Universit´e Paris-Diderot Ann´ee 2017-2018 Licence 1, informatique - Alg`ebre et analyse ´el´ementaires
Alg` ebre lin´ eaire
Exercice 1. DansR3, on consid`ere le sous-ensemble
P={(x, y, z)∈R3|x−2y+ 3z= 0}.
Mettre en ´evidence deux vecteurs v, w, non colin´eaires, appartenant `a P et montrer que tout
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el´ement deP est une combinaison lin´eaire dev etw.
Exercice 2. DansR3, on consid`ere les vecteursv= (1,−2,3) etw= (2,−4, m), o`u m∈R. (a) `A quelle condition sur le param`etremle vecteur west-il multiple du vecteurv?
(b) On suppose quewn’est pas multiple dev et on consid`ere l’ensembleP de toutes les combi- naisons lin´eaires dev et w. Montrer qu’on aP ={(x, y, z)∈R3|ax+by+cz = 0},o`u a, b, csont des nombres r´eels, non tous les trois nuls, que l’on d´eterminera.
Exercice 3. Comparaison de deux sous-espaces.
(a) DansR4, on consid`ere les quatre vecteurs :
v1= (1,−1,3,2), v2= (3,−1,0,1), v3= (1,1,−6,−3), v4= (0,2,−9,−5).
On appelleF le sous-espace vectoriel deR4 engendr´e par (v1, v2, v3, v4). D´eterminer la di- mension deF et en donner une base. Donner un syst`eme d’´equations cart´esiennes deF. (b) SoitG={(x1, x2, x3, x4)∈R4|x1−x2+ 2x3−4x4= 0}. Montrer queGest un sous-espace
vectoriel deR4 et donner une base deG.
(c) Montrer queF⊂G. A-t-onF =G? Exercice 4.
(a) Consid´erons dans R3 la famille compos´ee des vecteursu= (1,2,0) etv= (1,1,1).
La famille{u, v}est-elle libre ? La famille{u, v}engendre-t-elleR3? La famille{u, v}est-elle une base deR3?
(b) Soientu, vles vecteurs deR3donn´es paru= (0,3,4) etv= (1,0,5).
Forment-ils une famille libre deR3? Forment-ils une famille g´en´eratrice deR3? Forment-ils une base deR3?
(c) Soientu, v, wles vecteurs deR3 donn´es paru= (1,2,1),v= (3,1,−1) etw= (9,8,1).
Forment-ils une famille libre deR3? Forment-ils une famille g´en´eratrice deR3? Forment-ils une base deR3?
(d) Soientu,v,wles vecteurs deR2 donn´es paru= (1,1), v= (−1,1) etw= (3,3).
Forment-ils une famille libre deR2? Forment-ils une famille g´en´eratrice deR2? Forment-ils une base deR2?
(e) Soientu,v,wles vecteurs deR3 donn´es paru= (−1,1,1), v= (0,1,1) etw= (−2,5,5).
Ces vecteurs sont-ils lin´eairement ind´ependants ? Ces vecteurs engendrent-ilsR3? Ces vecteurs forment-ils une base deR3?
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(f) Soient {v1, v2, v3, v4} la famille de vecteurs de R3 d´efinie par v1 = (2,1,0), v2 = (1,0,2), v3= (0,−1,1) etv4= (2,1,1).
Cette famille est-elle libre ? Cette famille est-elle g´en´eratrice ? Cette famille est-elle une base deR3?
(g) Compl´eter si possible la famille{(1,0,−1), (0,2,3)}en une base de R3.
(h) La famille{(1,2,0), (0,1,0),(3,0,1)} est-elle libre ? Est-elle g´en´eratrice deR3? (i) La famille{(1,2,0),(0,1,2),(0,1,1)}engendre-t-elleR3?
Exercice 5. Pour quelles valeurs du param`etre r´eelales vecteurs :
v1= (1,−1,0,2) v2= (1,0,1,2) v3= (1,3,5,7) v4= (0,2,3, a) forment-ils une base deR4 ?
Exercice 6. DansR4on consid`erea1= (2,−2,3,1) eta2= (−1,4,−6,−2).
(a) Trouver des vecteursa3et a4tels que {a1, a2, a3, a4} soit une base deR4.
(b) D´eterminer un syst`eme d’´equations pour le sous-espace vectoriel deR4 engendr´e par a1 et a2.
Exercice 7. DansR2, on consid`ere les vecteursv= (1,2) etw= (−2, m), o`u m∈R. (a) `A quelle condition sur le param`etremle vecteur west-il multiple du vecteurv?
(b) En supposant quewn’est pas multiple dev, montrer que tout vecteur deR2 est une combi- naison lin´eaire dev et w.
Exercice 8. DansR3les vecteurs suivants sont-ils lin´eairement ind´ependants ? Forment-ils une famille g´en´eratrice deR3?
(a) u= (3,2,1) etv= (4,2,0) ;
(b) u= (3,1,2),v= (5,1,0) etw= (1,1,4) ;
(c) u= (−2,4,1),v= (1,−2,0) etw= (3, m,−1) (discuter suivant les valeurs de m).
Exercice 9. Montrer que dans R3 les vecteurs v1 = (2,3,1) et v2 = (1,−1,2) engendrent le mˆeme sous-espace vectoriel que w1= (3,7,0) etw2= (5,0,7).
Exercice 10. Soit F = {(x, y, z) ∈ R3|2x+y+ 3z = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel deR3 et d´eterminer une base deF.
Exercice 11. Les sous-ensembles suivants de R3 ouR2sont-ils des sous-espaces vectoriels ? (a) A={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0 et 2x−y= 0};
(b) C={(x, y)∈R2|x−y+ 1 = 0};
(c) D={(x, y)∈R2|x2−y2= 0};
(d) N ={(u,3v, v−u)|u, v∈R};
Exercice 12. D´eterminer une base et la dimension, des sous-espaces vectoriels suivants deR3: (a) A= Vect(a1, a2, a3) o`ua1= (3,3,10),a2= (0,3,4) eta3= (1,0,2) ;
(b) B = Vect(b1, b2) o`u b1= (1,0,0) etb2= (0,1,1) ; (c) C={(2t+u,−u,−2t)|t, u∈R};
(d) D={(x, y, z)∈R3|2x−y+ 3z= 0};
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(e) E={(x, y, z)∈R3|x+y−z= 0 et 3x−y+z= 0}.
Exercice 13.
Exercice 14.
Exercice 15.
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Exercice 16.
Exercice 17.
Exercice 18.
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