ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 9 mai 2005
Programme de colles S26
NB : Le programme porte sur celui de la semaine S25 PLUS ce qui suit...
Alg` ebre lin´ eaire en dimension finie
Espaces vectoriels de dimension finie
Th´eor`eme de la base incompl`ete et cons´equences
D´efinition : UnK-espace vectoriel est dit de dimension finies’il poss`ede une famille g´en´eratrice finie.
Th´eor`eme.— SoitEun espace vectoriel non r´eduit `a{~0}de dimension finie surK. SoientL une famillelibre et finie de vecteurs deEetG une familleg´en´eratriceet finie de vecteurs deE. On suppose queL ⊂G. Alors il existe une baseBde vecteurs deE telle que
L ⊂B⊂G Cons´equences :
• Toute famille libre finieL de vecteurs deE peut ˆetre compl´et´ee en une base deE.
• De toute famille g´en´eratrice finie G deE, on peut extraire une base.
• En particulier tout espace de dimension finie poss`ede des bases.
Th´eor`eme de la dimension
Th´eor`eme.— SoitE un espace vectoriel non r´eduit `a{~0} de type fini surK. Alors Toutes les bases deE ont mˆeme cardinal.
Cet entier est appel´e ladimension de E.
Th´eor`eme.— Soient Eun espace vectoriel surKet n∈N?. Alors
E est de dimension finien si et seulement si Eest isomorphe `a Kn.
Sous-espaces vectoriels
Th´eor`eme.— SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie etF un sous-espace vectoriel deE. AlorsF est de dimension finie et dimKF ≤dimKE. De plusF =E si et seulement si dimKF =dimKE.
Th´eor`eme.— Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel de dimension finie E. Alors F,G,F∩Get F+Gsont de dimensions finies et
dimK F+G
+dimK F∩G
=dimKF+dimKG
Th´eor`eme.— Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n et F un sous-espace vectoriel de E. AlorsF poss`ede un suppl´ementaireGdansE. De plus
dimKG=dimKE−dimKF
Familles de vecteurs
Rang d’un famille de vecteurs
D´efinition : Soit F une famille de vecteurs d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. Le rang de F est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e parF. On noteRgF =dimKVectK(F).
Proposition.— SoitF une famille depvecteurs d’unK-espace vectoriel E de dimension finien∈N. Alors RgF ≤netRgF ≤Card p.
Th´eor`eme.— SoitF une famille depvecteurs d’unK-espace vectorielE de dimensionn∈N. Alors F est g´en´eratrice deE si et seulement si RgF =n.
F est libre dans E si et seulement si RgF =p.
F est une base deE si et seulement si RgF =n=p.
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Application lin´ eaires
Formule du rang et cons´equences
Th´eor`eme.— Soient Eet F des espaces vectoriels etu∈LK(E, F). On suppose queE est de dimension finie.
AlorsKeruet Imusont des espaces de dimension finie et
dimKE=dimKImu+dimKKeru
Th´eor`eme.— Soient E et F deux K-espaces vectoriels de type fini et de mˆeme dimension. Pour toute application lin´eaireu∈LK(E, F), les assertions suivantes sont ´equivalentes :
uest injective ⇐⇒ uest surjective ⇐⇒ uest bijective.
Rang d’une application lin´eaire
D´efinition : Soient E et F deux K-espaces vectoriels et u∈ LK(E, F). On suppose que E est de dimension finie. On appellerang de u, et on note Rgu, la dimension de Imu.
Proposition.— SoientE etF deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies etu∈LK(E, F). Alors Rgu≤dimKE etRgu≤dimKF.
Th´eor`eme.— Soient Eet F deuxK-espaces vectoriels de dimensions finiesnet p, etu∈LK(E, F). Alors uest injective si et seulement si Rgu=dimKE.
uest surjective si et seulement si Rgu=dimKF. uest un isomorphisme si et seulement si Rgu=n=p.
Applications lin´eaires et matrices
D´efinition : Les colonnes de lamatrice repr´esentative d’une application lin´eaire dans les bases E et F sont les coordonn´ees –dans la baseF– des images des vecteurs de la base E.
Savoir-faire : construire la matrice repr´esentative d’une ampplication lin´eaire dans des bases.
Th´eor`eme.— Soient Ep,Fn ,Gm troisK-espaces vectoriels etA∈LK(Ep, Fn),b∈LK(Fn, Gm) deux applica- tions lin´eaires. Etant donn´eesE,F etG des bases deEp,FnetGmrespectivement, les matrices repr´esentatives dea,b eta◦b v´erifient :
MatE,G(a◦b) = MatF,G(a)×MatE,F(b)
∀~x∈Ep, MatF(b(~x)) = MatE,F(b)×MatE(~x)
Savoir-faire : calculer l’image d’un vecteur par une application lin´eaire grˆace `a leurs matrices repr´esentatives dans des bases.
Th´eor`eme.— Soient En et Fn deux espaces vectoriels sur K de mˆeme dimension n, et u : En → Fn une application lin´eaire.
u∈GLK(E, F)ssi il existeE et F des bases deEn et Fn telles queMatE,F(u)∈GLn(K).
En ce casMatF,E(u−1) =MatE,F(u)−1.
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