∑ ∑ ∑ LLLL __________ Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie __________

1. Familles libres, génératrices, bases.

2. Espaces vectoriels de type fini : existence de bases.

3. Espaces vectoriels de type fini : équipotence des bases, dimension.

4. Dimension des sous-espaces, des produits et des quotients.

5. Rang d’une famille de vecteurs.

6. Rang d’une application linéaire.

7. Dimension et bases de

L L L L

_{(E, F).}

Annexe : Bases et dimensions des espaces vectoriels généraux.

Pierre-Jean Hormière ___________

« Mais la base a troublé cet hymne aérien :

Les vecteurs éperdus ont des coordonnées.

Cartan ne sait que faire et n'y comprend plus rien. » André Weil

1. Familles libres, génératrices, bases.

Nous définirons ces notions en deux temps, commençant par le cas des familles finies :

Définition 1 : Soit E un K-espace vectoriel. Une famille finie (x₁, ... , x_n) de vecteurs de E est dite : • libre si ∀(λ₁, ... , λ_n) ∈ Kⁿ λ₁.x₁ + ... + λ_n.x_n = 0 ⇒ λ₁= ... = λ_n = 0 ,

• liée si elle n’est pas libre, autrement dit s’il existe une relation linéaire non triviale entre les x_i . • génératrice si tout vecteur x∈E est combinaison linéaire de x₁, ... , x_n :

(∀x ∈ E) ∃(λ₁, ... , λ_n) ∈ Kⁿ x = λ₁.x₁ + ... + λ_n.x_n ; • base de E si elle est à la fois libre et génératrice, autrement dit si :

(∀x ∈ E) ∃!(ξ₁, ... , ξ_n) ∈ Kⁿ x = ξ₁.x₁ + ... + ξ_n.x_n . Les ξ_i s’appellent coordonnées de x dans la base (x₁, ... , x_n) .

Exemple : Les vecteurs e₁ = (1, 0, ..., 0), ... , e_n = (0, ..., 0, 1) forment une base de Kⁿ, dite base canonique. Ce n’est pas la seule base de Kⁿ, mais c’est la plus simple, car, si x = (ξ₁, ... , ξ_n), alors x = ξ₁.e₁ + ... + ξ_n.e_n

Définition 2 : Soit (x_i)i∈I une famille quelconque de vecteurs de E indexée par l’ensemble I.

Notons K^(I) l’ensemble des familles λ = (λi)_i∈I à support fini de scalaires indexées par l'ensemble I.

(x_i)_i∈I est dite :

• libre si : ∀λ = (λi)_i∈I∈ K^(I)

∑

_i∈Iλi.x_i = 0 ⇒ (∀i∈I) λi = 0 ;

• liée si elle n’est pas libre, autrement dit s’il existe une relation linéaire non triviale entre les x_i ; • génératrice si tout vecteur de E est combinaison linéaire des x_i :

(∀x ∈ E) ∃λ = (λi)_i∈I∈ K^(I) x =

∑

_i∈Iλi.x_i ; • base de E si elle est à la fois libre et génératrice, autrement dit si :

(∀x ∈ E) ∃!ξ = (ξi)_i∈I ∈ K^(I) x =

∑

_i∈Iξi.x_i ; Les ξ_i s’appellent coordonnées de x dans la base (x_i)_i∈I .

Exemples :

1) K^(I) est un sev de K^I, admettant pour base (e_i)_i∈I , où e_i = (δi,j)_j∈I (base canonique).

Reprenons ceci lorsque I = N : K^N est l’espace des suites d’éléments de K, K^(N) l’espace des suites nulles à partir d’un certain rang. La famille (e_n)n∈N est une base de K^(N), mais seulement une famille libre de K^N .

2) L’espace vectoriel K[X] des polynômes à une indéterminée admet pour base (Xⁿ)_n∈N .

3) L’espace vectoriel K[X, Y] des polynômes à 2 indéterminées admet pour base (X^m.Yⁿ)_(m,n)∈N². 4) L’espace vectoriel K(X) des fractions rationnelles à une indéterminée admet une base explicite, formée des éléments simples, qui comprennent :

− les monômes Xⁿ , où n décrit N ; − les fractions de la forme _k

n

P

X , où P est irréductible, k ≥ 1, et 0 ≤ n < deg P .

Propriétés :

1) Soit (x₁, ... , x_n) une famille finie de vecteurs de E. L’application :

u : λ = (λ₁, ... , λ_n)∈Kⁿ → u(λ) = λ₁.x₁ + ... + λ_n.x_n ∈ E est linéaire et l’on a les équivalences : u injective ⇔ (x₁, ... , x_n) est libre ;

u surjective ⇔ (x₁, ... , x_n) est génératrice ; u bijective ⇔ (x₁, ... , x_n) est une base de E.

2) Soit (x_i)_i∈I une famille quelconque de vecteurs de E. L’application : u : λ = (λ_i)_i∈I ∈ K^(I) → u(λ) =

∑

∈I i

i ix

λ

∈ E est linéaire et l’on a les équivalences : u injective ⇔ (x_i)_i∈I est libre ;

u surjective ⇔ (x_i)_i∈I est génératrice ; u bijective ⇔ (x_i)_i∈I est une base de E.

3) Toute sous-famille d’une famille libre est libre ; toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice. Une base est une famille libre maximale pour l’inclusion, et aussi une famille génératrice minimale. Si l’on ajoute à une base un vecteur, elle cesse d’être libre ; si on lui enlève un vecteur, elle cesse d’être génératrice.

4) Une famille (x_i)_i∈I est libre ssi toute sous-famille finie est libre.

5) Une famille (x_i)_i∈I est liée ssi l’un des vecteurs x_i est combinaison linéaire des autres. Elle est libre ssi aucun des vecteurs n’est combinaison linéaire des autres.

6) La suite finie ou non (x₁, x₂, ... ) est libre ssi : x₁≠ 0 et (∀i ≥ 2) x_i ∉ Vect(x₁, ... , x_i−1) . Ce critère fournit un puissant moyen de fabrication de suites, finies ou infinies, de vecteurs libres.

Application : une suite (P_n) de polynômes de degrés strictement croissants est libre ; une suite dont les degrés sont échelonnés : (∀n) deg P_n = n , est une base de K[X].

7) Deux applications linéaires u, v : E → F qui coïncident sur une famille génératrice de E sont égales.

8) Construction d’applications linéaires à l’aide de bases :

Soit (e_i)_i∈I une base de E. Pour toute famille (b_i)_i∈I de vecteurs de F, il existe une et une seule application linéaire u : E → F telle que : (∀i ∈ I) u(e_i) = b_i .

Ce procédé de fabrication d’applications linéaires est fondamental.

9) Critère d’isomorphisme.

Soit E un espace vectoriel muni d’une base, u une application linéaire E → F. Les prop. suivantes sont équivalentes : i) u ∈ Isom(E, F) ;

ii) L’image par u de toute base de E est une base de F ; iii) L’image par u d’une base de E est une base de F.

En d’autres termes, le groupe linéaire Gl(E) agit de façon simplement transitive sur l’ensemble des bases de E.

10) Construction d’applications linéaires à l’aide de familles génératrices ¹ :

Soit (a_i)_i∈I une famille génératrice de E, (b_i)_i∈I une famille de vecteurs de F. Pour qu’il existe une application linéaire u : E → F telle que : (∀i∈I) u(a_i) = b_i , il faut et il suffit que toute relation linéaire vérifiée par les a_i soit aussi vérifiée par les b_i :

∀λ = (λ_i)_i∈I ∈ K^(I)

∑

∈I i

i ia

λ

^{= 0 ⇒}

∑

∈I i

i ib

λ

= 0 ; u est alors unique.

Exercice 1 : opérations élémentaires.

Soit (x_i)_i∈I une famille de vecteurs de E. Montrer qu’on ne change pas la nature de cette famille (libre, liée, génératrice, base), si l’on permute les vecteurs, si l’on multiplie un vecteur par un scalaire non nul, et si l’on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.

Remarque : famille ou partie ?

Dans K², la famille ((1, 0), (1, 0), (0, 1)) est liée, mais la partie {(1, 0), (1, 0), (0, 1)} est libre.

Notons d’abord que tout ensemble X peut être transformé en famille : il suffit d’indexer les éléments de X par l’application identique de X : (x_x)_x∈X . On dit qu’on a indexé l’ensemble X par lui-même.

Définition 3 : Une partie A de E est dite libre, liée, génératrice, base si A, indexée par elle-même, est une famille libre, liée, génératrice, ou base.

Voici un exemple intéressant, qui anticipe légèrement sur la suite :

Les suites complexes périodiques forment un sous-espace vectoriel de C^N. En fait P =

U

^+∞

=1 n

Pn , où P_n est l’espace vectoriel des suites n-périodiques. La suite (P_n) n’est pas croissante pour l’inclusion, mais filtrante croissante en ce sens que P_m et P_n sont deux inclus dans P_a, où a = ppcm(m, n).

P_n est de dimension n, et admet deux bases simples B_n et B’_n, l’une canonique, l’autre formée par les racines de l’unité (« base de Fourier »).

Ainsi B₃ = { (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, …) , (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, … ) , (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, …) } et B’₃ = { (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …) , (1, j , j², 1, j, j², 1, … ) , (1, j², j , 1, j², j , 1, …) }. Montrer que

U

^+∞

=1 n

Bn n’est pas une base de P, mais que

U

^+∞

=1

'

n

Bn en est une.

Exercice 2 : Plus généralement, soit (F_i, BBBB_i)i∈I une famille filtrante croissante de sous-espaces de E munis de bases, en ce sens que ∀(i, j) ∈ I×I ∃k ∈ I F_i⊂ F_k , F_j⊂ F_k, BBBB_i⊂BBBB_{k et} BBBB_j⊂BBBB_k.

Montrer que F =

U

I i

Fi

∈

est un sous-espace de E et que

U

I i

Bi

∈

est une base de F.

1 Mon professeur de taupe affectionnait beaucoup cet énoncé, dont il faisait un élégant usage, tant dans l’étude des torseurs que dans celle de l’intégrale des fonctions en escaliers.

2. Espaces vectoriels de type fini : existence de bases.

Dans la suite de ce chapitre, nous allons étudier une classe particulière d’espaces vectoriels : ceux qui sont de dimension finie. Mais ne pouvant définir du premier coup cette notion de dimension, nous allons les nommer provisoirement espaces de type fini :

Définition : Un espace vectoriel est dit de type fini ss’il admet une famille génératrice finie.

Théorème : Soit E un espace vectoriel de type fini, S une famille génératrice finie de E, L une famille libre telle que L ⊂ S. Alors il existe une base B telle que L ⊂ B ⊂ S.

Preuve algorithmique : On peut supposer S = (x₁, ... , x_p) et L = (x₁, ... , x_q) avec q ≤ p.

• Si L engendre E, c’est une base : poser B = L.

• Si L n’engendre pas E, je dis qu’il existe un vecteur x_i1 (q < i₁ ≤ p) n’appartenant pas à Vect(L).

Car si tous les vecteurs de S étaient combinaisons linéaires de vecteurs de L, tous les vecteurs de E le seraient aussi. L₁ = L ∪^{

i1

x } est une famille libre car L est libre et x_i1 ∉ Vect(L).

• Si L₁ est génératrice, c’est une base : poser B = L₁.

• Sinon, pour la même raison que ci-dessus, il existe un vecteur x_i2 (q < i₂≤ p) n’appartenant pas à Vect(L₁). L₂ = L₁∪^{

i2

x } est une famille libre, etc.

On construit ainsi une suite strictement croissante L₀ = L ⊂ L₁ ⊂ L₂ ⊂ ... ⊂ L_k ⊂ S de parties libres. Comme S est fini, l’algorithme ne peut se poursuivre indéfiniment : lorsqu’il s’arrête, on a obtenu une base cherchée.

Preuve directe : Soit LLLL l’ensemble des parties libres de S contenant L. LLLL est non vide car L ∈ LLLL_. Comme toute partie majorée de N admet un plus grand élément, il existe une famille B une famille de LLLL de cardinal maximum : (∀L ∈ LLLL) card L ≤ card B (B n’est pas forcément unique, seul son cardinal l’est). B est libre en tant qu’élément de LLLL. Et B est génératrice, sans quoi il existerait un vecteur a ∈ S−B n’appartenant pas à Vect(B) ; mais alors B∪{a} serait encore libre, contredisant la maximalité de card B. cqfd.

Corollaire 1 : théorème de la base incomplète. Si L est une famille libre finie et G une famille génératrice finie de E, on peut compléter L en une base de E à l’aide de vecteurs de G.

Preuve : il suffit d’appliquer le théorème à S = G ∪ L.

Corollaire 2 : Si E est un espace de type fini, toute famille libre finie peut être complétée en une base, de toute partie génératrice finie on peut extraire une base.

Preuve : La première assertion découle du corollaire 1. La seconde découle de ce que, si S est génératrice, L = ∅ est une partie libre incluse dans S : il existe donc une base B telle que B ⊂ S.

Exercice 1 : Pourquoi ∅ est-elle libre ?

Corollaire 3 : théorème d’existence de bases. Tout espace de type fini admet une base finie.

Remarques : 1) L’espace {0} admet pour base l’ensemble ∅, famille à la fois libre et génératrice.

2) On montrera dans le prochain § que toute famille libre est finie.

3) Pour l’instant, rien ne dit que deux bases ont même cardinal : cf prochain §.

3. Espaces vectoriels de type fini : équipotence des bases.

Théorème 1 : Soit E un espace vectoriel de type fini, admettant une base de n vecteurs BBBB _{= (a1, ... ,} a_n). Toute famille de plus de n vecteurs est liée ; donc toute famille libre a au plus n vecteurs.

Preuve par récurrence sur n. Si n = 0, E admet pour base ∅, donc E = {0}. Toute famille ayant au moins un vecteurs contient 0, donc est liée.

Hypothèse de récurrence : dans tout espace vectoriel admettant une base de n − 1 vecteurs, toute famille d’au moins n vecteurs est liée.

Soit maintenant E un ev admettant une base de n vecteurs BBBB _{= (a1}, ... , a_n), et soit (x_j)j∈J une famille d’au moins n vecteurs. Écrivons x_j = ξ_1j.a₁ + ... + ξ_nj.a_n pour tout j ∈ J.

1er cas : tous les ξ_1j sont nuls. Les x_j appartiennent tous au sev F de E engendré par (a₂, ... ,a_n), qui admet une base de n − 1 vecteurs. Comme card J > n > n−1, par HR, (x_j)j∈J est liée.

2ème cas : l’un des ξ_1j est non nul : ξ_1j0 ≠ 0.

Utilisons ce ξ_1j0 comme pivot et définissons, pour tout j ≠ j₀ , y_j = x_j−

10

1 j j

ξ ξ

j0

x . Les y_j appartiennent tous à F. Or card( J − {j₀}) > n − 1, donc, par HR, (y_j)_j≠j0 est liée.

On déduit aussitôt que (x_j)_j∈J est liée.

On notera le rôle-clé joué par l’hypothèse que K est un corps, et par la méthode du pivot de Gauss dès cette preuve théorique.

Corollaire 1 : équipotence des bases. Soit E un espace vectoriel de type fini, admettant une base de n vecteurs. Toute base de E est finie, et admet n vecteurs.

Corollaire 2 : classification à isomorphisme près des espaces de type fini. Tout espace vectoriel de type fini est isomorphe à un, et un seul, des espaces {0}, K , K² , K³ , ..., Kⁿ , ... .

Exercice 1 : On considère le système linéaire de n équations à p inconnues dans K, où n < p :  a₁₁.x₁ + ... + a_1p.x_p = 0

 . . .  a_n1.x₁ + ... + a_np.x_p = 0

Montrer qu’il admet une solution non triviale (x₁ , ... , x_p) ≠ (0, ... , 0).

Définition 1 : Soit E un espace vectoriel de type fini. On appelle dimension de E le cardinal d’une quelconque de ses bases, ou encore l’unique entier n tel que E soit isomorphe à Kⁿ. Les espaces vectoriels de type fini sont désormais appelés espaces vectoriels de dimension finie. Les espaces de dimension 1, resp. 2, sont appelés droites vectorielles, resp. plans vectoriels. ²

Exemples :

1) Droite ou plan ?

a) C est une C-droite vectorielle : dim_C C = 1, car (1) est une C-base de C.

b) C est un R-plan vectoriel : dim_R C = 2, car (1 , i) est une R-base de C.

On peut donc indifféremment, et gaillardement, parler de la droite complexe ou du plan complexe ! Ce changement de point de vue sera approfondi dans le théorème 4 ci-dessous.

2) Suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Soient (a_n) et (b_n) deux suites données d’éléments de K.

Les suites u = (u_n) vérifiant (∀n ∈ N) un+2 = a_n.u_n+1 + b_n.u_n forment un sev E de l’espace K^N des suites, de dimension 2, car l’application f : u ∈ E → (u₀, u₁) ∈ K×K est une bijection linéaire.

2 Newton laissa tomber une gomme sur son plan. L’année 2017 a vu l’algèbre linéaire s’enrichir d’un théorème qui vaudra la médaille Fields à son auteur, le théorème du Père François : « Il n’y a pas de plan B ».

Il en découle que les suites v et w de E telles que (v₀, v₁) = (1, 0) et (w₀, w₁) = (0, 1) forment une base du plan E.

3) Soit E un espace vectoriel de dimension n ; l’espace Alt_n(E) des formes n-linéaires alternées sur Eⁿ est une droite vectorielle.

Proposition 2 : Soient E un espace vectoriel de dimension n, BBBB une famille de vecteurs de E. On a l’équivalence :

i) BBBB est une base de E ;

ii) BBBB est une famille libre de n vecteurs ; iii) BBBB est une famille génératrice de n vecteurs.

Remarque : Cette proposition est d’un grand intérêt pratique pour montrer qu’une famille est une base d’un espace de dimension finie dont on connaît la dimension. Elle n’est en revanche d’aucun secours si l’on ignore cette dimension !

Proposition 3 : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et égales, u ∈ LLLL_{(E, F).}

On a les équivalences : u est injective ⇔ u est surjective ⇔ u est bijective . Preuve : Soit n = dim E = dim F.

• Supposons u injective. L’image d’une base de E est une famille libre de F (pourquoi ?) à n vecteurs, donc une base de F ; u est donc bijective.

• Supposons u surjective. L’image d’une base de E est une famille génératrice de F (pourquoi ?) à n vecteurs, donc une base de F ; u est donc bijective.

Remarque : Si les dimensions sont distinctes, ce résultat est bien sûr faux : penser à (x, y) ∈ K²→ (x, y, 0) ∈ K³ ou (x, y, z) ∈ K³ → (x, y) ∈ K² . Si les dimensions sont infinies et égales, il est aussi faux : penser aux opérateurs (u_n) → (u_n+1) et (u_n) → ( 0, u₀, u₁, ... ) de K^N.

La proposition 3 a une importante application à la théorie des algèbres :

Théorème 4 : Soit A une K-algèbre associative, unifère et sans diviseurs de zéro. Si A est de dimension finie, A est un corps.

Preuve : Soit x un élément non nul de A. L’application m_x : y → x.y est linéaire et injective, donc bijective (prop 3). Par suite, il existe x' tel que m_x(x') = x.x' = 1_A. De même, en considérant m'_x : y

→ y.x, il existe x" tel que x".x = 1_A. Par associativité, x' = (x".x).x' = x".(x.x') = x".

Changement de corps de base.

Théorème 5 : Soient L un corps commutatif, K un sous-corps de L. On suppose que L est un K- espace vectoriel de dimension finie. Soit E un L-espace vectoriel, E_(K) le K-espace vectoriel obtenu par restriction du corps des scalaires. Alors E est de dimension finie sur L ssi E_(K) est de dimension finie sur K, et l’on a :

dim_K E_(K) = dim_L E × dim_K L ( formule de multiplicativité des dimensions ).

Preuve : traitons un exemple.

Soit E un C-espace vectoriel de dimension n, et (e₁, ... , e_n) une C-base de E.

Je dis que (e₁ , i.e₁ , ... , e_n , i.e_n) est une R-base de l’espace vectoriel réel sous-jacent, lequel est donc de dimension 2n. Réciproquement, si E_(R) est de dimension finie, il admet une R-base finie, qui est a fortiori une famille C-génératrice finie ; E est donc un C-espace de dim. finie.

Généraliser tout cela est alors facile, mais nécessaire, car ce théorème est fort utile.

On montrera que si (e_i) est une L-base de E et (ξj) une K-base de L, alors (ξj.e_i) est une K-base de E.

Exercice 2 : 1) Montrer que Q[ 2] = { x = a + b 2 ; (a, b) ∈ Q² } est, pour les lois usuelles, un corps et une Q-algèbre de dimension 2.

2) Montrer que A = { x = a + b 2 + c 3 + d 6; (a, b, c, d) ∈ Q⁴ } est de même un corps et une Q-algèbre de dimension 4.

Exercice 3 : Soit K un corps fini commutatif de caractéristique p premier, F_p le corps Z/pZ.

1) Indiquer comment munir K d’une structure de F_p-espace vectoriel ; en déduire card K = pⁿ . 2) Soit L un sous-corps de K. Montrer que card L = p^d, où d est un diviseur de n.

Espaces de dimension infinie.

Définition 2 : Un espace vectoriel qui n’est pas de dimension finie sera dit de dimension infinie.

Cette définition purement négative. Comment reconnaître qu’un espace vectoriel n’est pas de dimension finie ? Avec un peu d’habitude, ces espaces vectoriels se reconnaissent aisément. Voici un premier critère commode :

Théorème 6 : Soit E un espace vectoriel. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1) E n’est pas un espace vectoriel de dimension finie ;

2) Il existe dans E une famille libre infinie.

Exemples :

1) L’espace vectoriel K^N des suites d’éléments de K est de dimension infinie.

En effet les suites e₀ = (1, 0, 0, ...), e₁ = (0, 1, 0, ...), e₂ = (0, 0, 1, 0, ...) forment une famille libre infinie de vecteurs de K^N. Au risque de lasser, répétons que ce n’est pas une base de K^N, mais seulement du sev K^(N) des suites à support fini... lequel est déjà de dimension infinie.

2) L’espace vectoriel K[X] des polynômes à une indéterminée. Il admet pour base (Xⁿ)_n∈N . 3) L’espace vectoriel C([a, b], R) des fonctions continues de [a, b] dans R (a < b). Il contient en effet comme sous-espace les fonctions polynômiales, qui contient une famille libre infinie : les monômes. Cette famille est dénombrable, mais il existe même une famille libre non dénombrable : les fonctions f_c : x → sup(x − c, 0) pour a ≤ c < b.

4) R et C sont des Q-espaces vectoriels de dimension infinie.

En effet, si R était de dimension finie n sur le corps Q, il serait isomorphe, et a fortiori équipotent à Qⁿ. Or Qⁿ est dénombrable et R ne l’est pas, comme l’a établi Cantor en 1873.

Une autre justification repose sur le théorème précédent et le lemme suivant : si 2 = p₁ < 3 = p₂ < 5

= p₃ < ... est la suite croissante des nombres premiers, les familles ( ln p₁ , ln p₂ , ln p₃ , ... ) et ( p₁ , p₂ , p₃ , ... ) sont Q-libres dans R. La liberté de la première famille est laissée en exercice. Celle de la seconde n’a rien d’évident et demande un peu de théorie de Galois.

Exercice 4 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension infinie. Montrer qu’il existe deux sous- espaces vectoriels F et G de E, isomorphes, et tels que G soit strictement inclus dans F.

Exercice 5 : Soit X un ensemble. A quelle condition FFFF(X, K) est-il de dimension finie ?

La définition 2 est un fourre-tout commode, mais peu satisfaisant pour l’esprit, qui a inspiré à Roger Godement ce fameux commentaire dans son Cours d'algèbre (p. 246) : « L'intérêt principal d’une définition est, avant tout, pour ne pas dire exclusivement, de conduire à des théorèmes. C’est aussi parfois le cas dans la vie de tous les jours. Si l’on a par exemple pour but de démontrer que « l’armée poldève ne tire pas sur les Poldèves », il suffit d’introduire la définition suivante : en Poldévie, on appelle Poldèves les gens contre lesquels l’armée poldève ne tire pas. Ce procédé, malgré son efficacité certaine, présente un grave défaut : on peut en effet le retourner en une définition de l’armée poldève elle-même. » Ce commentaire date de l’époque lointaine où Napoléons petits et grands, puis Américains et Soviétiques fomentaient tous les six mois un coup d’état militaire..., mais aussi du temps où les intellectuels ne limaient pas les arêtes de leur pensée, et où les professeurs de taupe ne suivaient pas servilement les programmes de MPCBSTI* option infromage-et-deux-desserts. En annexe est élucidée la notion de dimension infinie.

4. Dimensions des sous-espaces, des produits et des quotients.

Théorème 1 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.

1) Tout sev F de E est de dimension finie et dim F ≤ dim E ; si de plus dim F = dim E, alors F = E.

2) Tout sev F admet (au moins) un supplémentaire G, et l’on a dim E = dim F + dim G.

Preuve de 2) : Soit (a₁, …, a_p) une base de F. Complétons-la en une base (a₁, …, a_n) de E.

Il est clair que G = Vect(a_p+1, …, a_n) est un supplémentaire de F.

Théorème 2 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F un sev de E. Toute application linéaire u : F → H peut être prolongée en une application linéaire u : E → H.

Preuve : Soit (a₁, ... , a_p) une base de F. Complétons-la en une base de E, (a₁, ... , a_n).

Définissons l’application linéaire u: E → H par u(a_i) = u(a_i) pour 1 ≤ i ≤ p, et u(a_i) = 0 ou tout autre vecteur pour p+1 ≤ i ≤ n. u prolonge manifestement u.

Variante : Soient G un supplémentaire de F dans E, v : G → H une application linéaire quelconque.

L’application u : E → H définie par u(x) = u(x_F) + v(x_G) est linéaire et prolonge u.

Théorème 3 : Si E et F sont de dimension finie, E×F aussi et dim(E×F) = dim E + dim F.

Preuve : Si (a₁, ... , a_p) est une base de E, et (b₁, ... , b_q) une base de F, il est facile de montrer que : ((a₁ , 0), ... , (a_p , 0) , (0 , b₁) , ... , (0 , b_q)) est une base de E×F.

Corollaire : Si F₁, ..., F_k sont k sev de dim finie de E, en somme directe, ⊕_1≤i≤k F_i est de dimension finie et dim

⊕

_1≤i≤k ^Fi =

∑

_1≤i≤k dim F_i .

Preuve : Cela découle de l’isomorphie

⊕

_1≤i≤k ^Fi ↔

∏

_1≤i≤k ^Fi .

Théorème 4 : Si E est de dimension finie et F un sev de E, alors dim(E/F) = dim E − dim F.

Preuve : Si G est un supplémentaire de F, E/F et G sont isomorphes, via x∈G → x∈E/F.

Théorème 5 : Si F et G sont deux sev de dimension finie de E, F + G est de dimension finie et : dim(F + G) + dim(F ∩ G) = dim(F) + dim(G) (formule de Grassmann).

Preuve : Soient F' un supplémentaire de F ∩ G dans F : F = (F ∩ G) ⊕ F' et G' un supplémentaire de F ∩ G dans G : G = (F ∩ G) ⊕ G' .

Il suffit de montrer que F + G = F' ⊕ (F ∩ G) ⊕ G' . Cela est laissé en exercice.

Variante : Soit (a₁, ... ,a_k) une base de F ∩ G. Complétons-la : − d’une part en une base (a₁, ... , a_k , b₁, ... , b_p) de F , − d’autre part en une base (a₁, ... , a_k , c₁, ... , c_q) de G.

Alors, (a₁, ... , a_k , b₁, ... , b_p , c₁, ... , c_q ) est une base de F + G. Laissé en exercice.

Corollaire 1 : Si F et G sont deux sev de dim finie de E, alors : dim(F + G) ≤ dim(F) + dim(G) et dim(F + G) = dim(F) + dim(G) ⇔ F ∩ G = {0} .

Corollaire 2 : Si F₁, ..., F_k sont k sev de dim finie de E, alors dim

∑

= k

i

Fi 1

≤

∑

= k

i

Fi 1

dim , avec égalité ssi F₁, ..., F_k sont en somme directe.

Preuve par récurrence sur k, cas d’égalité compris.

Pour k = 2, cela découle de Grassmann. Supposons le théorème vrai au rang k.

Alors dim

∑

⁺

= 1

1 k

i

Fi = dim (

∑

= k

i

Fi 1

+ F_k+1)_≤ dim

∑

= k

i

Fi 1

+ dim F_k+1≤

∑

= k

i

Fi 1

dim + dim F_k+1 =

∑

⁺

= 1

1

dim

k

i

Fi .

De plus, dim

∑

⁺

= 1

1 k

i

Fi =

∑

⁺

= 1

1

dim

k

i

Fi _⇔ dim

∑

= k

i

Fi 1

=

∑

= k

i

Fi 1

dim et F_k+1∩

∑

= k

i

Fi 1

= {0} . Par récurrence, cela équivaut à

∑

= k

i

Fi 1

= ⊕1≤i≤k F_i et F_k+1∩

∑

= k

i

Fi 1

= {0}. Cqfd.

Exercice 1 : Si E est de dimension finie, F et G deux sev de E, montrer : dim(F) + dim(G) > dim(E) ⇒ F ∩ G ≠ {0} . Exercice 2 : Soient F, G, H trois sev de dim finie de E. Montrer que :

dim(F+G+H) ≤ dim(F) + dim(G) + dim(H) − dim(F∩^G) − dim(G∩^H)− dim(F∩^{H) + dim(F}∩^G∩H) [Le treillis des sev de E n’étant pas distributif, il n’y a pas d’identité générale donnant dim

∑

= k

i

Fi 1

].

Exercice 3 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sev de même dimension.

Montrer qu’ils admettent un supplémentaire commun.

Exercice 4 : Soit E un espace vectoriel, F un sev de dimension finie, et (G_n) une suite de sev décroissante pour l’inclusion. Montrer que

I

n

Gn

F )

( + = F +

I

n

Gn.

Exercice 5 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie, FFFF l’ensemble des sev de E.

Trouver les applications E → R⁺ telles que ∀(F, G)∈FFFF_×FFFF F ∩ G = {0} ⇒ d(F + G) = d(F) + d(G).

Exercice 6 : Soit FFFF l’ensemble des sous-espaces de dimension finie de E.

1) Montrer que d(F, G) = dim(F + G) − dim(F ∩ G) est une distance sur FFFF. Montrer que F → dim F est continue pour cette distance.

2) On munit FFFF d’une structure de graphe en convenant que F et G sont liés si l’un des deux est un hyperplan de l’autre. Montrer que FFFF est un graphe connexe, et que F et G sont liés par un chemin de longueur d(F, G).

3) On suppose qu’existe un chemin de longueur r reliant F et G : F = V₀ , V₁ , V₂ , … , V_r = G.

Montrer qu’alors il existe un chemin de longueur s ≤ r reliant F et G, de la forme :

F = W₀ ⊂ W1 ⊂ … ⊂ W_p−1 ⊂ Wp ⊃ Wp+1 ⊃ … ⊃ Ws = G. [ Raisonner par recurrence sur r. ] 4) En déduire que d(F, G) est la longueur minimum d’un chemin reliant F et G.

5. Rang d’une famille de vecteurs.

Définition : Soit E un espace vectoriel. Une famille (x_i)_i∈I de vecteurs de E est dite de rang fini si Vect(x_i)_i∈I est un sev de dimension finie de E. Et l’on appelle rang de la famille :

rg(x_i)_i∈I = dim Vect(x_i)_i∈I . Propriétés du rang :

1) Si E est de dimension finie, toute famille (x_i)_i∈I est de rang fini et : rg(x_i)_i∈I≤ dim E . 2) Si I est un ensemble fini, la famille (x_i)_i∈I est de rang fini, et : rg(x_i)_i∈I ≤ card I . 3) En particulier si dim E = n, rg(x₁, ... , x_p) ≤ min(n , p) .

4) rg(x_i)_i∈I est le cardinal maximum d’une famille libre extraite de (x_i)_i∈I. Plus précisément c’est le cardinal commun de toutes les familles libres maximales extraites de (x_i)_i∈I .

5) Le rang d’une famille (x_i)_i∈I est invariant par les transformations élémentaires suivantes :

− permutation des vecteurs x_i ;

− multiplication d’un vecteur par un scalaire ≠ 0 ;

− addition à un vecteur d’une combinaison linéaire des autres . Exemple 1 : rang des familles échelonnées.

Soit BBBB _{= (e1, ... , en}) une base de E, (x₁, ... , x_p) une famille de vecteurs de E, de coordonnées (αi,j) : x_j =

∑

= n

i i ije

1

α . . Pour tout j tel que x_j≠ 0, notons s(j) l’indice de la première coordonnée non nulle de s : s(j) = min{ i ; αi,j≠ 0 }. La famille est dite échelonnée relativement à BBBB _{si les xi} sont tous nuls, ou si les r premiers vecteurs sont non nuls, les p−r derniers sont nuls, s(1) < s(2) < … s(r), et ∀j ∈ [1, r] αs(j),j = 1, αs(j),i = 0 pour i ≠ j. Une telle famille vérifie rg(x₁, ... , x_p) = r.

Exemple : les vecteurs (x₁, x₂, x₃, x₄) de K⁶ de coordonnées





















− 0 1 0 0

0 0 4 3

0 0 1 0

0 0 0 2

0 0 0 1

0 0 0 0

forment une famille

échelonnée de rang 3.

Dans le chapitre sur le calcul matriciel (§ 4.2), nous montrerons comment, par des transformations élémentaires, on peut toujours ramener une famille de vecteurs à une famille échelonnée.

Exemple 2 : Soit E = FFFF(R, R). Considérons la famille de fonctions f_h : x → cos(x + h). Bien que E soit de dimension infinie et que (f_h)_h∈R soit infinie, la famille (f_h)_h∈R est de rang 2, en vertu des formules d’addition. Idem si l’on remplace cos par sin, ch ou sh.

Exercice 1 : Dans un espace vectoriel, soient n vecteurs constituant un système de rang r. On en extrait p vecteurs formant un système de rang s. Montrer que r ≤ s + n − p.

Exercice 2 : Soit f une exponentielle-polynôme, c’est-à-dire une fonction de R dans C de la forme f(x) =

∑

P_k(x).exp(α_k.x) , où les α_k sont des complexes, et les P_k des polynômes.

Montrer que la famille (f_y)_y∈R des translatées de f, définies par f_y : x → f(x − y), est de rang fini dans FFFF(R, C). Exemple : f(x) = x².sin(x).ch(2x).

Exercice 3 : On appelle ici « rectangle » toute partie de N×N de la forme A×B, où A et B sont des parties de N. Soient ∆ = { (x, x) ; x ∈ N }, et E = N×N − ∆.

Démontrer qu’on ne peut recouvrir E par un nombre fini de rectangles.

Indication : Procéder par absurde, et montrer que 1_E serait du type 1_E(x, y) =

∑

= N

k

k

k x v y

u

1

) ( ).

( .

On considérera le sous-espace des fonctions : N → Q engendré par (χx)_x∈N, où χx(y) = 1_E(x, y).

6. Rang d’une application linéaire.

Définition : Une application linéaire u : E → F est dite de rang fini si Im u est un sev de dimension finie de F. On appelle rang de u cette dimension : rg u = dim Im u .

Si (e_i)_i∈I est une base, ou une famille génératrice, de E, on a : Im u = Vect(u(e_i))_i∈I . Donc u est de rang fini ssi (u(e_i))_i∈I est de rang fini, et : rg u = rg(u(e_i))_i∈I .

Exercice 1 : Soient E = CCCC([a, b], R), F = CCCC(R, R), et P ∈ R[X, Y] un polynôme à deux indéterminées.

Montrer que u : f → g , où g(x) =

∫

_a^{bsin(x+y).f(y).dy}, et v : f → h , où h(x) =

∫

_a^{bP(x,y).f(y).dy ,}

sont des applications linéaires de rang fini de E dans F.

∈LL _≤

ii) Si E est de dim. finie, toute u ∈LLLL(E, F) est de rang fini, et rg u ≤ dim E ;

iii) Si E et F sont de dim. finies, toute u ∈ LLLL(E, F) est de rang fini, et rg u ≤ min(dim E, dim F).

Corollaire : rg u = dim F ⇔ u est surjective ; rg u = dim E ⇔ u est injective.

Théorème du rang : Si E est de dimension finie, toute u ∈LLLL(E, F) vérifie : dim E = dim Ker u + dim Im u , i.e. rg u = dim E − dim Ker u.

Preuve : Nous avons montré dans le précédent chapitre (§ 7.3) que tout supplémentaire de Ker u dans E est isomorphe à Im u. Cela suffit pour conclure, mais l’importance du résultat est telle qu’une nouvelle preuve (en réalité une redite sous une autre forme) n’est pas superflue.

Soient p = dim E, (a₁, ... , a_s) une base de Ker u.

Complétons-là en une base BBBB_{E = (a1, ... , as , as+1 , ... , ap) de E.}

Je dis que (u(a_s+1) , ... , u(a_p)) est une base de Im u. On conclura aussitôt.

• (u(a_s+1) , ... , u(a_p)) est libre, car :

λ_s+1.u(a_s+1) + ... + λ_p.u(a_p) = 0 ⇒ u(λ_s+1.a_s+1 + ... + λ_p.a_p) = 0 ⇒ λ_s+1.a_s+1 + ... + λ_p.a_p∈ Ker(u) ⇒ λ_s+1.a_s+1 + ... + λ_p.a_p = 0 ⇒ λ_s+1 = ... = λ_p = 0 .

• (u(a_s+1) , ... , u(a_p)) est génératrice, car si y ∈ Im(u), il existe x ∈ E tel que y = u(x).

Écrivons x = ξ₁.a₁ + ... + ξ_p.a_p . Alors y = u(x) = ξ₁.u(a₁) + ... + ξ_p.u(a_p)

= ξ_s+1.u(a_s+1 + ... + ξ_p.u(a_p) . cqfd.

Matriciellement, si F est de dimension finie n , et si l’on complète les vecteurs : (b₁ , ... , b_r) = (u(a_s+1) , ... , u(a_p)) en une base BBBB_{F = (b1 , ... , bn}) de F, on a : Mat(u ; BBBB_{E ,} BBBB_{F) =}



 O O

I O r

et Mat(u ; BBBB_{'E ,} BBBB_{F) =}



 O O

O Ir

, où BBBB_{'E = (as+1, ... , ap , a1 , ... , as).}

Mise en garde : Ce théorème ne fournit qu’une relation entre les dimensions du noyau et de l’image, et ne dit rien de leurs positions géométriques. Écrire E = Ker u ⊕ Im u est doublement absurde :

• D’une part, Ker u ⊂ E tandis que Im u ⊂ F !

• D’autre part, même si E = F, cette formule est fausse.

Soit E = F = K², u : (x, y) → (y, 0). On a Ker u = Im u = K×{0} . Ce théorème permet de retrouver deux résultats antérieurs :

Corollaire 1 : formule de Grassmann. Si F et G sont deux sev de dim finie de E, on a : dim(F + G) + dim(F ∩ G) = dim(F) + dim(G) .

Preuve : Considérons l’application s : (x , y) ∈ F×G → x + y ∈ E. Elle est linéaire.

Son image est F + G. Son noyau { (x , −x) ; x ∈ F ∩ G }, est isomorphe à F ∩ G via x → (x , −x).

Le théorème du rang s’écrit : dim(F × G) = dim Ker(s) + dim Im(s) ,

c’est-à-dire : dim(F) + dim (G) = dim(F ∩ G) + dim(F + G) . cqfd .

Corollaire 2 : Si E et F sont deux espaces de dimensions finies et égales, u ∈ LLLL(E, F), on a : u est injective ⇔ u est surjective ⇔ u est bijective .

Preuve : Résultat déjà vu (§ 2, prop. 3), qui découle du th. du rang.

Compléments sur le rang.

Proposition 3 : Si u, v ∈LLLL(E, F) sont de rang fini, u + v aussi et rg(u + v) ≤ rg(u) + rg(v).

Preuve : On a toujours Im(u + v) ⊂ Im(u) + Im(v). Si Im(u) et Im(v) sont de dimension finie, il en est de même de leur somme, donc de Im(u + v). il reste à passer aux dimensions.

Attention, on n’a pas en général Im(u + v) = Im u + Im v. Pourquoi ? Exemples ?

Proposition 4 : Toute application u ∈ LLLL(E, F) de rang r est somme de r applications de rang 1 et n’est pas somme de moins de r applications de rang 1.

Preuve : La deuxième assertion découle de la prop. 3. Soient u ∈LLLL(E, F) de rang r, (b₁, b₂, …, b_r) une base de Im u. Pour tout vecteur x ∈ E, on peut écrire u(x) =

∑

≤

≤i r i i b

1

λ

. , où les λi sont uniques.

Les applications u_i : x → λi.b_i sont linéaires (composées de u et de projecteurs), et de rang 1, car Im(u_i) est la droite Vect(b_i).

Proposition 5 : Soient u ∈LLLL(E, F) et v ∈LLLL_{(F, G).}

i) Si v est de rang fini, v o u aussi et : rg(v o u) ≤ rg v ; ii) Si u est de rang fini, v o u aussi et : rg(v o u) ≤ rg u ;

iii) Si u et v sont de rang fini, vou aussi et : rg(v o u) ≤ min(rg u, rg v) .

Corollaire : L’ensemble LLLL_f(E) des endomorphismes de rang fini de E est un idéal bilatère de LLLL_(E).

Cothéorème du rang ³ : Si F est un espace vectoriel de dimension finie, toute u ∈LLLL(E, F) est de rang fini, et Ker u admet un supplémentaire de dimension finie égale à rg u.

Preuve : Im u ⊂ F, donc u est de rg u ≤ dim(F) . Soit (b₁, ..., b_r) une base de Im(u).

Choisissons, pour chaque indice i, un vecteur a_i de E tel que u(a_i) = b_i . Je dis que (a₁, ..., a_r) est libre, et que E = Ker u ⊕ Vect(a₁, ..., a_r) . Ker u admet un supplémenaire de dimension r = rg u. cqfd.

En d’autres termes, Ker u est un sev de codimension finie de E et : rg u = codim Ker u . ( Les sev de codimension finie seront vus dans le chapitre sur la dualité ).

Exercice 2 : Soient E et F deux Kev de dim finie, u ∈ LLLL_{(E, F).}

1) Montrer que si L est un sev de E, dim u(L) = dim L − dim(L ∩ Ker u).

2) Montrer que si M est un sev de F, dim u⁻¹(M) = dim Ker(u) + dim(M ∩^{Im u).}

Exercice 3 : Soient E et F deux Kev de dim finie, u, v ∈ LLLL_{(E, F).}

1) Montrer l’équivalence rg v ≤ rg u ⇔ ∃f ∈ LLLL_{(E) ∃g ∈ Gl(F) g o v = u o f .} 2) Montrer l’équivalence rg v = rg u ⇔ ∃f ∈ Gl(E) ∃g ∈ Gl(F) g o v = u o f .

Exercice 4 : Soient E un espace de dim finie, u ∈ LLLL(E). Montrer qu’il existe un automorphisme f de E et un projecteur p tels que u = p o f.

Exercice 5 : Propriétés additives du rang.

Soient E et F deux Kev de dim finie, u, v ∈ LLLL_{(E, F).}

1) Montrer que rg(u + v) ≤ rg u + rg v .

En déduire que | rg u − rg v | ≤ rg(u + v) ≤ min(dim E, dim F, rg u + rg v).

2) Montrer que toute application linéaire de rang r est la somme de r applications de rang 1, et ne peut s’écrire comme somme de moins de r applications de rang 1.

3) Montrer que rg(u + v) = rg u + rg v ss’il existe des bases BBBB_{E et} BBBB_F de E et F telles que u et v aient resp. pour matrices : A = diag(I_r , O_s , O_n−r−s) et B = diag(O_r , I_s , O_n−r−s).

3 Eh oui ! tout théorème d’algèbre linéaire a un co-théorème. Il y a donc un nombre pair, dénombrable mais

Exercice 6 : Soient E un ev de dimension n, p∈LLLL(E). Montrer que rg(id_E – p) = n – rg(p) ⇔ p² = p.

Exercice 7 : Propriétés multiplicatives du rang.

Soient E, F, G trois Kev de dim finie, u ∈LLLL_{(E, F), v ∈}LLLL_{(F, G).}

1) Montrer que rg(v o u) ≤ min( rg u , rg v ).

2) Plus précisément, établir que :

rg(v o u) = rg(u) − dim(Im u ∩ Ker v) = rg v + dim(Im u + Ker v) − dim F.

En déduire l’encadrement :

max(0 , rg u + rg v − dim F) ≤ rg(v ^o u) ≤ min(rg u , rg v).

Étudier les cas extrêmes.

3) Soit w ∈ LLLL(G, H), H de dim finie. Montrer l’inégalité de Frobenius (1911) : rg(v o u) + rg(w o v) ≤ rg(v) + rg(w o v o u) .

Cas particuliers : w = 0 ; u = 0 ; v = id_F ; v = id_F et w o u = 0 .

Application : Soit u ∈LLLL(E), E de dim finie. Montrer rg(u^p+q) + rg(u^q+r) ≤ rg(u^q) + rg(u^p+q+r) . 7. Dimension et bases de

L L L L

_{(E, F).}

Théorème : Si E et F sont de dimensions finies, LLLL(E, F) aussi et dim LLLL(E, F) = dim(E).dim(F).

Preuve : Soit (a₁, ..., a_p) une base de E. L’application ϕ : u ∈LLLL_{(E, F) → (u(a1}), ..., u(a_p)) ∈ F^p est linéaire, et bijective. Du coup, dim LLLL(E, F) = dim F^p = p.dim(F) = dim(E).dim(F) .

Bases élémentaires de LLLL_{(E, F).}

Soient BBBB_{E = (a1, ..., ap}) une base de E, et BBBB_{F = (b1, ..., bn}) une base de F.

Pour tout couple (i , j) ∈ [1, n]×[1, p], définissons u_ij ∈ L(E, F) par : u_ij(a_k) = 0 si j ≠ k , u_ij(a_k) = b_i si j = k .

autrement dit u_ij(a_k) = δ_jk.b_i , où δ_jk = 0 si j ≠ k , 1 si j = k (symbole de Kronecker).

Proposition 2 : (u_ij) est une base de LLLL(E, F) formée d’endomorphismes de rang 1.

On l’appelle base élémentaire de LLLL(E, F) associée aux bases BBBB_{E et} BBBB_F de E et F.

Preuve : Soit u ∈LLLL(E, F) . Posons u(a_j) =

∑

≤

≤i n ij 1

α

^.b_i pour tout j ∈ [1, p].

Je dis que u =

∑

≤

≤ij n ij , 1

α

^.uij . En effet , ces deux endomorphismes coïncident sur la base BBBB_{E :}

∑

≤

≤ij n ij , 1

α

^.uij(a_k) =

∑

≤

≤ij n ij , 1

α

^.δ_jk .b_i =

∑

≤

≤i n ij 1

α

^.bi = u(a_k) pour tout k.

Ceci montre que la famille (u_ij) est génératrice. Elle est libre car

∑

≤

≤ij n ij , 1

λ

^uij = 0 ⇒ (∀k)

∑

≤

≤ij n ij , 1

λ

^uij(a_k) = 0 ⇒ (∀k)

∑

≤

≤ij n ij , 1

λ

^.δ_jk .b_i = 0 ⇒ (∀k)

∑

≤

≤i n ik 1

λ

^.b_i ^{= 0 ⇒} ∀(i, k) λ_ik = 0 . Notons enfin que Im u_ij = K.b_i , de sorte que u_ij est de rang 1. cqfd.

Remarques : 1) En termes de dualité : u_ij(x) = < a_j* , x >.b_i .

2) En termes matriciels, les u_ij sont les applications linéaires telles que :

Mat(u_ij ; BBBB_{E ,} BBBB_{F) = Eij} , où (E_ij) est la base canonique de M_K(n, p).

Lorsque E = F, on a les formules de composition : (∀i, j, k, l) u_{ij o} u_kl = δ_jk u_il .

Ces formules s’étendent aux composées d’applications élémentaires de E dans F et F dans G, à condition de les noter de même (ce qui ne prête pas à conséquence).

Exercice : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions resp. p et n.

1) Soit B un sev de F. Trouver la dimension de { u ∈ LLLL(E, F) ; Im u ⊂ B }.

2) Soit A un sev de E. Trouver la dimension de { u ∈ LLLL(E, F) ; A ⊂ Ker u }.

3) Soient A un sev de E, et u une application linéaire u : A → F. Montrer que l’ensemble des applications linéaires u : E → F qui prolongent u est un sous-espace affine de LLLL(E, F) ; quelle est sa dimension ?

__________

Annexe : Bases et dimensions des espaces vectoriels généraux

Les théorèmes d’existence et d’équipotence des bases peuvent s’étendre aux espaces vectoriels généraux, moyennant quelques compléments de théorie des ensembles, relatifs aux cardinaux infinis et à l’axiome du choix. L’intérêt théorique de ces extensions est réel, leur intérêt pratique plus limité : les espaces vectoriels de dimension infinie rencontrés en pratique sont, soit des espaces de polynômes, qui admettent des bases dénombrables explicites, soit des espaces vectoriels normés, dans lesquels on a recours, non à des bases algébriques, mais à des familles totales.

Plaçons-nous dans le cadre de la théorie « naïve » des ensembles, et admettons le : Théorème 1 : Les axiomes suivants sont équivalents :

(I) Axiome du choix : pour toute famille (E_i)_i∈I d’ensembles non vides,

∏

∈I i

Ei est non vide.

(II) Axiome de Zermelo : tout ensemble E non vide peut être muni d’un bon ordre, c’est-à-dire une relation d’ordre telle que toute partie non vide admette un plus petit élément.

(III) Axiome de Zorn : tout ensemble ordonné inductif (E, ≤) possède au moins un élément maximal.

Un ensemble ordonné est dit inductif si toute partie totalement ordonnée est majorée.

L’axiome (I) signifie que l’on peut choisir dans chaque ensemble E_i un élément x_i, pour former une famille (x_i). L’axiome (II) signifie que l’on peut numéroter les éléments de E, par une récurrence finie, dénombrable ou transfinie. L’axiome (III), moins aisé à résumer, est cependant le plus commode à utiliser. Nous adjoignons aux axiomes de la théorie des ensembles ces trois axiomes⁴. Ceci a toute une série de conséquences, dans chacune des théories mathématiques. En voici une, utile dans la suite :

Proposition 2 : Tout cardinal infini avérifie a² = a.

Preuve : Si a = ℵ₀ , cela découle de l’équipotence de N² et N. Si E est un ensemble infini de cardinal a, considérons l’ensemble Mdes couples (X , f), où X est une partie de E telle que X² et X soient en bijection, et f une bijection X²→ X. Je dis que Mest ordonné inductif pour la relation :

(X , f ) ≤ (Y , g) ⇔ X ⊂ Y et f est la restriction de g à X² . Il possède donc un élément maximal (F , f). Soit Card F = c. Si c = a, c’est fini.

Sinon, c<a. Soit Y = E − F. Je dis qu’on ne peut avoir, ni card Y ≤ c, ni card Y > c . • Si card Y ≤ c, a= card E = card F + card Y ≤ c + c = 2.c = c< a: impossible.

4 Certains mathématiciens ou logiciens contestent l’axiome du choix. Aussi, dans les exposés mathématiques,