SOUS-ESPACES STABLES PAR UN ENDOMORPHISME OU UNE FAMILLE D’ENDOMORPHISMES D’UN ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE. APPLICATIONS.

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�� SOUS-ESPACES STABLES PAR UN ENDOMORPHISME OU UNE FAMILLE D’ENDOMORPHISMES D’UN ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE. APPLICATIONS.

SoitKun corps commutatif,EunK-espace vectoriel de dimension finienœN^ú. Soitf œL(E).

I. Sous-espaces stables par un endomorphisme

I. A. Définitions et premières propriétés

[MM��, ChII]

D��. Fsous-espace vectoriel deEest ditf-stable sif(F) µ F. On note alors fF :F ≠æF, x‘≠æf(x)l’induit defsurF.

P��. Soitg œL(E)commutant avecf. AlorsIm(f),ker(f)etker(P(f))pour toutP œK[X]sontg-stables.

E��. En particulierE⁄= ker(f ≠⁄idE)estf-stable pour tout⁄œK.E⁄est le sous- espace propre associé à⁄. S’il est non réduit à{0}, on dit que⁄est valeur propre def. E��. Soitpun projecteur deL(E)etFun sous-espacep-stable. AlorsFest somme directe d’un sous-espace deker(p)et d’un sous-espace deIm(p).

E��. SoitgœAut(E)etF f-stable. Alorsg(F)est stable pourg¶f¶g^≠1.

P��. SiFestf-stable, alorsﬁfF |ﬁfet‰fF |‰f.

I. B. Sous-espaces cycliques

[MM��, ChI/II]

SoitxœE.

D��. [�� ,��-�� ]

L’applicationÏf, x :K[X]≠æ E, P ‘≠æ P(f)(x)est un morphisme d’espaces vectoriels.

Son noyau est un idéal deK[f]. Il est engendré par un unique polynôme unitaireﬁf, xappelé polynôme minimal local defenx. On noteEf, xson image.

P��. Ef, xestf-stable etEf, x = K[f](x) = Vect(B^x)oùd = degﬁf, xet B^x=)

x, f(x), . . . , f^d^≠1(x)*est une base deEf, x.

D��. On dit quefest cyclique s’il existexœEtel queE=Ef, x. E��. Sin= 2, tout endomorphisme est soit cyclique, soit une homothétie.

P��. Supposonsfcyclique et soitxtel queE=Ef, x. AlorsM_B_x(f) =C(ﬁf, x) =

Q cc cc cc a

0 . . . . . . 0 ≠a0

1 ... ... ...

0 ... ... ... ...

... ... ... 0 ≠an≠2

0 . . . 0 1 ≠an≠1

R dd dd dd b

oùﬁf, x=Xⁿ+qn≠1 k=0akX^k.

C’est une matrice appelée matrice compagnon defif, x. On a alors‰f =fif =fif, x.

P��. Sifest cyclique, l’ensemble des endomorphismes commutants avecfest K[f].

T��. [�� C��-H��]

‰fest un polynôme annulateur def. Autrement dit,ﬁf |‰f.

II. Détermination de sous-espaces stables et réduction

II. A. Lemme des noyaux et décomposition de D��

[MM��, ChIV]

L��. [�� ]

Soit(Pi)1ÆiÆrune famille de polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors en posantP = rr

i=1Pi, on aker(P(f)) =mr

i=1ker(Pi(f)). De plus, le projecteur deker(P(f))sur l’un de ces sous-espaces parallèlement à la somme des autres est un polynôme enf.

A��. Il existexœEtel quefif, x=fif. Donc sideg(fif) =n, alorsfest cyclique.

T��. [�� D��]

Soitf œ L(E)de polynôme caractéristique scindé. Alors il existe un unique couple(d, n) œ L(E)²tel quedest diagonalisable,nest nilpotent,f =d+netdcommute avecn.

De plus,detnsont des polynômes enf.

A��. SoitM œMⁿ(K)de polynôme caractéristique scindé. On noteµ₁, . . . , µn

lesnracines de‰M (comptées sans leur multiplicité). Soit(D, N)la décomposition deD��-

��deM. SoitPœGLⁿ(K)telle queP^≠1DP = = diag(µ1, . . . , µn)soit diagonale. Alors on aexp(A) =Pdiag(e^µ¹, . . . ,e^µⁿ)P^≠1qn≠1

k=0 N^k k! .

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

E��.

A _{1 1 0}

0 1 1 0 0 1

B

=I3+

A _{0 1 0}

0 0 1 0 0 0

B A _{1 1 1}

0 1 1 0 0 3

B

=

A _{1 1 1}

0 1 1 0 0 3

B +

A _{0 0 0}

0 0 0 0 0 0

B

exp

AA _{1 1 0}

0 1 1 0 0 1

BB

=

A _{e e e}_/2

0 e e 0 0 e

B

E��. Un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul.

A��. Résolution de l’équation di�érentielleY^Õ=AY pourAœMⁿ(C).

II. B. Utilisation de la dualité dans la recherche de sous-espaces propres

[Rom��, Ch��, p��]

D��. PourA µEon définitA^‹ ={ÏœE^ú|’xœA,Ï(x) = 0}et pourB µ E^ú, on définitB^¶={xœE|’ÏœB,Ï(x) = 0}.

D��. On définit ^tf :E^ú≠æE^ú,Ï‘≠æÏ¶f.

P��. SiB^úest la base duale deB, on aM_Bú(^tf) =M_B(f)^€. P��. Festf-stable si et seulement siF^‹est ^tf-stable.

P��. Soitx œ Etel queﬁf, x = ﬁf. AlorsEf, xadmet un supplémentaire f-stable.

II. C. Sous-espaces stables et trigonalisabilité / diagonalisabilité

[MM��, ChVIII–IX]

T��. fest trigonalisable si et seulement si‰fest scindé si et seulement siﬁfest scindé si et seulement sifadmet un polynôme annulateur scindé.

E��. [�� ]

Sifest trigonalisable et(e1, . . . , en)est une base de trigonalisation (supérieure), alorsFk = Vect(e1, . . . , ek)estf-stable.

T�� ��. f est diagonalisable si et seulement siﬁf est scindé à racines simples si et seulement sifadmet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

P��. Sifest diagonalisable, soitSp(f)l’ensemble de ses valeurs propres. Alors l’ensemble des sous-espaces stables defsont lesü^⁄œSp(f)F⁄oùF⁄est un sous-espace deE⁄. A��. Sous-espaces propres d’un projecteur, d’une symétrie.

II. D. Autour des nilpotents et de la décomposition de J��

[MM��, ChX] [Rom��, Ch��, p��–��]

A��. [�� ]

Si f est nilpotent d’indice n alors les sous-espaces stables de f sont exactement les (ker(f^k))0ÆkÆn.

L��. [�� J�� ’�� ]

Supposonsfnilpotent. Il existe des entiersd₁Ø· · ·Ød¸tels que dans une certaine base BdeE,M_B(f)soit diagonale par blocs avec les blocs(Jdk)1ÆkÆ¸oùJd=C(X^d).

T��. [�� J��]

Supposonsf de polynôme caractéristique scindé (trigonalisable). Notons⁄₁, . . . ,⁄rses valeurs propres distinctes. Il existe des entiers dj,1 Ø · · · Ø dj,¸j pourj œ J1, rK tels que dans une certaine baseBdeE,M_B(f)soit diagonale par blocs avec les blocs (Bj, k)1ÆjÆr

1ÆkÆ¸j

, oùBj, k=⁄jIdj,k +Jdj,k.

E��.

Q cc a

≠1 ≠1 0 0 0 ≠1 0 0 0 2 0 ≠1

0 2 2 3

R dd

best semblable à Q cc a

≠1 1 0 0 0 ≠1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 2

R dd b.

T��. Deux endomorphismes trigonalisables sont semblables si et seulement si ils ont même réduction deJ��.

E��. On déduit de la réduction deJ��tout un ensemble de sous-espaces stables.

Le cas d’un nilpotent est traité en annexe, en utilisant le tableau deY��associé à l’endomorphisme. Le cas général s’en déduit.

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II. E. Décomposition de F��

[MM��, ChXI]

T��. [�� F��]

Il existe une unique suite finie de polynômes unitairesP₁, . . . , Ps, appelés invariants de simi- litude et une décompositionE=ms

i=1Eien sous-espaces stables deEtels que :

• Pi+1|Pipour tout1ÆiÆs≠1,

• fEiest cyclique de polynôme minimalPipour tout1ÆiÆs.

C��. Dans des bases adéquates la matrice defest diagonale par blocs avec pour blocs les matrices compagnons(C(Pi))1ÆiÆs. On dit que c’est la forme réduite def. E��. La réduite de

Q cc a

0 ≠1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

R dd best

Q cc a

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ≠1 0 0 1 2

R dd b.

III. Autres propriétés autour des sous-espaces stables

III. A. Co-trigonalisabilité et co-diagonalisabilité

[MM��, CHVIII/IX]

R��. Les sous-espaces propres defsont stables par tout endomorphisme commutant avecf.

P�� ��. Soit(fk)1ÆkÆN une famille d’endomorphismes trigonalisables commutant deux à deux. Alors il existe une base commune de trigonalisation (on dit que les (fk)1ÆkÆNsont co-trigonalisables).

A��. Des endomorphismes trigonalisables commutant deux à deux possèdent au moinsn+ 1sous-espaces stables en commun.

P��. SoitK=C. Soientf, gœL(E)trigonalisables tels quef g = 0. Alorsf etgsont co-trigonalisables.

P��. Soit(fk)1ÆkÆN une famille d’endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux. Alors il existe une base commune de diagonalisation (on dit que les (fk)1ÆkÆNsont co-diagonalisables).

A��. SoientA, B œ Mⁿ(R)diagonalisables. Alors œ L(Mⁿ(R))définit par (M) =AM Best diagonalisable.

E��. SoitGun sous-groupe fini abélien deGLⁿ(C). Alors les éléments deGsont co-diagonalisables, et doncGest conjugué à un sous-groupe de matrices diagonales.

C��. Si de plus chaque endomorphisme possèdenvaleurs propres distinctes, les sous-espaces stables sont les mêmes pour chaque endomorphisme.

E��. Si les valeurs propres ne sont pas nécessairement distinctes, c’est faux : on peut considérer pourf1une homothétie et pourf2un endomorphisme diagonalisable qui n’est pas une homothétie.

III. B. Semi-simplicité

[BMP��, §�.�.�, p��–��] [Gou��, §�.�, p��–��]

D��. [�� -��]

fest dit semi-simple si tout sous-espacef-stable admet un supplémentairef-stable.

T��. fest semi-simple si et seulement siﬁfest sans facteur carré.

A��. SurK =RouC,fest semi-simple si et seulement sif est diagonalisable surC.

E��. Sifest nilpotente, alorsfest semi-simple si et seulement sif = 0.

E��. Les rotations deR²sont semi-simples.

A��. Supposonsf semi-simple et soitF un sous-espacef-stable. AlorsuF et u:E/F ≠æE/Fsont aussi semi-simples.

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��

Lecture de sous-espaces stables sur un tableau deY��

��

On veut illustrer le rôle des sous-espaces stables dans la théorie des endomorphismes : trouver des sous-espaces stables permet par exemple de simplifier l’étude en se restreignant à un sous- espace stable, cela va amener vers la réduction des endomorphismes.

Dans chaque partie, on se demande à quoi servent les sous-espaces stables, et comment les identifier.

D’abord, pour les endomorphismes cycliques, on a un vecteur dont le sous-espace stable minimal et l’espace tout entier, on va donc parcourir l’espace entièrement grâce à ce vecteur. Ces sous-espaces sont importants car ils permettent de montrer le théorème deC��-H��

très important en théorie des endomorphismes.

Ensuite, l’idée de la réduction deJ��est d’obtenir des sous-espaces propres donnés par le lemme des noyaux via le polynôme caractéristique. Pour la décomposition deF��, on s’intéresse aux sous-espaces cycliques associés auxxtel queﬁf =ﬁf, x.

Enfin, on s’intéresse aux propriétés autour des sous-espaces propres et de la (co- )trigonalisabilité/diagonabilité. La trigonalisation revient par exemple à trouver une famille imbriquée de sous-espaces stables.

��

Q Soitfcyclique. Montrer qu’il y a un nombre fini de sous-espacesf-stables.

R Soit x œ E tel que E = Ef, x. Fixons F un sous-espace f-stable et considérons {P œK[X]|P(f)(x)œF}. CommeF estf-stable, il est facile de vérifier qu’il s’agit d’un idéal deK[X]. Il est donc engendré par un unique polynôme unitaireQ. Siy = Q(f)(x), on aK[f](y)µFpar stabilité mais réciproquement, siz =P(f)(x)œF, alors nécessai- rementP = QRpour unRet doncz = R(f)(y). AinsiF = Ef,yest cyclique. Comme fif(f)(x) = 0œF, on remarque alors queQ|fif, et on a donc une injection de l’ensemble des sous-espacesf-stables deEdans les polynômes unitaires diviseurs defif. Ainsi il y a un nombre fini de sous-espacesf-stables.

Q Qu’en est-il de la réciproque lorsqueKest infini?

R Soitfayant un nombre fini de sous-espaces stables. AlorsEne peut être réunion de sous- espaces stables stricts deE. En e�et, siE = fi^ki=1EiavecE1 ”µ fii>1Ei. Prenons donc xœ E1\fii>1Eiety œ fii>1Ei \E1. Pour tout⁄ œ K,y+⁄x /œ E1donc il existeitel quey+⁄xœEi. CommeKest infini, il existe⁄”=µtels quey+⁄x, y+µxœEipour un certaini. Alors(⁄≠µ)x=y+⁄x≠(y+µx)œEi, doncxœEi, ce qui est absurde.

Notons maintenant (Fi)1ÆiÆk les sous-espaces stricts de E f-stables. Choisis- sons x œ ﬁ/ ⁱFi. Alors G = )

x, f(x), . . . , fⁿ^≠1(x)* est une famille libre sinon Vect()x, f(x), . . . , fⁿ^≠2(x)*)seraitf stable et de dimension inférieure àn≠ 2, donc

strictement inclus dansEdonc égal à l’un desEi, ce qui est faux par définition dex. Ainsi ﬁf, xest de dimensionn, et doncfest cyclique.

Q Soitftel que tout sous-espace estf-stable. Que peut-on dire def?

R Les sous-espaces de dimension1sontf-stables donc chaque vecteur est vecteur propre.

Puis pourx, yœEde valeur propre⁄x”=⁄y, on a⁄x+y(x+y) =f(x+y) =f(x)+f(y) =

⁄xx+⁄yy, donc comme(x, y)est libre on a⁄x=⁄x+y =⁄y, ce qui est absurde. Ainsif est une homothétie.

Q Montrer la décroissance des sauts de dimension dans la suite des noyaux itérés.

R Plusieurs possibilités, on peut quotienter.

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[MM��] R.M��et R.M��:Algèbre linéaire : Réduction des endomorphismes. De Boeck,

�^èmeédition,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

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