Chapitre 17 Espaces vectoriels de dimension ﬁnie

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Chapitre 17

Espaces vectoriels de dimension ﬁnie

Dans tout ce chapitreKdésigneRouC.

1 Espaces vectoriels de dimension ﬁnie

1.1 Cardinal d’une famille ﬁnie de vecteur

On rappelle qu’on appelle famille ﬁnie de vecteurs deE toutn-uplet de vecteurs de E, où n∈N.

SiF est une familleﬁnie de vecteurs deE, il existe donc un unique entier natureln∈Net un uniquen-uplet�−→u₁,...,−→u_n�

de vecteurs deE, tels que : F=�−u→1,...,−→un

�

L’entiernest appelécardinalde la familleF.

�Contrairement aux ensembles, les élements d’une famille ne sont pas nécessairement deux à deux distincts.

SiF=�→−x,−→x,−→x�

, alors Card(F)=1.

SiF=�→−x,→−x,−→x�

, alors Card(F)=3.

Le casn=0, correspond au cas de la famille videF=�.

1.2 Bases et dimension

Déﬁnition 1 Espace vectoriel de dimensionﬁnie

Soit Eun K-ev, ie un espace vectoriel surK. On dit que Eest de dimensionﬁnie lorsqu’il admet une famille génératriceﬁnie.

Dans le cas contraire, on dit queEest de dimension inﬁnie.

Exemple:KⁿetK_n[X] sont de dimensionﬁnie.

Exemple:Nous n’avons pas les outils pour le démontrer mais on peut tout de même le si- gnaler :K[X],K^NetR^Rsont de dimension inﬁnie.

Nous allons maintenant étudier l’existence de bases dans unK-ev de dimensionﬁnie.

(2)

Remarquons tout d’abord que, dans tout K-evE, il existe toujours une famille génératrice qui estElui-même. SiEn’est pas réduit au vecteur nul, alors tout vecteur−→x deEdifférent du vecteur nul donne�−→x�

famille libre, et doncEadmet toujours une famille libre. Par contre, il n’est pas clair queEadmet au moins une base. C’est l’objet du théorème suivant.

À toutesﬁns utiles, rappelons que, par convention,�est une base de�−→0E

�, et donc�→−0E

�est unK-ev de dimensionﬁnie.

Théorème 2 Existence de bases en dimensionﬁnie

SiEest de dimensionﬁnie, alorsEadmet au moins une base composée d’un nombreﬁni de vecteurs.

En fait siB=�−→e1,→−e 2,... ,→−e n

�est une telle base deE, alors, pour toutλ∈K^∗,�

λ.→−e 1,−→e2,...,−→en

� en est une autre. Ceci prouve queEadmet en une inﬁnité de bases.

Ce n’est pas au programme mais intéressant à savoir : siEest de dimension inﬁnie, alorsE admet aussi des bases (inﬁnies), grâce à l’axiome du choix.

Démonstration : On peut supposer sans perte de généralité queEn’est pas réduit à�−→0E

�. Puisque E est de dimension ﬁnie, E admet une famille génératrice ﬁnie qu’on note F =

�→−u₁,...,→−u_p� .

•SiF est libre, alorsFest un baseﬁnie deEet le résultat est démontré.

•SiFest liée, alors un des vecteur est CL des autres. Par exemple, supposons que−→u_p est CL de�→−u₁,...,→−u_p₋₁�

. Dans ce casF�est encore une famille génératrice deE. On recommence alors le raisonnement avec F�: si elle est libre on a trouvé une base ﬁnie, sinon on peut encore lui enlever un vecteur tout en gardant son caractère générateur. . .

Soit on tombe sur une famille génératrice et libre donc une base deE, soit, dans le pire des cas, on tombep−1 fois sur une famille liée, ce qui donne une famille génératrice composée d’un vecteur�→−u₁�

. PuisqueEn’est pas réduit à→−0E, ce vecteur est non nul et forme donc une famille libre. Ainsi on trouve encore une fois une baseﬁnie deE.

CQFD�

Corollaire 3 Extraction de base d’une famille génératriceﬁnie

SiEest de dimensionfinie et siFest une famille génératricefinie deE, alors on peut extraire deF une baseBfinie deE.

Exemple:Donner une base deE=Vect�

(X−1)²,X²,−2X+1�

et deE=Vect[(1,0);(1,1);(0,2)� .

Lemme 4 Nombre de vecteurs d’une famille libre et d’une famille génératrice SoitEunK-ev de dimensionﬁnie.

On suppose queL est une famille libre deEet queG est une famille génératriceﬁnie deE.

AlorsL estﬁnie et Card(L)≤Card(G).

(3)

1 Espaces vectoriels de dimensionﬁnie

Démonstration :Par l’absurde, supposons que Card(L)>Card(G).

On noteG=�−→v₁,... ,−→v_p�

etL =�→−u₁,...,u_q�

. Remarquons que cela impose quep=Card(G) etq=Card(L).

Comme on a supposé queq>p, on peut noter :

L =�→−u₁,...,→−u_p,−→u_p+1,...,−→u_q�

•CommeG est génératrice deE, on a−→u₁CL des vecteurs deG :

−

→u₁=

�p i=1

α_i.→−v_i où (α₁,...,α_p)∈K^p

Au moins une desα_i est non nul : sinon on aurait−→u₁=→−0Ece qui est absurde car−→u₁∈L et L est libre.

Pour simpliﬁer, supposons queα_p �=0. Alors :

−

→v_p = 1 α_p

�

−

→u₁−

�p i=1

α_i.−→v_i

�

donc→−v_p∈Vect�→−u₁,→−v₁,−→v₂,...,−→v_p−1� . D’autre partG =�−→v₁,... ,→−v_p₋₁,−→v_p�

est génératrice deE, donc�→−u₁,−→v₁,...,−→v_p₋₁,−→v_p� l’est aussi. Comme→−v_p est CL de�−→u₁,→−v₁,... ,→−v_p₋₁�

, on obtient queG₁=�→−u₁,→−v₁,...,−→v_p₋₁� est génératrice deE.

On a donc remplacé−→v_p par→−u₁dans la famille génératriceG.

•On recommence. CommeG₁est génératrice deE, on a→−u₂CL de�→−u₁,−→v₁,... ,−→vp−1� :

−

→u₂=β.−→u₁+

p�−1 i=1

α_i.−→v_i où (β₁,α₁,...,α_p₋₁)∈K^p et comme�→−u₁,−→u₂�

est libre (sous-famille deL qui est libre), on a au moins un desα_i qui est non nul.

Pour simpliﬁer, supposons queα_p₋₁�=0. Alors :

−

→vp−1= 1 α_p−1

�

−

→u₂−β₁.→−u₁−

p�−2 i=1

αi.−→vi

�

donc→−v_p₋₁∈Vect�−→u₁,→−u₂,−→v₁,...,−→v_p₋₂� . D’autre partG₁=�−→u₁,→−v₁,...,→−v_p−2,→−v_p−1�

est génératrice deE, donc la famille

�→−u1,−→u2,→−v1,... ,−→vp−2,→−vp−1�

l’est aussi, et doncG₂=�→−u1,−→u2,→−v1,...,→−vp−2�

est génératrice deE(puisque→−v_p₋₁est CL de ces vecteurs).

À ce stade, on a donc remplacé−→v pet−→vp−1par−→u₁et−→u₂dans la famille génératriceG.

• Au bout de p étapes, on remplace→−v₁, ...,→−v_p₋₁,→−v_p par→−u₁, ...,→−u_p₋₁, →−u_p (ce qui est possible carq>p), et on obtient que la familleG =�→−u ,...,→−u �

est génératrice deE.

(4)

Mais alors−→u_p₊₁est CL deG_p ce qui contredit le fait queL est libre.

Par l’absurde, on a donc montré que Card(L)≤Card(G).

CQFD�

Corollaire 5 Théorème de la dimensionﬁnie

SiEest unK-ev de dimensionﬁnie, alors toutes ses bases sontﬁnies et de même cardinal.

Ce théorème permet de déﬁnir la notion de dimension.

Déﬁnition 6 Dimension

SiEest unK-ev de dimensionﬁnie, on appelle dimension deEle cardinal commun de toutes ses bases. Ce nombre entier naturel non nul est noté dim(E).

On adopte la convention que�−→0E

�est de dimensionﬁnie et que dim��−→0E

��=0. En général on a donc dim(E)∈Net dim(E)=0⇐⇒E=�→−0E

�.

Exemple:Kⁿest de dimensionﬁnie et dim� Kⁿ�

=n.

Exemple:K_n[X] est de dimensionﬁnie et dim�

K_n[X]�

=n+1.

Exemple:M_n(K) est de dimensionﬁnie et dim�

M_n(K)�

=n².

Exemple :C est de dimension ﬁnie en tant que C-ev et aussi en tant que R-ev. De plus, dimC(C)=1 et dimR(C)=2.

Déﬁnition 7 Droites et plans vectoriels SoitEunK-ev.

1. On appelle droite vectorielle deE, tout sevFdeEvériﬁant dim(F)=1. Autrement dit ce sont les sevFdeEtels queF=Vect(→−u) pour→−u ∈E,−→u �=−→0E.

2. On appelle plan vectoriel de E, tout sevFdeEvériﬁant dim(F)=2. Autrement dit ce sont les sevF deE tels queF=Vect(→−u,−→v) pour �−→u,−→v�

∈E², avec −→u et−→v non coli- néaires.

Exemple:DansR^N,G=�

(un)n∈N∈R^N�

∀n∈N,u_n₊₁=2un

�est une droite vectorielle.

Exemple :Pour (a,b)∈R², F_a,b =�

(un)n∈N ∈R^N�

∀n∈N,u_n₊₂=au_n₊₁+bu_n�

est un plan vectoriel deR^N(d’après le cours sur les suites réelles récurrentes).

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1 Espaces vectoriels de dimensionﬁnie

1.3 Familles de vecteurs en dimension ﬁnie

Théorème 8 Familles génératrices en dimensionﬁnie : extraction d’une base

SoitEunK-ev de dimensionﬁnie etF une familleﬁnie de vecteurs deE, génératrice deE.

Alors :

1. il existe une sous-familleB⊆F qui est une base deE; 2. Card(F)≥dim(E) ;

3. Card(F)=dim(E)⇐⇒Fest une base deE⇐⇒F est libre.

Autrement dit une famille génératrice minimale (ie de cardinal minimal) est libre.

�ATTENTION : ce résultat est faux en avec une famille inﬁnie ! On ne peut pas toujours extraire une base d’une famille génératrice composée d’une inﬁnité de vecteurs.

Corollaire 9 Cas deVect(F)

SiEest unK-ev etF est une familleﬁnie de vecteurs deE, alors : 1. Vect(F) est de dimensionﬁnie et dim�

Vect(F)�

≤Card(F) ; 2. dim�

Vect(F)�

=Card(F)⇐⇒F est une base de Vect(F)⇐⇒Fest libre.

Donc siF=�→−u₁,...,→−u_p�

, alors dim�

Vect�→−u₁,...,→−u_p��

≤p.

Théorème 10 Familles libres en dimensionﬁnie : théorème de la base incomplète SoitEunK-ev de dimensionﬁnie etFune famille libre de vecteurs deE. Alors :

1. il existe une sur-familleF⊆Bqui est une base deE; 2. Card(F)≤dim(E) ;

3. Card(F)=dim(E)⇐⇒Fest une base deE⇐⇒F est génératrice deE.

Autrement dit une famille génératrice minimale (ie de cardinal minimal) est libre.

Si B₀ est une baseﬁxée de E, alors on peut compléterF en une baseBde E, en prenant certains vecteurs de la familleB₀.

Exemple:�

(1,1);(1,−1)�

est une base deR². Exemple:Compléter�

X²,X²+1�

en une base deK₂[X].

Corollaire 11 Base d’un(e) droite/plan vectoriel(le) SoitEunK-ev. Alors :

1. siFest une droite vectorielle deE, tout vecteur−→u �=−→0Eélément deFest une base deF; 2. siFest un plan vectoriel deE, tous vecteurs−→u et→−v non colinéaires et éléments deF

forment une base deF.

(6)

2 Sous-espaces vectoriels en dimension ﬁnie

2.1 Inclusion et dimension

Théorème 12 Sev d’unK-ev de dimensionﬁnie SoitEunK-ev de dimensionﬁnie.

Alors tous ses sevFsont aussi de dimensionﬁnie et vériﬁent : dim(F)≤dim(E).

Démonstration :SoitFun sev deE.

•SiF=�→−0E

�alorsFest de dimensionﬁnie et dim(F)=0≤dim(E).

•SiF�=�→−0E

�. Dans ce cas il existe−→u₁�=−→0E, et donc�→−u₁�

libre dansF.

Si ce n’est pas une base de F alors on prend−→u₂ ∈F tel que→−u₂∉Vect�→−u₁�

, et on obtient

�→−u1,−→u2�

famille libre dansF.

Ainsi de suite, si on a�−→u₁,...,−→u_k�

famille libre deFqui n’est pas une base deFalors on peut trouver→−u_k+1∈Ftel que→−u_k+1∉Vect�−→u₁,...,−→u_k�

, et on obtient�−→u₁,... ,→−u_k,→−u_k+1� libre.

Au bout d’un nombreﬁni d’itérations :

- on obtient une baseﬁnie deF, doncFest de dimensionﬁnie ; - ou dans le pire des cas on arrive à�→−u1,...,−→un

�famille libre dansFavecn=dim(E). Cette famille est aussi libre dansE, et c’est donc une base deEet donc une base deF(ie qu’on est dans le cas oùE=F). Dans ce cas aussiFest de dimensionﬁnie.

CQFD�

Déﬁnition 13 Hyperplan

SoientEunK-ev de dimensionﬁne etFun sev deE.

On dit queFest un hyperplan deE, lorsque dim(F)=dim(E)−1.

Exemple:DansK², les hyperplans sont les droites vectorielles. DansK³, les hyperplans sont les plans vectoriels.

Théorème 14 Inclusion-Dimension SoientEunK-ev etF,Gdeux sev deE.

1. SiGest de dimensionﬁnie etF⊆G, alorsFest de dimensionﬁnie et dim(F)≤dim(G).

2. SiGest de dimensionﬁnie etF⊆G, alors :

F=G⇐⇒dim(F)=dim(G)

�ATTENTION : il n’y a pas de réciproque pour le premier point ! Si dim(F)≤dim(G), on ne peut absolument pas dire queF⊆G. Par exemple, considérerF=Vect��

2ⁿ�

n∈N

�etG= Vect�

(1,0,1);(1,1,0)� .

(7)

2 Sous-espaces vectoriels en dimensionﬁnie

2.2 Rang d’une famille de vecteurs

Le rang d’une famille de vecteurs est déﬁni comme suit.

Déﬁnition 15 Rang d’une famille de vecteurs SoientEunK-ev etF=�→−u₁,...,−→u_p�

une familleﬁnie de vecteurs deE.

On appelle rang deFle nombre entier naturel déﬁni par : rg(F)=dim�

Vect[F]� .

Le rang permet d’étudier l’espace engendré par les vecteurs.

Théorème 16 Propriétés du rang d’une famille de vecteurs SoientEunK-ev etF=�→−u₁,...,−→u_p�

1. rg(F)≤min�

Card(F),dim(E)�

;

2. rg(F)=0⇐⇒ tous les vecteurs deFsont nuls 3. rg(F)=Card(F)⇐⇒F libre ;

4. rg(F)=dim(E)⇐⇒Fgénératrice deE; 5. si Card(F)=dim(E)=n:

rg(F)=n⇐⇒F est une base deE

Pour simpliﬁer les calculs, on dispose des formules suivantes.

Proposition 17 Règles de calcul du rang d’une famille de vecteurs SoientEetFdeuxK-ev etF=�−→u₁,...,−→u_p�

1. Siα�=0 : rg�→−u₁,...,→−u_p₋₁,→−u_p�

=rg�−→u₁,...,−→u_p₋₁,α.−→u_p� . 2. rg�−→u₁,...,−→u_p−1,−→0E

�=rg�−→u₁,...,−→u_p−1� . 3. Si (λ1,...,λ_n−1)∈Kⁿ⁻¹: rg�−→u₁,... ,−−−→u_p−1,−→u_p�

=rg

�

−→u₁,... ,−−−→u_p₋₁,−→u_p+

p�−1 k=1

λ_k.−→u_k

� . 4. Si−→u_p est CL de la famille�−→u₁,...,−→u_p−1�

: rg�−→u₁,...,−−−→u_p−1,−→u_p�

=rg�−→u₁,...,−−−→u_p−1� .

On peut remarquer que ce sont les mêmes propriétés que celles du Vect.

Pour calculer le rang d’une famille de vecteurs, il faut donc extraire deFune base de Vect(F) (tout autre méthode n’est pas au programme).

Exemple:rg�

(1,0,1);(1,1,0);(0,−1,1)�

=2.

(8)

2.3 Somme de deux sous-espaces vectoriels

Déﬁnition 18 Somme de deux parties deE On considèreF₁etF₂deux parties deE.

On appelle somme deF₁etF₂, notéeF₁+F₂, la partie deEsuivante : F₁+F₂=�

−

→x =−u→₁+−→u₂

�−→u₁∈F₁et−u→₂∈F₂

�

On a donc→−x ∈F₁+F₂si et seulement si il existe�−→u₁,−→u₂�

∈F₁×F₂tel que→−x =−u→₁+−→u₂.

En général il n’y pas unicité des vecteurs −→u₁ et−→u₂ tels que−→x =−u→₁+−→u₂, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple:DansR³, on noteF₁=�

(x,y,z)∈R³�

x+y−z=0} etF₂=�

(x,y,z)∈R³� z=0}.

Alors (1,1,1)=(0,1,1)

∈F₁ +(1,0,0)

∈F₂ =(1,0,1)

∈F₁ +(0,1,0)

∈F₂ . On a les cas particuliers suivants.

Proposition 19 On aE+E=E,E+�−→0E

�=�−→0E

�+E=Eet�−→0E

�+�−→0E

�=�−→0E

�.

Théorème 20 Propriétés d’une somme de deux sev On suppose queF₁etF₂sont des sev deE. Alors :

1. F₁+F₂est un sev deE, contenantF₁etF₂;

2. c’est le plus petit sev deEcontenantF_ietF₂, c’est-à-dire que siGest un sev deEvérifant F₁⊆Get etF₂⊆G, alorsF₁+F₂⊆G.

Théorème 21 Famille génératrice d’une somme de deux sev

SoientF₁etF₂deux sev deE. On suppose qu’on aF une famille génératrice deF₁etG une famille génératrice deF₂. AlorsF∪G est une famille génératrice deF₁+F₂:

Vect(F)+Vect(G)=Vect(F∪G)

Exemple:DansR³: Vect�

(1,0,1);(0,1,1)�

+Vect�

(1,0,0);(0,1,0)�

=Vect�

(1,0,1);(0,1,1);(1,0,0);(0,1,0)�

�ATTENTION : ce résultat est faux avec des familles libres, comme le montre le contre- exemple suivant.

Exemple:F =� (1,0,1)

=−→u₁

;(0,1,1)

=−→u₂

�etG =�

(1,0,0)

=−→u₃

;(0,1,0)

=−→u₄

�sont libres (car composées de deux vecteurs non colinéaires), maisF∪G=�−→u₁,u−→₂,−u→₃,−→u₄�

ne l’est plus car :

−→u₁− −→u₂=(1,−1,0)=−→u₃− −→u₄

(9)

Pour avoir de meilleures propriétés, on a besoin d’une notion plus forte : la notion de somme directe.

Déﬁnition 22 Somme directe de deux sev SoientF₁etF₂deux sev deE.

On dit que F₁ et F₂ sont en somme directe, ou que la somme F₁+F₂ est directe, lorsque F₁∩F₂=�−→0E

�.

Dans ce casF₁+F₂est notéeF₁�_F₂_.

Si la somme est directe, on a unicité de la décomposition d’un vecteur en somme d’un vecteur deF₁et d’un vecteur deF₂: c’est en même une caractérisation.

Théorème 23 Première caractérisation d’une somme directe SoientF₁etF₂deux sev deE. Alors :

F₁etF₂sont en somme directe si, et seulement si, tout vecteur−→x ∈F₁+F₂s’écrit de manière unique−→x =→−

f₁+→−

f₂avec→−

f₁∈F₁et→− f₂∈F₂.

On peut restreindre la condition de l’unicité de la décomposition au vecteur nul.

Corollaire 24 Somme directe et décomposition du vecteur nul SoientF₁etF₂deux sev deE. Alors :

F₁etF₂sont en somme directe si, et seulement si :

∀�→− f₁,→−

f₂�

∈F₁×F₂, →− f₁+−→

f₂=−→0 =⇒−→ f₁=−→

f₂=−→0 ie que la seule décomposition de→−0 dansF₁+F₂est−→0 =→−0 +→−0 .

Si la somme est directe, l’union d’une famille libre deF₁et d’une famille libre deF₂donne une famille libre.

Théorème 25 Famille libre d’une somme directe

SoientF₁ etF₂ deux sev deE, en somme directe. Alors l’union d’une famille libre de F₁ et d’une famille libre deF₂donne une famille libre deF₁+F₂.

On en déduit la seconde caractérisation des sommes directes.

Corollaire 26 Seconde caractérisation d’une somme directe SoientF₁etF₂deux sev deE. Alors :

F₁etF₂sont en somme directe si, et seulement si, l’union d’une base deF₁et d’une base de F₂donne une base deF₁+F₂.

Ce résultat est alors vrai pour toutes les bases deF₁etF₂.

(10)

On verra, tout au long de l’année, qu’il est fréquent dans les résultats d’algèbre linéaire, qu’une propriété vraie sur un cas particulier, s’étende automatiquement au cas général (ici : si la propriété est vraie pour une base deF₁etF₂, elle est alors vraie pour toutes les bases de F₁etF₂).

Déﬁnition 27 Sous-espaces vectoriels supplémentaires SoientF₁etF₂deux sev deE.

On dit qu’ils sont supplémentaires dansElorsqueF₁�F₂=E.

�ATTENTION : ne pas confondre avec la notion de complémentaire (qui ne donne pas un sev) !

Théorème 28 Caractérisations des sous-espaces vectoriels supplémentaires SoientF₁etF₂deux sev deE. On a équivalence de :

1. F₁etF₂sont supplémentaires dansE:E=F₁�_F₂_; 2. F₁+F₂=EetF₁∩F₂=�−→0E

�;

3. l’union d’une base deF₁et d’une base deF₂donne une base deE;

4. tout vecteur−→e ∈Ese décompose de manière unique sous la forme→−e =→− f₁+−→

f₂, avec

−

→f₁∈F₁et−→ f₂∈F₂.

Dans ce cas l’union de n’importe quelle base deF₁, avec n’importe quelle base deF₂donne une base deE; on dit qu’on a unebase deEadaptéeà la somme directeE=F₁�_F₂_.

On peut retenir qu’en coupant une base deEen deux sous-famillesB₁etB₂, alorsB₁etB₂ engendrent deux sous-espaces supplémentaires deE(d’après le point 3.).

Exemple:R²=Vect� (1,0)�

�_Vect^�_(0,1)^�_{, donc}_F₁₌_Vect^�_(1,0)^�_et_F₂₌_Vect^�_(0,1)^�_{sont sup-} plémentaires dansR².

Rédaction :Dans la majorité des cas, on utilise le point 4. pour montrer queF₁etF₂sont supplémentaires dansE.

On a donc deux choses à démontrer : l’existence et l’unicité de la décomposition de tout vecteur de E. Il est plus facile commencer par vériﬁer l’unicité de la décomposition (si elle existe), puis de vériﬁer l’existence d’au moins une décomposition (en en donnant un exemple).

On rédige cette démonstration paranalyse-synthèse:

•On montre queF₁etF₂sont deux sev deE. On a doncF₁+F₂⊆E.

•On se donne−→e ∈Eﬁxé quelconque.

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• ANALYSE : on suppose qu’on a trouvé au moins une décomposition de de −→e :

−

→e =−→ f₁+→−

f₂, avec−→

f₁∈F₁et−→ f₂∈F₂.

�→On veut montrer que cette décomposition est unique ; pour cela on cherche à calculer

−

→f₁et−→

f₂en fonction de−→e .

À ce stade, on a montré queF₁etF₂sont en somme directe ; doncF₁�_F₂_⊆_E.

•SYNTHESE :

�→On veut montrer que→−e a au moins une décomposition ; pour cela on utilise les formules obtenues dans la partie analyse.

On déﬁnit donc−→ f₁et→−

f₂en fonction de−→e , à partir des formules obtenues dans la partie analyse. Il reste à vériﬁer que ceci donne bien une décomposition de −→e dansF₁�_F₂_, c’est-à-dire trois points :

(i)−→

f₁∈F₁; (ii)−→

f₂∈F₂et (iii)→− f₁+−→

f₂=−→e.

On alors montré queE⊆F₁�F₂; et donc par double-inclusion :E=F₁�F₂.

La synthèse n’est qu’une simple vériﬁcation, mais elle est indispensable dans le raisonnement, il ne faut donc pas la négliger ! Considérer par exempleE=R^N, F₁=�

(an)n∈N

�∀n ∈ N,a_n=a_n+1+a_n+2�

etF₂=�

(b_n)_n∈N

�∀n∈N,b_n+1+b_n+2=0�

: la somme est directe mais différente deE!

2.4 Somme k ≥ 2 sous-espaces vectoriels

Soitk∈Ntel quek≥2.

Déﬁnition 29 Somme dekparties deE On considèrekparties deEnotésF₁,F₂, ...,F_k.

On appelle somme deF₁,F₂, ... ,F_p, notéeF₁+F₂+···+F_p=

�p k=1

F_k, la partie deEsuivante :

F₁+F₂+ ··· +F_k=

�k j=1

F_j=�

−

→x =−→u₁+−u→₂+ ··· +−→u_k

�−→u₁∈F₁et−→u₂∈F₂et ... et−→u_k∈F_k

�

On a donc→−x ∈F₁+F₂+···+F_k=

�k j=1

F_j si et seulement si il existe�−u→₁,...,−→u_k�

∈F₁×···×F_k tel que→−x =

�k j=1

−→u_j.

De même que dans le cask=2, il n’y a en général pas unicité des vecteurs−→u₁, ...,−→u_ktels que

−

→x =

�k −→u_j.

(12)

Théorème 30 Propriétés d’une somme deksev On suppose queF₁,F₂, ...,F_ksont des sev deE. Alors :

1. F₁+F₂+ ··· +F_p=

�k j=1

F_j est un sev deE, contenant lesF_i, pouri∈ �1,k�;

2. c’est le plus petit sev deEcontenant lesF_i, pouri ∈ �1,k�, c’est-à-dire que siGest un sev deEvérifantF₁⊆Get ... etF_k⊆G, alorsF₁+F₂+ ··· +F_k⊆G.

On peut aussi déﬁnir la notion deksous-espaces en somme directe.

Déﬁnition 31 Somme directe deksous-espaces vectoriels SoientF₁, ...,F_kdes sev deE.

On dit queF₁, ...,F_k sont en somme directe lorsque pour tout→−x ∈F₁+F₂+ ··· +F_k=

�k j=1

F_j,

il existe demanière unique�−→u₁,...,−→u_k�

∈F₁× ··· ×F_ktel que−→x =

�k j=1

−→u_j. Dans ce casF₁+F₂+ ··· +F_kest notéeF₁�_F₂�_···�_F_k₌

�k j=1

F_j

Pourk=2 on retrouve bien la notion de deux sev en somme directe (grâce au théorème 23).

On a les caractérisations suivantes.

Théorème 32 Caractérisations des sommes directes deksev SoientF₁, ...,F_kdes sev deE. On a équivalence de :

1. F₁, ...,F_ksont en somme directe ; 2. Pour tout�−→

f₁,...,−→ f_p�

∈F₁× ··· ×F_p,→−

f₁+ ··· +−→

f_p=→−0 =⇒−→

f₁= ··· =−→ f_p=→−0 ;

3. l’union d’une base deF₁, d’une base deF₂, ... , et d’une base deF_k, donne une base de F₁+F₂+ ··· +F_k.

Ce dernier point est alors vrai pour toutes les bases deF₁,F₂, ...,F_k. On en déduit le corollaire suivant.

Corollaire 33 Critère pour queE=

�k j=1

F_j SoientF₁, ...,F_kdes sev deE.

AlorsE=

�k j=1

F_j si, et seulement si, l’union d’une base deF₁, d’une base deF₂, ..., et d’une base deF_k, donne une base deE.

Ce est alors vrai pour toutes les bases deF₁,F₂, ...,F_k: on dit alors que la base deEobtenue par union de ces bases est une base adaptée à la somme directe.

(13)

2.5 Sommes et sommes directes en dimension ﬁnie

Si B=�→−u₁,...,−→u_p�

et F =�→−v₁,...,v_q�

sont deux familles de vecteurs d’un même espace vectorielE:

B∪C =�−→u₁,...,−→u_p,→−v₁,...,→−v_q� On a donc la formule : Card(B∪C�

=Card(B)+Card(C).

�Attention de ne pas confondre avec la formule d’inclusion/exclusion sur les ensembles : Card(B∪C�

=Card(B)+Card(C)−Card(B∩C�

On commence par les premières formules simples sur la dimension d’une somme de sev.

Théorème 34 Sommes de sev et dimension

SoientEunK-ev, etFetGdeux sev deEde dimensionﬁnie.

1. F+Gest un sev deEde dimensionﬁnie et : dim(F+G)≤dim(F)+dim(G) ;

2. siFetGsont en somme directe, alorsF�_Gest un sev deEde dimensionﬁnie et : dim(F�_G)₌_dim(F)₊_dim(G).

Un résultat fondamental : l’existence de supplémentaires de dimensionﬁnie.

Théorème 35 Existence d’un supplémentaire en dimensionﬁnie

SoitEunK-ev de dimensionﬁnie. Alors tout sevFdeEadmet des supplémentairesGdansE (ieE=F�G), et ils vériﬁent dim(G)=dim(E)−dim(F).

�ATTENTION : il n’y pas unicité d’un supplémentaire mais seulement de sa dimension.

Ce n’est pas au programme d’ECS première année : le résultat est encore vrai en dimension inﬁnie.

De ces deux théorèmes on déduit une formule générale sur la dimension d’une somme de sev.

Théorème 36 Formule de Grassmann

SoientEunK-ev, etFetGdeux sev deEde dimensionﬁnie. On a : dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G)

Démonstration :On sait queFest de dimensionﬁnie et queF∩Gest un sev deF.F∩Ga donc des supplémentaires dansF.

SoitHun supplémentaire de F∩G dansF: F=(F∩G)�H. On a donc dim(H)=dim(F)− dim(F∩G).

(14)

Montrons queF+G=H�_G_:

•il est clair queH+G⊆F+GpuisqueH⊆F. Réciproquement si−→

f ∈Fet→−g ∈G, on peut écrire

−

→f =−→a+−→

b avec−→a ∈F∩Get−→

b ∈H. On obtient→−

f +−→g =−→

b+−→a+→−g ∈H+Gpuisque→−a+−→g ∈G;

•puisqueH⊆F,G∩H=G∩F∩H=�−→0� . On en déduit que :

dim(F+G)=dim(H)+dim(G)=dim(F)−dim(F∩G)+dim(G)

CQFD� Autre résultat important, la dimensionﬁnie donne une nouvelle caractérisation des sev sup- plémentaires.

Théorème 37 Caractérisation des sev supplémentaires

SoientEunK-ev de dimensionﬁnie, etF,Gdeux sev deE. On a équivalence des propositions : 1. FetGsont supplémentaires dansE:E=F�_G_;

2. F+G=EetF∩G=�−→0E

�;

3. l’union d’une base deFet d’une base deGdonne une base deE(c’est alors vrai pour toutes les bases) ;

4. tout vecteur−→e ∈Ese décompose de manière unique sous la forme→−e =→−

f +−→g, avec

−

→f ∈Fet→−g ∈G;

5. E=F+Get dim(E)=dim(F)+dim(G) ; 6. F∩G=�−→0E

�et dim(E)=dim(F)+dim(G).

Exemple :Dans R³, on considère F =Vect[(1,1,1)�

et G ={(x,y,a)∈ R³/ x+y+z = 0} = Vect�

(1,0,−1);(0,1,−1)� .

On a dim(F)+dim(G)=3 etF∩G=�−→0_R³� .

Dans le cas d’une somme directe deksev deE, on a la formule suivante.

Théorème 38 Dimension d’une somme directe deksev deE SoientF₁, ...,F_kdes sev deEen somme directe. On a :

dim

��k j=1

F_j

�

=

�k j=1

dim(F_j)

(15)

3 Exercices

Familles libres, génératrices, bases, dimension

Exercice 1 Les familles suivantes sont-elles des bases deR³? F₁=�

(0,1,2),(1,2,0),(2,0,1)� F₂=�

(1,1,0),(2,0,1),(3,1,1),(1,0,2)� Exercice 2 On considère le sous-espace vectorielEdeR⁴déﬁni par

E=Vect�

(1,−1,3,−3),(2,−2,4,−4),(3,−3,7,−7),(1,−1,1,−1)� . 1. Donner une base et la dimension deE.

2. Déterminer un système d’équations cartésiennes deE.

3. Etablir queE⊂F, oùFest déﬁni parF=Vect�

(1,0,1,−1),(0,1,2,−2),(1,0,0,0),(0,0,−1,1)� . 4. On poseG=Vect�

(1,0,0,1),(1,2,0,0)�

. Vériﬁer queE∩G={0}.

Exercice 3 On noteR^Rl’ensemble des fonctions numériques déﬁnies surR. On pose : E=�

f ∈R^R�

∀x∈R, f(x)=acos(x)+bsin(x)+coù (a,b,c)∈R³�

Montrer queEest unR-espace vectoriel de dimensionﬁnie et donner une base et sa dimension.

Exercice 4 Pourα>0, on noteF_αl’ensemble des fonctions de la forme : x�−→P(x)e^αx+Q(x)e⁻^αx

oùPetQ sont des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 1.

1. Montrer queF_αest unR-espace vectoriel.

2. Déterminer une baseBdeF_αet en déduire sa dimension.

Exercice 5 (Exemples de bases de polynômes) 1. SoientP₁=X²+1,P₂=X²+X+1 etP₃=X²+X. Montrer que (P1,P₂,P₃) est une base deK₂[X].

2. Soitn∈N. Pour toutk∈ �0,n�, on poseP_k=(X+1)^k+1−X^k+1. Montrer que (P₀,...,P_n) est une base deK_n[X].

3. Montrer queF=�

P=aX⁴+(a+b)X�

(a,b)∈R²�

est un sev deEet donner en une base.

4. Soitn∈N. Pour toutk∈ �0,n�, on poseP_k=X^k(X+1)ⁿ⁻^k. Montrer que (P0,...,P_n) est une base deK_n[X].

Exercice 6 1. Montrer que les K-evT_n⁺(K), T_n⁻(K),S_n(Ket A_n(K) sont de dimension ﬁnie et déterminer leur dimension.

2. Si A=((a_{i j}))_1≤i,_j≤n∈M_n(K) on note Tr(A)=

�n k=1

a_kk. On pose aussiH=�

A ∈M_n(K)�

Tr(A)=0�

. Montrer queHest un sev deM_n(K) et déterminer sa dimension.

(16)

Rang d’une famille de vecteurs Exercice 7 Soient�−u→1,...,−→un

�famille de vecteurs deE K-ev, etp∈ �1,n�. Montrer que :

rg�−→u₁,...,−→u_n�

≤rg�−→u₁,... ,−→u_p�

+n−p Sommes directes et sous-espaces supplémentaires

Exercice 8 SoientE=

�

(x₁,... ,xn)∈Kⁿ;

�n k=1

x_k=0

�

etF={(λ,λ,... ,λ); λ∈K}.

1. Montrer queEetFsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deKⁿ. 2. Déterminer une base deEet deF.

Exercice 9 On noteE=K[X] leK-ev des polynômes à coefﬁcients réels.

1. SoitQ ∈K[X]. Montrer queG=�

P∈E/Q|P�

est un sev deEet déterminer en un sup- plémentaire (penser à la division euclidienne).

2. Pour aetb réels distincts, on poseE_a=�

P ∈E/ (X −a)|P�

etE_b=�

P ∈E/ (X −b)|P� . Vériﬁer queE_aetE_bsont des sev deEpuis queE=E_a+E_b(pour cela trouver (λ,µ)∈K² tels queλ(X−a)+µ(X−b)=1).

La somme est-elle directe ?

Exercice 10 On considère leK-evM_n(K) des matrices carrées d’ordren.

On rappelle que S_n(K) désigne l’ensemble des matrices carrées symétriques d’ordren, et queA_n(K) désigne l’ensemble des matrices carrées antisymétriques d’ordren.

Montrer queS_n(K) etA_n(K) sont des sev supplémentaires deM_n(K).

Exercice 11 SoitI un intervalle deRcentré en 0. On noteR^I l’ensemble des fonctions nu- mériques déﬁnies surI. On pose :

A =�

f ∈R^I�

f paire surI�

et B=�

f ∈R^I�

f impaire surI� Montrer queA etBsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deR^I. Exercice 12 On noteR^Rl’ensemble des fonctions numériques.

SoientE=� f ∈R^R

�

f(0)=f

�π 2

�

=f(π)�

etF=Vect�

x�→cos(x),x�→sin(x)� . 1. Montrer queR^R,EetFsont desR-espaces vectoriels.

2. Vériﬁer queR^R=E�_F.

Exercice 13 Déterminer un supplémentaire dansR³deF=Vect�

(0,1,1),(1,0,2)� .

Exercice 14 On se donne un entier natureln ≥3, on noteE leR-espace vectorielR_n[X].

Montrer que F=�

P∈R_n[X]� X³|P�

etG=Vect�

X(X−1),(X−1)(X−2),X(X−2)�

sont des sev supplémen- taires deE.

Exercice 15 On noteEl’ensemble des (un)∈R^Ntelles que :∀n∈N,un+3=un+2+un+1+ 2un,Fl’ensemble des (an)∈R^Ntelles que :∀n∈N,a_n₊₁=2anetGl’ensemble des (bn)∈R^N telles que :∀n∈N, b_n+2=−b_n+1−b_n.

(17)

3 Exercices

1. Vériﬁer queE,FetGsont desR-espaces vectoriels.

2. Déterminer une base et la dimension deFet deG.

3. Déterminer dim(E) et en déduire que :E=F�G. Donner alors une base deE.

4. Soit (un)n∈Nla suite déﬁnie paru₀=1,u₁=0,u₂=2 et :∀n∈N,u_n₊₃=u_n₊₂+u_n₊₁+ 2u_n.

Déterminer l’expression deunen fonction den.

Exercice 16 SoientEunK-ev de dimensionﬁnie,Dune droite vectorielle etHun hyperplan.

SiD�⊆H, alorsDetHsont supplémentaires dansE.

(18)