Sous-espaces de dimension finie de C(R, C) stables par translations.

Sous-espaces de dimension finie de C( R , C ) stables par translations.

2013 – 2014

Référence : Eric Leichtnam, Exercices d’oraux X-ENS : tome Analyse, Ellipses, 1999, p.92.

Théorème.

SoitF un sous-espace vectoriel de C(R,C) de dimension finie n. Poura ∈R, on définitτa:f 7→f(· −a)endomorphisme deC(R,C).

Alors F est stable par tous les endomorphismes τa, a ∈R, si et seulement si F est l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordren à coefficients constants.

Démonstration. Si F est l’espace des solutions d’une équation différentielle li- néaire homogène d’ordrenà coefficients constants, alors F est un sous-espace vectoriel de C(R,C) de dimension n d’après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. De plus, un tel espace est bien stable par translations.

Supposons désormais que F est stable par translations. On commence par montrer queF ⊂ C^∞(R,C).

Soit (f1, . . . , fn) une base deF. Poura∈Reti∈ {1, . . . , n}, on aτ_−afi∈F donc il existe des scalairesλi,1(a), . . . , λi,n(a) tels que

∀x∈R, f_i(x+a) =

n

X

k=1

λ_i,k(a)f_k(x). (1)

Pourx∈R, on noteFk(x) =Rx

0 fk(t) dt. En intégrant (1), on a Z x

0

f_i(t+a) dt=

n

X

k=1

λ_i,k(a)F_k(x),

d’où

Fi(x+a)−Fi(a) =

n

X

k=1

λi,k(a)Fk(x).

Lesfisont linéairement indépendants donc lesFiaussi. On dispose alors du lemme suivant :

1

Lemme.

Soith1, . . . , hn des fonctions de R dansClinéairement indépendantes. Alors il existe des réelsx1, . . . , xn tels que la matrice(hi(xj))1≤i,j≤n soit inversible.

Soit donc x1, . . . , xn ∈R tels que A:= (Fi(xj))1≤i,j≤n soit inversible. Par la relationF_i(x_j+a)−F_i(a) =Pn

k=1λ_i,k(a)F_k(x_j), on obtient B(a) = Λ(a)A avecB(a) := (F_i(x_j+a)−F_i(a))_1≤i,j≤n et Λ(a) := (λ_i,j(a))_1≤i,j≤n.

On a donc Λ(a) = B(a)A⁻¹ pour tout a ∈ R. Les f_i sont continues donc lesF_i sont de classeC¹et donc l’applicationa7→B(a) aussi. On en déduit que a 7→ Λ(a) est de classe C¹ et donc que les λ_i,j sont de classe C¹. En prenant x= 0 dans (1), on a

fi(a) =

n

X

k=1

λi,k(a)fk(0)

donc les fi sont de classeC¹. Par récurrence, on en déduit que les fi sont de classeC^∞, doncF⊂ C^∞(R,C).

En dérivant (1) par rapport àaen 0, on a, pour toutx∈R,

f_i⁰(x) =

n

X

k=1

λ⁰_i,k(0)fk(x).

On en déduitf_i⁰ ∈F pour tout i,i.e.F est stable par l’endomorphismeD de dérivation.

Soit µ le polynôme minimal de D_|F, on note d := degµ (d ≤ n). On a F ⊂ kerµ(D), or d’après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, kerµ(D) est un sous-espace deC(R,C) de dimension d, on doit donc avoir d=n et doncF = kerµ(D).

Démonstration du lemme. On noteK:= vect(h1, . . . , hn) et, pourx∈R,δx la forme linéairef 7→f(x) sur K. Soit Γ :={δx |x∈R} et G:= vect(Γ)⊂K^∗. On aG^⊥K = Γ^⊥K ={0}, doncG=K^∗.

On en déduit que Γ engendre K^∗, et donc qu’il existe x₁, . . . , x_n ∈ R tels que (δ_x1, . . . , δ_xn) soit une base de K^∗. La matrice de passage de la base duale desh_i à la base des δ_xi est (h^∗∗_i (δ_xj))_1≤i,j≤n, or h^∗∗_i (δ_xj) = δ_xj(h_i) = h_i(x_j), d’où le résultat.

2