Montrer que F est un sous-espace vectoriel de

1

Montrer que F est un sous-espace vectoriel de 𝓜

(𝑹)

1. Première méthode

1.1. Rappel du théorème à utiliser

F est un sous-espace vectoriel de E si : 1. F est non vide

2. 𝐹⊂𝐸

3. ∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐹^!,∀𝜆∈𝑅,𝜆𝑥+𝑦∈𝐹 1.2. Exemple

𝐹= 𝑥= 𝑥_! 𝑥_!

𝑥_! ∈ℳ_!,! 𝑅 ,𝑎𝑥_!+𝑏𝑥_!+𝑐𝑥_!=0,(𝑎,𝑏,𝑐)∈𝑅^∗! est un sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅

Démonstration F est non vide car

0 0 0

∈𝐹. En effet : 𝑎.0+𝑏.0+𝑐.0=0

Soit 𝑥= 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃ ∈𝐹 et 𝑦= 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ ∈𝐹

Dans ce cas : 𝑎𝑥_!+𝑏𝑥_!+𝑐𝑥_!=0 et 𝑎𝑦_!+𝑏𝑦_!+𝑐𝑦_!=0 Soit 𝜆∈𝑅

𝜆𝑥+𝑦=𝜆 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ +

𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ =

𝜆𝑥₁+𝑦₁ 𝜆𝑥₂+𝑦₂ 𝜆𝑥₃+𝑦₃

Montrons que 𝜆𝑥+𝑦∈𝐹. Pour cela, en remplaçant x par 𝜆𝑥+𝑦 dans l’expression qui définit F, on a :

𝑎(𝜆𝑥_!+𝑦_!)+𝑏(𝜆𝑥_!+𝑦_!)+𝑐(𝜆𝑥_!+𝑦_!)=𝜆 𝑎𝑥_!+𝑏𝑥_!+𝑐𝑥_! +𝑎𝑦_!+𝑏𝑦_!+𝑐𝑦_! OR 𝑥_!+𝑏𝑥_!+𝑐𝑥_!=0 et 𝑎𝑦_!+𝑏𝑦_!+𝑐𝑦_!=0. Donc

𝜆 𝑎𝑥₁+𝑏𝑥₂+𝑐𝑥₃ +𝑎𝑦₁+𝑏𝑦₂+𝑐𝑦₃=0 Ainsi : 𝜆𝑥+𝑦∈𝐹

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Soit 𝑝∈𝑁 et soit ℱ = 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_! une famille de p vecteurs de E.

− Définition

ℱ est une famille génératrice de E si tout vecteur de E peut s’écrire sous forme d’une combinaison linéaire de vecteurs de ℱ.

− Théorème

L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de ℱ est un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace engendré par ℱ et noté Vect 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_!

− Propriétés

• Si 𝐹=Vect 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_!,𝑒_!!! et si 𝑒_!!! est combinaison linéaire de 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_! alors 𝐹 =Vect 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_!

• En particulier : Vect 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_!,0_𝐸 = Vect 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_!

• ∀ 𝛼_!,𝛼_!,…,𝛼_! ∈𝑅^∗!, si 𝐹 =Vect 𝛼_!𝑒_!,𝛼_!𝑒_!,…,𝛼_!𝑒_! alors 𝐹=Vect 𝑒_!,𝑒_!,…,𝑒_!

− Exemple 1 : 𝑭 = 𝒙

𝒚 ∈𝓜_𝟐,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙+𝒃𝒚=𝟎,(𝒂,𝒃)∈𝑹^∗𝟐 On a une équation à 2 inconnues donc il y a 1 paramètre :

𝑥=𝑥 𝑦=−𝑎

𝑏𝑥 ⇔ 𝑥

𝑦 =𝑥 1

−𝑎 𝑏 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1

−𝑎

𝑏 =𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝑏

𝑏

−𝑎 =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑏

−𝑎

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 𝑏

−𝑎

3

− Exemple 2 : 𝑭 = 𝒙

𝒚 ∈𝓜_𝟐,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙=𝟎,𝒂∈𝑹^∗

On a une équation à 1 inconnue dont la solution est 𝑥=0 ; mais il faut aussi faire apparaître y dans la représentation paramétrique en posant 𝑦=𝑦

𝑥=0 𝑦=𝑦 ⇔ 𝑥

𝑦 =𝑦 0 1 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 0 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 0 1

− Exemple 3 : 𝑭 = 𝒙

𝒚 ∈𝓜_𝟐,𝟏 𝑹 ,𝒙=𝒚 On peut écrire :

𝑥=𝑥 𝑦=𝑥⇔ 𝑥

𝑦 =𝑥 1 1 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 1 1 s

− Exemple 4 : 𝑭 = 𝒙

𝒚 ∈𝓜_𝟐,𝟏 𝑹 ,𝒙=𝒂𝒚, 𝒂∈𝑹^∗ On peut écrire :

𝑥=𝑥 𝑦=𝑎𝑥⇔ 𝑥

𝑦 =𝑥 1 𝑎 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝑎

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 1 𝑎

4

− Exemple 5 : 𝑭 = 𝒚

𝒛 ∈𝓜_𝟑,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛=𝟎,(𝒂,𝒃,𝒄)∈𝑹^∗𝟑 On a une équation à 3 inconnues donc il y a 2 paramètres :

𝑥=𝑥 𝑦=𝑦 𝑧=−𝑎

𝑐𝑥−𝑏 𝑐𝑦⇔

𝑥 𝑦 𝑧 =𝑥

1 0

−𝑎 𝑐

+𝑦 0 1

−𝑏 𝑐 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 0

−𝑎 𝑐

, 0 1

−𝑏 𝑐

=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝑐

𝑐 0

−𝑎 ,1 𝑐

0 𝑐

−𝑏

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑐 0

−𝑎 , 0 𝑐

−𝑏

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 𝑐 0

−𝑎 , 0 𝑐

−𝑏

− Exemple 6 : 𝑭 = 𝒙 𝒚

𝒛 ∈𝓜_𝟑,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙+𝒃𝒚=𝟎,(𝒂,𝒃)∈𝑹^∗𝟐

On a une équation à 2 inconnues donc il y a 1 paramètre ; mais il faut aussi faire apparaître z dans la représentation paramétrique en posant 𝑧=𝑧. Il y aura donc 2 paramètres :

𝑥=𝑥 𝑦=−𝑎

𝑏𝑥 𝑧=𝑧

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 =𝑥

1

−𝑎 0𝑏

+𝑧 0 0 1

Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1

−𝑎 0𝑏

, 0

0 1

=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝑏

𝑏

−𝑎 0

, 0

0 1

= 𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑏

−𝑎 0

, 0

0 1 F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 𝑏

−𝑎 0

, 0

0 1

5

− Exemple 7 : 𝑭 = 𝒙 𝒚

𝒛 ∈𝓜_𝟑,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙=𝟎,𝒂∈𝑹^∗

On a une équation à 1 inconnue dont la solution est 𝑥=0 ; mais il faut aussi faire apparaître y et z dans la représentation paramétrique en posant 𝑦=𝑦 et 𝑧=𝑧. Il y aura donc 2 paramètres :

𝑥=0 𝑦=𝑦 𝑧=𝑧

⇔ 𝑥 𝑦

𝑧 =𝑥 0 0 0

+𝑦 0 1 0

+𝑧 0 0 1 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 0 0 0

, 0

1 0

, 0

0 1

=𝑉𝑒𝑐𝑡 0 1 0

, 0

0 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 0 1 0

, 0

0 1

− Exemple 8 : 𝑭 = 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕

∈𝓜_𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕=𝟎,(𝒂,𝒃,𝒄,𝒅)∈𝑹^∗𝟒

On a une équation à 4 inconnues donc il y a 3 paramètres : 𝑥=𝑥

𝑦=𝑦 𝑧=𝑧 𝑡=−𝑎

𝑑𝑥−𝑏 𝑑𝑦−𝑐

𝑑𝑧

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

=𝑥 1 0 0

−𝑎 𝑑

+𝑦 0 1 0

−𝑏 𝑑

+𝑧 0 0 1

−𝑐 𝑑 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 0 0

−𝑎 𝑑

, 0 1 0

−𝑏 𝑑

, 0 0 1

−𝑐 𝑑

=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝑑

𝑑 0 0

−𝑎

,1

𝑑 0 𝑑 0

−𝑏

,1

𝑑 0 0 𝑑

−𝑐

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑑 0 0

−𝑎 ,

0 𝑑 0

−𝑏 ,

0 0 𝑑

−𝑐

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 𝑑 0 0

−𝑎 ,

0 𝑑 0

−𝑏 ,

0 0 𝑑

−𝑐

6 𝒛

𝒕

On a une équation à 3 inconnues donc il y a 2 paramètres ; mais il faut aussi faire apparaître t dans la représentation paramétrique en posant 𝑡 =𝑡. Il y aura donc 3 paramètres :

𝑥=𝑥 𝑦=𝑦 𝑧=−𝑎

𝑐𝑥−𝑏 𝑐𝑦 𝑡=𝑡

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

=𝑥 1 0

−𝑎 0𝑐

+𝑦 0 1

−𝑏 0𝑐

+𝑡 0 0 0 1

Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 0

−𝑎 0𝑐

, 0 1

−𝑏 0𝑐

, 0 0 0 1

=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝑐

𝑐 0

−𝑎 0

,1

𝑐 0 𝑐

−𝑏 0

, 0 0 0 1

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑐 0

−𝑎 0

, 0 𝑐

−𝑏 0

, 0 0 0 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 𝑐 0

−𝑎 0

, 0 𝑐

−𝑏 0

, 0 0 0 1

7

− Exemple 10 : 𝑭= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕

∈𝓜_𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙+𝒃𝒚=𝟎,(𝒂,𝒃)∈𝑹^∗𝟐

On a une équation à 2 inconnues donc il y a 1 paramètre ; mais il faut aussi faire apparaître z et t dans la représentation paramétrique en posant 𝑧=𝑧 et 𝑡=𝑡. Il y aura donc 3 paramètres :

𝑥=𝑥 𝑦=−^!_!𝑥

𝑧=𝑧 𝑡 =𝑡

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

=𝑥 1

−^!_! 0 0

+𝑧 0 0 1 0

+𝑡 0 0 0 1

Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1

−𝑎 0𝑏 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

= 𝑉𝑒𝑐𝑡 1

𝑏 𝑏

−𝑎 0 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑏

−𝑎 0 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 𝑏

−𝑎 0 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

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− Exemple 11 : 𝑭= 𝒚 𝒛 𝒕

∈𝓜_𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒂𝒙=𝟎, 𝒂∈𝑹^∗

On a une équation à 1 inconnue dont la solution est 𝑥=0 ; mais il faut aussi faire apparaître y, z et t dans la représentation paramétrique en posant 𝑦=𝑦, 𝑧=𝑧 et 𝑡=𝑡.

Il y aura donc 3 paramètres :

𝑥=0 𝑦=𝑦 𝑧=𝑧 𝑡=𝑡

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

=𝑥 0 0 0 0

+𝑦 0 1 0 0

+𝑧 0 0 1 0

+𝑡 0 0 0 1

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 0 0 0 0

, 0 1 0 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

=𝑉𝑒𝑐𝑡 0 1 0 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 0 1 0 0

, 0 0 1 0

, 0 0 0 1

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− Exemple 12 : 𝑭= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕

∈𝓜_𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒙+𝒚+𝒛+𝒕=𝟎 𝐞𝐭 𝟐𝒙+𝒚+𝒛=𝟎

𝑥+𝑦+𝑧+𝑡=0 2𝑥+𝑦+𝑧=0

On a un système de 2 équations à 4 inconnues. Il devrait donc y avoir 2 paramètres.

Procédons par la méthode du pivôt de Gauss : 1 1 1 1 0

2 1 1 0 0 .

En conservant la première ligne 𝐿_! et en remplaçant la deuxième ligne par 𝐿_!!2𝐿_! :

1 1 1 1 0

0 −1 −1 −2 0

Ainsi, sur la base de la seconde ligne :

−𝑦−𝑧−2𝑡 =0⇔𝑦=−𝑧−2𝑡

En reportant ce résultat dans la première équation : 𝑥+𝑦+𝑧+𝑡=0⇔𝑥−𝑧−2𝑡+𝑧+𝑡=0⇔𝑥=𝑡 Dès lors :

𝑥=𝑡 𝑦=−𝑧−𝑡

𝑧=𝑧 𝑡=𝑡

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

=𝑧 0

−1 1 0

+𝑡 1

−1 0 1

Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 0

−1 1 0

, 1

−1 0 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 0

−1 1 0

, 1

−1 0 1

10

− Exemple 13: 𝑭= 𝒚 𝒛 𝒕

∈𝓜_𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒙=𝒚=𝒛=𝒕

On a : 𝑥=𝑥 𝑦=𝑥 𝑧=𝑥 𝑡=𝑥

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

=𝑥 1 1 1 1 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 1 1 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 1 1 1 1

− Exemple 14: 𝑭= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕

∈𝓜_𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒙=𝒚=𝒛

On a : 𝑥=𝑥 𝑦=𝑥 𝑧=𝑥 𝑡=𝑡

⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

=𝑥 1 1 1 0

+𝑡 0 0 0 1 Ainsi :

𝐹=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 1 1 0

, 0 0 0 1

F est donc le sous-espace vectoriel de ℳ_!,! 𝑅 engendré par 1 1 1 0

, 0 0 0 1