Espaces vectoriels de dimension finie
1 Familles libres, g´ en´ eratrices, bases
1.1 Familles libres
D´efinition. Soit E un e.v. surK etpx1, . . . , xpq PEp. On dit que la famille estlibre (ou lin´eairement ind´epen- dante) si et ssi
@λ1, . . . , λp P K,
¸p i1
λixi 0E ùñ λi 0K @iP t1, . . . , pu
Remarque.
Exemple. E e.v. sur K,xPE. La famillepxq, r´eduite `a un ´el´ement, est-elle libre ?
Exemple.DansE R3 e.v. surR,e1 p1,0,0q,e2 p0,1,0q,e3 p0,0,1q. La famillepe1, e2, e3qest-elle libre ?
Exemple. Dans E R3 e.v. sur R, x1 p1,2,0q, x2 p3,2,1q, x3 p2,0,4q. La famille px1, x2, x3q est-elle libre ?
Exemple. DansE RR la famillepcos,sinq est-elle libre ?
Propri´et´e. Soitpx1, . . . , xpq PEp une famille libre. Alors toute sous-famille depx1, . . . , xpqest libre.
D´efinition. Soit E un e.v. sur K. Une famille d’´el´ements est dite li´ee (ou lin´eairement d´ependante) si elle est
non libre, c’est-`a-dire
Dpλ1, . . . , λpq p0, . . . ,0q P Kp t.q.
¸p i1
λixi 0E
Exemple.
Propri´et´e. Toute sur-famille finie d’une famille li´eeest li´ee.
Th´eor`eme.
Soit px1, . . . , xpq PEp une famille de E. Elle est li´eesi et ssiDi0 t.q.xi0 est C.L. de pxiqiPIrti0u.
Remarque.
1.2 Familles g´en´eratrices et bases
D´efinition. Soit E un e.v. sur K et px1, . . . , xnq P En. On dit que la famille est g´en´eratrice de E si et ssi E Vectpx1, . . . , xnq, c’est-`a-dire si tout ´el´ementxPE s’´ecrit comme C.L. despx1, . . . , xnq.
Exemple.
Propri´et´e. Toute sur-famille d’une famille g´en´eratriceest g´en´eratrice.
D´efinition. SoitE un e.v. surK etpxiqiPI PEI. Si c’est une famille (finie) g´en´eratrice, et libre, alors on dit que
c’est une base.
Exemple.
2 Dimension d’un espace vectoriel
2.1 Familles g´en´eratrices finies
Lemme. Soit E un e.v. sur K et peiq1¤i¤n une famille de n ´el´ements de E. Alors toute famille de F
Vectppeiq1¤i¤nq contenantn 1 ´el´ements est li´ee.
Th´eor`eme.
Soit E un e.v. surK admettant une famille g´en´eratrice finie den´el´ements. Alors toutes les familles
libres et toutes les bases deE ontau maximumn´el´ements.
D´efinition. Un e.v. admettant une famille g´en´eratrice finie est ditde dimension finie. Sinon, on dit qu’il est de dimension infinie.
Exemple.
2.2 Base d’un espace vectoriel de dimension finie Th´eor`eme (de la base incompl`ete).
Soit E un e.v. sur K de dimension finie, peiqiPI une famille g´en´eratrice finie. Soit J I tel que la
sous-famille peiqiPJ est libre.
Alorsil existe L,J LI tel quepeiqiPL est une base deE.
Utilisation.
Utilisation.
Remarque.
Corollaire. Tout e.v. de dimension finieautre que l’espace nul admet une base finie.
Th´eor`eme.
Soit E un e.v. de dimension finie. Alors toutes les bases ontle mˆeme nombre d’´el´ements, appel´e la
dimension de E et not´ee dimpEq.
Convention. On pose0dimpt0Euq. Exemple.
Th´eor`eme.
Soit E un e.v. surK de dimension finien. Alors :
(a) Toute famille libre est finie et a au plusn´el´ements ;
(b) Toute famille de plus den 1 ´el´ementsest li´ee ;
(c) Toute base est finie et an´el´ements ;
(d) Une famille libre est une base si et ssi elle an´el´ements ;
(e) Toute famille g´en´eratrice a au moinsn´el´ements ;
(f) Une famille g´en´eratrice est une base si et ssi elle an´el´ements ;
(g) Pour une famille de n´el´ements : ˆetre g´en´eratrice ðñ ˆetre libre ðñ ˆetre une base
Exercice. Soit E un e.v. sur K de dimension finie p etF un e.v. sur K de dimension finie n. On a d´ej`a muni EF de la structure d’espace vectoriel produit.
(a) Rappeler les lois de cet e.v.
(b) EF est-il un e.v. de dimension finie ? (c) Si oui, quelle est cette dimension.
2.3 Coordonn´ees d’un vecteur dans une base Th´eor`eme.
Soit E un e.v. de dimension finie net pe1, , enq une base deE. Alors pour tout xPE, il existe
un unique n-upletpa1, , anq P Kn tel quex
¸n i1
aiei.
On l’appelle len-uplet des coordonn´ees de x dans la base pe1, , enq.
Notation. x
a1
...
an
Propri´et´e. SiE est un espace vectoriel de dimension finie, alors :
pe1, . . . , enq basesi et ssi
@xPE, D!pa1, . . . , anq P Kn t.q.x
¸n i1
aiei
Exemple. Dans R2rXs, on consid`ere la base canoniquep1, X, X2q. Dans cette base, donner les coordonn´ees de P X2 2X 3.
Exemple. Donner les coordonn´ees de P dans la base pXpX1q,pX1qpX2q, XpX2qq.
Propri´et´es des coordonn´ees. Soit E un e.v. de dimension finie n sur K et pe1, , enq une base fix´ee de E.
Soit x
a1
...
an
ety
b
1
...
bn
. Alors
x y
a1 b1
... an bn
et kx
ka1
... kan
Th´eor`eme.
Soit E un e.v. surK. Alors
E est de dimension finien ðñ E est isomorphe `a Kn
Corollaire. Soit E etF deux e.v. surK de dimension finie. Alors ils sont isomorphes si et seulement si ils ont la mˆeme dimension.
3 Sous-espaces vectoriels d’un e.v. de dimension finie
3.1 Dimension d’un s.e.v.
Th´eor`eme.
Soit E un e.v. surK de dimension finienetF un s.e.v. de E. AlorsF estde dimension finiep avec
p¤n.
De plus,pn ðñ E F
D´efinition. Soit E un e.v. de dimensionn etF un s.e.v. de E.
Si dimpFq 1, on dit que F est unedroite vectorielle.
Si dimpFq 2, on dit que F est unplan vectoriel.
3.2 Rang d’une famille de vecteurs
D´efinition. Soit E e.v. de dimension n sur K, et F px1, , xpq une famille de p vecteurs. On appellerang
de F, et on note rgpFq la dimension deVectpFq.
Remarque. On peut tout de suite dire quergpFq ¤netrgpFq ¤p.
Propri´et´e. F px1, , xpq. Alors
rgpFq p ðñ Ffamille libre
C’est bien le mˆemep!
3.3 Suppl´ementaire d’un s.e.v.
Th´eor`eme.
Soit E un e.v. surK de dimension finie n. SoitF un s.e.v. de E. Alors F admet un suppl´ementaire
dansE, c’est-`a-direqu’il existe Gs.e.v. deE tel queF`GE.
Th´eor`eme.
Soit E un e.v. de dimensionn,F etGdeux sous-espaces vectoriels deE. Soitpf1, , fpq une base
de F etpg1, , gqq une base deG. On a :
pf1, , fp, g1, , gqqest une base de E si et seulement siF`GE.
Corollaire. SiF`GE, o`u E est de dimension finie, alors :
dimpF `Gq dimpFq dimpGq
Corollaire. SoitF etG deux s.e.v. d’un e.v. E de dimension finie. Alors
dimpF Gq dimpFq dimpGq dimpFXGq
Corollaire. PourE de dimension finie,F etGdeux sous-espaces vectoriels de E, on a :
E F`G ðñ
#
dimEdimF dimG FXG tOEu
Corollaire. E un e.v. de dimension finie netH un s.e.v. de E. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) H est suppl´ementaire `a une droite vectorielle dans E
(ii) H est de dimension n1
On dit que H est unhyperplan de E.
Familleslibresouli´ees 30.1D´eterminersilafamilledespolynˆomessuivantsestlibreou li´ee: 1XpX1qX2 pX1qXpX1q2 evdimfinie_35.tex 30.2D´eterminerlerangdelafamilleFpu1,u2,u3,u4qde vecteursdeR5 avecu1p2,3,3,4,2q,u2p3,6,2,5,9q,u3 p7,18,2,7,7qetu4p2,4,2,3,1q.Donnerunerelationded´epen- dancelin´eairepourF.evdimfinie_24.tex 30.3
3´ Etudierlalibert´edansRdelafamillepu,v,wqo`u up1,1,2qvp2,0,1qwp6,2,3q Est-ceunebase?evdimfinie_6.tex 30.4 (a)Montrerquelafamillepcos,sinqestlibredansl’espacevectoriel R R. (b)Quepenserdelafamillepcos,sin,xÞÑxq? evdimfinie_5.tex 30.5D´etermineraPRpourque up3,1,4,6q,up1,1,4,4qetup1,0,4,aq123 4 constituentunefamilleli´eedeRetdonneralorsunerelationded´e- pendancelin´eairedecestroisvecteurs.evdimfinie_4.tex Rpx 30.6DansR,onconsid`eref:xÞÑepourpPN.D´emontrerp R quelafamillepfqestunefamillelibredeR,pourtoutnPN.p0¤p¤n evdimfinie_3.tex 30.7SoitEunespacevectorieletfPLpEq.SoitxPEtelque: 23 fpxq0etfpxq0 Montrerquepx,fpxq,f2 pxqqestunefamillelibredeE. Peut-ong´en´eralisercer´esultat?evdimfinie_30.tex 30.8SoitEunespacevectorielr´eeldedimensionfinienet Bpe1,,enqunebasedeE.Soitpλ1,,λnqPRn .Onpose u
n¸ i1λieietpourtoutiPt1,,nu,viuei.D´emontrerque lafamillepviq1¤i¤nestunefamilleli´eesietseulementsi
n¸ i1λi1. evdimfinie_12.tex 30.9SoitEunK-espacevectoriel,petqdeuxprojecteursdeE telsquep0,q0etpq.Montrerquepp,qqestunefamillelibre dansLpEq.evdimfinie_44.tex 30.10SoitEetFdeuxe.v.surKetuPLpE,Fq.SoitpaiqiPt1,...,nuP En . (a)Onsupposepupaiqqilibre,quepenserdepaiqi. (b)Montrerquelar´eciproquen’estpasvraie. (c)Quellehypoth`eseajouterpourquelar´eciproquesoitvraie? evdimfinie_38.tex 30.11SoitpPiq0¤i¤nunefamilledepolynˆomesunitairesnonnuls telsque degpPiqi@iPt0,,nu D´emontrerquecettefamilleestunebasedeRnrXs.G´en´eralisation? evdimfinie_46.tex Famillesg´en´eratrices,bases 30.12SoitEetFdeuxe.v.surKetuPLpE,Fq.SoitpaiqiPt1,...,nuP En . (a)Onsupposepaiqig´en´eratricedeE,quepenserdepupaiqqi. (b)Lar´eciproqueest-ellevraie? evdimfinie_39.tex
30.13ProuverquedansK3 ,lesvecteursup2,3,1qet vp1,1,2qengendrentlemˆemesous-espacevectorielqueu1 p5,0,7qetv1 p3,7,0q.evdimfinie_7.tex 30.14OnnoteFLpR2rXs,Rq. (a)Soitϕ:FÑR3 fÞÑpfpX2 q,fpXq,fp1qq Montrerqueϕestunisomorphismed’e.v. (b)Soitlestroisformeslin´eairessurR2rXsd´efiniespar: f0pPqrPp0qf1pPqrPp1qf2pPqrPp2q etsoitgd´efiniepar:gpPq»2 0rPptqdt. MontrerquegPVectpf0,f1,f2q. evdimfinie_36.tex 30.15D´eterminerunebaseetladimensiondusous-e.v.FdeRs1,1r engendr´eparpfiqio`u: f1pxqb 1x 1xf2pxqb 1x 1x f3pxq1? 1x2f3pxqx? 1x2 evdimfinie_45.tex 30.16Soitup1,1,1q,vp0,1,2qetwp1,2,3qtrois ´el´ementsdeR3 vucommeR-espacevectoriel. (a)Montrerquepu,v,wqestunefamilleli´ee. (b)SoitFlesous-e.v.deR3 engendr´eparpu,v,wq.Donnerunebase deF. (c)(c.1)SoitGtpx,y,zqPR3 t.q.x2yz0u.Montrerque Gestunsous-espacevectorieldeR3. (c.2)D´eterminerunebasedeG. (d)MontrerqueFG. evdimfinie_32.tex
Sous-ev–Suppl´ementaires 30.17SoitFtPPR3rXst.q.pX1q2 |Pu.MontrerqueF estunsous-e.v.deR3rXs,endonnerunebaseetunsuppl´ementaire. evdimfinie_37.tex 30.18SoitaPRetnPN .OnnoteERnrXsetFtPP Et.q.rPpaq0u.MontrerqueFestunsous-espacevectorieldeE,en d´eterminerladimensionetunebase.evdimfinie_31.tex 30.19DansR4 ,onnoteup1,0,1,0q,vp0,1,1,0q,w p1,1,1,1q,xp0,0,1,0qetyp1,1,0,1q.SoitFVectpu,v,wqet GVectpx,yq.QuellessontlesdimensionsdeF,G,FGetFXG? evdimfinie_26.tex 30.20DansR4 ,onconsid`eree1p2,2,1,0q,e2p1,4,2,1q, e3p2,1,1,0q,e4p2,5,4,2q,f1p2,1,4,5q,f2p1,2,3,4q, EVectpe1,e2,e3,e4qetFVectpf1,f2q.Donnerunebaseetladi- mensiondeE,F,EFetEXF.evdimfinie_23.tex 30.21SoitElesous-ensembledeC0 pR,Rqconstitu´edesfonctions ftellesque: Dpa,b,cqPR3 t.q.@xPR,fpxqacos2xcosxbsin2xsinxccosx (a)MontrerqueEestunsous-espacevectorieldeC0 pR,Rq. (b)Lafamillepf1,f2,f3qd´efinieci-apr`esest-ellelibredansE? f1pxqcos2xcosx,f2pxqsin2xsinx,f3pxqcosx (c)Montrerquetout´el´ementdeEs’´ecritpourtoutxPR: fpxqAcosxBcos3x o`uAetBsontdesconstantesr´eellesned´ependantquedef. (d)End´eduireunebasedeE. evdimfinie_17.tex 30.22D´eterminerunebasedusous-espacevectorieldeR4 suivant: Ftpx,y,z,tqPR4 t.q.x2yz0,xy0,t0u
evdimfinie_9.tex 30.23D´eterminerunsuppl´ementairedansR4 de: Gtpx,y,z,tqPR4 t.q.xyzt0etx3y2z0u evdimfinie_18.tex Coordonn´ees 30.24DansR3 ,onconsid`ereu1p1,1,1q,u2p2,3,4qet u3p4,9,16q. (a)MontrerquecestroisvecteursformentunebasedeR3 . (b)D´eterminerlescoordonn´eesdeu1danslabasecanonique. (c)D´eterminerlescoordonn´eesdeu1,deu2,dee1etdevp3,4,5q danslabasepu1,u2,u3q. evdimfinie_16.tex 30.25SoitPX5 12X4 56X3 126X2 135X54unpo- lynˆomedeER5rXs. OnappelleBlabasecanoniquedeE.OnnoteCppX3qk q0¤k¤5. (a)Rappelerbri`evementpourquoiCestunebasedeE. (b)Donnerlescoordonn´eesdePdanslabaseB. (c)EnutilisantMapleouunecalculatrice,donnerlescoordonn´ees dePdanslabaseC. (d)FactoriserP. evdimfinie_15.tex Divers 30.26SoitEunespacevectorieldedimensionfinie. (a)SoitFunsous-espacevectorieldeE,FE.SoitxPErF. D´emontrerqu’ilexisteunhyperplanHdeEcontenantFettel quexRH. (b)D´emontrerquetoutsous-espacevectorielpropredeEest´egal`a l’intersectiondeshyperplansquilecontiennent. evdimfinie_13.tex 30.27SoitEunespacevectorieldedimensionfinien.SoitFet Gdeuxsous-e.v.deEtelsquedimpFqdimpGq¡n.Montrerque FXGt0u.evdimfinie_33.tex
30.28SoitfPLpEq.Onsupposeque@xPE,px,fpxqqestune familleli´ee.Montrerquefestunehomoth´etie.evdimfinie_8.tex 30.29SoitKRouC.Soita,bPK.OnnoteEl’ensembledes suitespunqnPNd’´el´ementsdeKsatisfaisantlarelationder´ecurrence: un2aun1bun OnnotevlasuitedeEtellequev01etv10etonnotewlasuite deEtellequew00etw11. (a)MontrerqueEestunespacevectoriel. (b)Lessuitesvetwsont-ellesbiend´efinies?Montrerqu’elles formentunebasedeE. (c)End´eduireler´esultatducoursconcernantlarecherchedes´el´e- mentsdeE. evdimfinie_1.tex 30.30SoitnPN fix´e.Ond´efinit: ∆:RnrXsÑRn1rXs PÞÑPpX1qPpXq (a)Montrerque∆estuneapplicationlin´eaire. (b)End´eterminerlenoyau.Est-ellesurjective? (c)SoitH01etHk1 k!XpX1q...pXk1qpourtout kPt1,...,nu.Calculer∆pHkqpourtoutk. (d)D´eterminerunant´ec´edentdeX2 par∆. (e)End´eduirelasomme12 22 n2 . (f)G´en´eralisation? evdimfinie_47.tex 30.31SoitEunespacevectorieldedimensionfiniesurK,et ϕPLpEqtelque: ϕ2 5ϕ6idE0 (a)Montrerqueϕestinversible. (b)MontrerqueKerpϕ2idEq`Kerpϕ3idEqE. evdimfinie_60.tex
