Universit´e de Bourgogne Ann´ee 2016-2017
Mardi 7 mars - Dur´ee 1h30 Math22 : Alg`ebre lin´eaire
Questions de cours. (4 points)
1. Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimension finie tels que E est la somme directe de F etG.
(a) Donner une d´efinition de “Somme directe d’espaces vectoriels”.
(b) Quelle relation a-t-on entre les dimensions de E, F etG?
2. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. On suppose que G n’est pas inclus dansF. D´emontrer que si F ∪G est un sous-espace vectoriel de E alors F est inclus dans G.
Exercice 1 (4 points)
DansR3, on consid`ere le sous-espace vectoriel F engendr´e par{a, b}et le sous-espace vectoriel G engendr´e par {c, d}o`u :
a=
1 0 1
, b=
3 1 0
, c=
1 2 3
, d=
3 3 2
.
1. D´eterminer des bases des sous-espaces vectoriels F, Get F +G.
2. D´eterminer la dimension de F ∩G.
3. D´eterminer une base de F ∩G.
Exercice 2 (4 points)On consid`ere ici le planR2 muni du rep`ere orthonorm´e direct (O,~i,~j).
Pour tout nombre r´eel λ on d´efinit la droite Dλ par l’´equation cart´esienne suivante (4−λ2)x+ 2λy+ (λ2−1) = 0.
1. Soit λ∈R, donner un vecteur directeur de Dλ.
2. Soient u et v deux vecteurs de R2. Que signifie g´eom´etriquement que le d´eterminant de ces 2 vecteurs est nul?
3. Soient λ et µ deux nombre r´eels. Montrer que Dλ est parall`ele `a Dµ si et seulement si
“λ=µouλµ=−4”.
4. Calculer la distance entre D−1 etD4.
1
Exercice 3 (4 points)Soit E l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou
´
egal `a 2. Soient P1,P2 etP3 les polynˆomes d´efinis par P1(X) = (X−2)(X−3);
P2(X) = (X−1)(X−3);
P3(X) = (X−1)(X−2).
1. Donner la dimension de E.
2. D´emontrer que (P1, P2, P3) est une base de E.
3. SoitP le polynˆome deEtel que P(1) = 4,P(2) = 5 etP(3) = 6. Donner les coordonn´ees deP dans la base pr´ec´edente.
Exercice 4 (4 points) Soit f l’application d´efinie par f : R[X] → R[X]
P 7→ 3P −3XP0 +(X2−1)P00. 1. Montrer que f est une application lin´eaire.
2. SoitE ={P ∈R[X] tel que 3P−3XP0+ (X2−1)P00 = 0}. Montrer queE est un espace vectoriel.
3. Montrer que tout ´el´ement deE est de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.
4. D´eterminer une base de E.
2
