

||q|

tend vers 0. Ainsi |u

− 0| → 0, ce qui d’apr` es la d´ efinition signifie que u

→ 0.

— si |q| = 1 : on remarque que |u

− u

| = |u

q

(q − 1)| = |u

||q − 1| est constant. Si q = 1, alors la suite est constante et donc convergente (` a nouveau par contrapos´ ee du second point de la proposition ci-dessus).

Si q 6= 1, on voit que u

− u

ne tend pas vers 0 : la suite n’est pas convergente.

Proposition 2.3.9. —

26 CHAPITRE 2. SUITES R ´EELLES ET COMPLEXES

Soit u une suite complexe. Notons a = (a

= Re(u

))

et b = (b

= Im(u

))

. Alors u tend vers l = r + is si et seulement si a tend vers r et b tend vers s.

(QC)

D´ emonstration. — Supposons que u

−−−→

l et soit ε > 0. Utilisons la d´ efi- nition de u

−−−→

l pour cet ε : il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N , on a |u

− l| ≤ ε. Or on a d´ ej` a vu que |a

− r| ≤ |u

− l| et |b

− s| ≤ |u

− l|.

Donc, pour tout n ≥ N , |a

− r| ≤ ε et |b

− s| ≤ ε. ¸ Ca montre que a et b convergent, vers r et s respectivement.

R´ eciproquement, supposons que a

−−−→

r et b

−−−→

s. Soit ε > 0.

Utilisons la d´ efinition de la convergence de a et b pour le r´ eel

2

: il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , on a |a

− r| ≤

2

et |b

− s| ≤

2

. On en d´ eduit, pour n ≥ N :

|u

− (r + is)| = q

(a

− r)

+ (b

− s)

≤ s

ε

2 + ε

2

≤ ε

¸

Ca prouve bien que u tend vers l = r + is.

La limite est unique : si u

→ l et u

→ l

, alors l = l

(vous l’avez vu pour les suites r´ eelles, la proposition pr´ ec´ edente le montre pour les suites complexes).

Vous connaissez le th´ eor` eme :

Th´ eor` eme 2.3.10. — Toute suite r´ eelle croissante et major´ ee, ou d´ ecrois- sante et minor´ ee, converge.

On a aussi un r´ esultat sur les op´ erations sur les limites :

Proposition 2.3.11. — Soient u et v deux suites convergentes, de limite res- pectivement l et l

, et λ ∈ K.

(QC)

Alors les suites u + v, λ · u et uv sont convergentes, de limites respectives l + l

, λ · l et ll

.

D´ emonstration. — Vous le savez d´ ej` a pour les suites r´ eelles. La proposition

´

enonc´ ee plus haut permet de le faire pour les suites complexes. Faisons par

exemple le cas du produit : si la suite (u

= a

+ ib

) tend vers l = a + ib et la

suite (v

= c

+ id

) tend vers l

= c + id, alors on a les quatre convergences de

suites r´ eelles ´ ea

→ a, b

→ b, c

→ c et d

→ d. Mais le terme g´ en´ eral de u

v

est a

c

−b

d

+i(a

d

+b

c

). Par les th´ eor` emes d’op´ erations sur les limites de

suites r´ eelles et la proposition 2.3.9, u

v

tend vers ac−bd+i(ad+bc) = ll

.

2.3. SUITES BORN ´EES, CONVERGENTES 27

Pour les suites r´ eelles, vous connaissez des th´ eor` emes sur le passage ` a la limite dans les in´ egalit´ es (attention, elles deviennent larges !) et le th´ eor` eme des gendarmes :

Th´ eor` eme 2.3.12. — Soit u = (u

), v = (v

) et w = (w

) trois suites ` a valeurs dans R. Alors :

— Si u −−−→

l, v

−−−→

l

et pour tout n ∈ N, u

≤ v

, alors l ≤ l

.

— Si u −−−→

l, v

−−−→

l

et pour tout n ∈ N, u

< v

, alors l ≤ l

.

— Si u et v convergent vers la mˆ eme limite l et que pour tout n ∈ N, u

≤ w

≤ v

, alors w est convergente, de limite l.

Enfin, un autre th´ eor` eme connu est le th´ eor` eme des suites adjacentes : Th´ eor` eme 2.3.13. — Soient u et v deux suites r´ eelles, u croissante, v d´ e- croissante, telles que pour tout n, u

≤ v

et v

− u

→ 0.

Alors u et v sont convergentes, et ont la mˆ eme limite.

C’est un bon exercice de v´ erifier que vous savez prouver ce th´ eor` eme ` a partir des r´ esultats rappel´ es ci-dessus.

2.3.3. Calculs de limites. — Vous avez d´ ej` a d´ etermin´ e la limites de cer- taines suites. Rappelons quelques r´ esultats et m´ ethodes utiles pour calculer des limites.

1. Si u

=

est un rapport de deux polynˆ omes, alors la limite (finie ou infinie) en n → +∞ est la limite du rapport des monˆ omes de plus haut degr´ e. Par exemple,

n→+∞

lim

3n

+ 2

4n

+ 3n + 2 = lim

n→+∞

3n

4n

= 3

4 .

2. Si u

est de la forme f(v

) o` u f est continue et v

admet une limite l dans le domaine de d´ efinition de f , alors u

tend vers f (l). Dans le cas o` u v

tend vers une limite finie ou infinie l et que f admet une limite (finie ou infinie) L en l, alors u

tend vers L. Par exemple :

n→+∞

lim e

= 0.

n→+∞

lim ln

1 + 1 n

= 0.

3. Utilisation des d´ eveloppements limit´ es : dans le cas d’une forme ind´ e-

termin´ ee, par exemple u

= n ln 1 +

, on peut utiliser les d´ eveloppe-

ments limit´ es pour pr´ eciser l’information dont on dispose. Par exemple,

28 CHAPITRE 2. SUITES R ´EELLES ET COMPLEXES

on sait que pour tout x > −1, on peut ´ ecrire ln(1 + x) = x + xε(x), o` u ε(x) −−−→

0. En prenant x =

, on obtient

ln

1 + 1 n

= 1 n + 1

n ε

1 + 1 n

. Donc on peut ´ ecrire :

u

= 1 + ε

1 + 1 n

− −−−− → 1.

D’autres exemples seront vus en TD.

2.4. Sous-suites et le th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass 2.4.1. Sous-suites. —

D´ efinition 2.4.1. — Soit u = (u

)

∈ S

une suite. Une suite extraite, ou sous-suite, de u est une suite u

= (u

)

pour une fonction ϕ : N → N strictement croissante.

Une telle fonction s’appelle une extraction. Montrons que pour toute extrac- tion, on a

ϕ(n) ≥ n.

En effet, par r´ ecurrence, ϕ(0) ≥ 0 et, si ϕ(n) ≥ n, alors on a ϕ(n+1) > ϕ(n) ≥ n. On obtient donc ϕ(n + 1) > n ce qui implique ϕ(n + 1) ≥ n + 1.

Exemple 2.4.2. — Consid´ erons la suite complexe u d´ efinie par u

= i

. On a u = (1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, . . .). La sous-suite des ´ el´ ements d’indices divisibles par 4 est la suite (u

)

. Ici, l’extraction est la fonction ϕ(n) = 4n. Cette sous-suite est constante ´ egale ` a 1.

2.4.2. Le th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass. —

Th´ eor` eme 2.4.3 (Bolzano-Weierstrass). — De toute suite r´ eelle ou com- plexe born´ ee, on peut extraire une sous-suite convergente

(QC)

On prouve d’abord le th´ eor` eme dans le cas des suites r´ eelles :

D´ emonstration. — On consid` ere donc une suite r´ eelle born´ ee. Soient a un minorant et b un majorant. On construit par r´ ecurrence deux suites (a

)

et (b

)

telles que:

1. pour tout k, on a a

≤ b

.

2. pour tout k ≥ 1, on a a

≥ a

et b

≤ b

.

3. pour tout k, b

− a

=

2.4. SOUS-SUITES ET LE TH ´EOR `EME DE BOLZANO-WEIERSTRASS 29

4. Pour tout k entier, une infinit´ e de termes de la suite (u

)

se trouvent dans l’intervalle [a

, b

].

Pour ¸ ca, on commence par poser a

= a, b

= b. ¸ Ca v´ erifie bien les quatre conditions ci-dessus.

Supposons donc a

et b

construits, et construisons a

et b

. Pour ¸ ca, on coupe l’intervalle [a

, b

] en deux sous-intervalles : [a

,

] et [

, b

].

Comme une infinit´ e de termes de la suite (u

)

sont dans [a

, b

], alors dans au moins un des deux sous-intervalles, il y a une infinit´ e de termes de la suite. Si c’est le cas pour le premier sous-intervalle, alors on pose a

= a

et b

=

. Sinon, on pose a

=

et b

= b

.

Dans les deux cas, les 4 conditions sont facilement v´ erifi´ ees.

Les deux suites construites sont adjacentes : elles convergent vers une limite commune l ∈ [a, b]. Construisons maintenant une sous-suite de (u

)

qui converge aussi vers l. Pour ¸ca on construit par r´ ecurrence une extraction ϕ telle que pour tout k, u

∈ [a

, b

] :

— On pose ϕ(0) = 0.

— Si ϕ(k) est construite, alors on d´ efinit ϕ(k + 1) comme le plus petit indice n > ϕ(k) tel que u

∈ [a

, b

]. C’est possible, car l’intervalle consid´ er´ e contient une infinit´ e de termes de la suite.

Alors, ϕ est une fonction strictement croissante de N dans N ; c’est donc une extraction.

Comme pour tout k, on a a

≤ u

≤ b

, que a

→ l et b

→ l, le th´ eor` eme des gendarmes nous garantit que la sous-suite (u

)

converge vers l. La preuve du th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass dans le cas r´ eel est donc termin´ ee.

Pour le cas complexe, on commence par la proposition suivante :

Proposition 2.4.4. — Soit (u

)

une suite convergente de limite l. Alors toute sous-suite de (u

)

est convergente de limite l.

D´ emonstration. — Soit u = (u

) une suite qui tend vers l. Soit (u

) une suite extraite ; la fonction ϕ : N → N est donc une fonction strictement croissante. Soit ε > 0. On cherche un entier N tel que pour tout n ≥ N ,

|u

− l| ≤ ε. Pour ¸ ca, utilisons la d´ efinition de u

−−−→

l pour cet ε : il existe un entier M tel que pour tout n ≥ M , |u

− l| ≤ ε.

On a vu que ϕ(M ) > M . Alors, pour tout n ≥ M , on a ϕ(n) > ϕ(M ) ≥ M et donc |u

− l| ≤ ε. ¸ Ca conclut la preuve.

On peut conclure la preuve du th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass complexe :

D´ emonstration. — Consid´ erons u = (u

= x

+ iy

) une suite complexe et

born´ ee. Alors, comme on l’a d´ ej` a vu, les deux suites (x

) et (y

) sont born´ ees.

30 CHAPITRE 2. SUITES R ´EELLES ET COMPLEXES

D’apr` es le cas r´ eel du th´ eor` eme de Bolzano Weierstrass, on peut extraire une sous-suite convergente de (x

) : il existe une fonction strictement croissante ϕ : N → N tel que (x

) est convergente.

Consid´ erons maintenant la suite y

= (y

= y

)

. C’est une suite r´ eelle born´ ee. Donc, ` a nouveau, on peut en extraire une sous-suite convergente.

Notons la (y

= y

)

.

Mais la suite (x

)

est une suite extraite de la suite (x

)

. D’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, elle est donc convergente.

Ainsi, la suite (u

)

a une partie r´ eelle et une partie imaginaire convergente ; on a vu que ¸ ca implique qu’elle est convergente.

Remarque 2.4.5. — Comme application de ce th´ eor` eme, on peut donner une preuve du fait qu’une fonction continue sur un intervalle [a, b] compact est born´ ee et atteint ses bornes :

Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Notons M = sup{f (x), x ∈ [a, b]}

(c’est un nombre r´ eel ou +∞). Par les propri´ et´ es du sup, il existe une suite (x

) d’´ el´ ement de [a, b] telle que f (x

) → M. Or, la suite (x

)

´ etant born´ ee, on peut en extraire une sous-suite convergente x

→ x ∈ [a, b]. Par continuit´ e de f , on a f (x

) → f(x). Mais d’autre part, on a f (x

) → M. Donc M = f (x) : le sup est un nombre r´ eel et est atteint. On raisonne de la mˆ eme fa¸con pour l’inf.

Le th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass permet aussi de montrer que toute

fonction continue sur un intervalle [a, b] compact est uniform´ ement continue.

CHAPITRE 3

SUITES NUM´ ERIQUES R´ ECURRENTES

Dans tout ce chapitre, on consid´ erera une fonction r´ eelle f , de domaine de d´ efinition D, et on ´ etudiera les suites :

u

∈ D ; u

= f (u

).

On se posera d’abord le probl` eme de la d´ efinition de cette suite (est-ce qu’on peut d´ efinir tous les termes ?) puis de sa convergence. On donnera une appli- cation ` a la recherche de valeurs approch´ es de nombres r´ eels, via l’algorithme de Newton.

3.1. Repr´ esentation graphique

On peut faire une repr´ esentation graphique int´ eressante de ce type de suites.

Pla¸ cons nous dans le plan euclidien avec un rep` ere orthonorm´ e, tra¸cons les deux axes de coordonn´ ees Ox, Oy, la droite D d’´ equation y = x (dite premi` ere bissectrice) et le graphe G de la fonction f .

Consid´ erons le point P

du graphe G d’abscisse u

. Son ordonn´ ee est alors f (u

) = u

. On cherche alors le point P

de D de mˆ eme ordonn´ ee que P

, en tra¸cant la droite horizontale qui passe par P

et en observant o` u elle intersecte D. Par construction, les coordonn´ ees de P

sont alors (u

, u

). Puis on cherche le point P

de G qui a la mˆ eme abscisse que P

, en tra¸ cant la droite verticale qui

passe par P

et en observant o` u elle intersecte G. L’abscisse de P

est u

; donc (QC)

son ordonn´ ee est f (u

) = u

. On continue comme ¸ ca ` a construire les points P

et P

. Les coordonn´ ees de P

sont (u

, u

). Notamment, en projetant sur l’axe des abscisses ou des ordonn´ ees, on voit les termes cons´ ecutifs de la suite.

Exemple 3.1.1. — Prenez f (x) = x

. Et appliquez la m´ ethode pr´ ec´ edente avec u

=

ou u

= 2.

Prenez f (x) =

. Et appliquez la m´ ethode pr´ ec´ edente avec u

=

.