Chap 31
Applications lin´ eaires en dimension finie
1 Propri´ et´ es des applications lin´ eaires
1.1 Rappel : Image et noyau
1.2 Image d’une famille par une application lin´eaire Th´eor`eme.
Soit f PLpE, Fq, et pxiq1¤i¤n une famille li´ee d’´el´ements de E. Alors pfpxiqq1¤i¤n est une famille
li´ee d’´el´ements deF.
Exemple.
Th´eor`eme.
Soitf PLpE, Fq, etpxiq1¤i¤nune famille libre d’´el´ements deE.Sif estinjective, alorspfpxiqq1¤i¤n
est une famille libre d’´el´ements deF.
Th´eor`eme.
Soit f P LpE, Fq, et pxiq1¤i¤n une famille g´en´eratrice de E. Alors pfpxiqq1¤i¤n est une famille
g´en´eratrice de Imf.
Corollaire.Soit f PLpE, Fq, et pxiq1¤i¤n une famille g´en´eratrice de E. Sif est surjective, alorspfpxiqq1¤i¤n
est une famille g´en´eratrice deF.
Corollaire. Soitf PLpE, Fq, etpxiq1¤i¤n une base deE. Sif est un isomorphisme, alorspfpxiqq1¤i¤n est une base de F.
2 Applications lin´ eaires en dimension finie
2.1 D´etermination d’une application lin´eaire
Th´eor`eme (de d´etermination d’une application lin´eaire).
Soit E etF deux e.v. surK.
Soit pe1, , epqune base deE.
Soit py1, , ypq une famille quelconque deF.
Alors il existe une unique application lin´eairef PLpE, Fq telle que
fpeiq yi@iP t1, , pu
De plus, py1, , ypqest libre ðñ f est injective
py1, , ypqest g´en´eratrice ðñ f est surjective
py1, , ypqest une base ðñ f est bijective
Remarque.
Corollaire. Soitf PLpE, Fq, avec E e.v. de dimension finie. Les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalents :
(i) f est bijective
(ii) l’image parf de toute base de E est une base deF
(iii) il existe une base de E dont l’image parf est une base deF
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2.2 Rang d’une application lin´eaire
D´efinition. Soit E et F deux e.v. de dimension finie. Soit f P LpE, Fq. Alors Imf est un s.e.v. de F. Sa
dimension est appel´ee derang de f et not´ee rgf.
rgf dim Imf
Remarque.
Propri´et´e. rgf rgloooooooooooomoooooooooooonpfpe1q, , fpenqq
d´efini au chap. pr´ec´edent
Remarque.
Th´eor`eme (du rang).
Soit E etF deux e.v. de dimension finie sur K, etf PLpE, Fq. Alors
dim Imf dim Kerf dimE
Donc en particulier rgf dimEdim Kerf.
Remarque. On montre en fait que Imf est isomorphe `a tout suppl´ementaire de Kerf dans E.
E f F
g : x 7→ f ( x )
≃
⊕
G ⊕ Ker(f )
Im(f )
0
Corollaire. Soit E et F deux e.v. de mˆeme dimension finie n et f P LpE, Fq. Les propri´et´es suivantes sont
´equivalentes : (i) f injective (ii) f surjective
(iii) f bijective
(iv) rgf n
(v) Kerf t0Eu
Remarque.
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31.1SoitEetFdeuxespacesvectorielssurKdedimensionfinie. SoitfPLpEqfix´e.Ond´efinituneapplicationΠsurLpE,Fqpar: @gPLpE,Fq,Πpgqgf (a)D´emontrerqueΠPLpLpE,Fqq. (b)ComparerImΠpgqetImg. (c)ComparerKerΠpgqetKerf. (d)MontrerquepourtoutgPLpE,Fq rgpΠpgqq¤minprgf,rggq aldimfinie_1.tex 31.2SoitEunespacevectorieldedimension2surR;soitpe1,e2q unebasedeE.SoitfPLpEqtellequefpe1q0Eetfpe2qae2o`u aPR . (a)D´emontrerqueKerfetImfsontsuppl´ementairesdansE. (b)fest-ilunprojecteur? aldimfinie_2.tex 31.3SoitEunespacevectorieldedimensionfiniesurK,et fPLpEq.D´emontrerque: EKerf`ImfðñImffImf aldimfinie_3.tex 31.4SoitEetFdeuxespacesvectorielsdedimensionfinie,uet vPLpE,Fq. (a)D´emontrerqueImpuvqImuImv.End´eduireque rgpuvq¤rgurgv (b)D´emontrerquergpvqrgpvq.D´eduirealorsde(a) |rgurgv|¤rgpuvq¤rgurgv (c)SionsupposeenplusqueEF,uv0LpEqetuvbijective, d´emontrerquergurgvdimE.
aldimfinie_4.tex 31.5SoitaPRetnPN.Onconsid`ereERnrXsetFtPP Et.q.rPpaq0u.MontrerqueFestunsous-espacevectorieldeE,en d´eterminerladimensionetunebase.aldimfinie_5.tex 31.6SoitEunespacevectorielsurKdedimensionfinien. (a)SoituPLpEq,soitpe1,,epqunebasedeKeru.D´emontrer qu’onpeutformer`apartirdecettefamillepe1,,epqunebase deEenlacompl´etantpardesvecteursdontlesimagesparu formentunebasedeImu. (b)Compl´eteralorscettebasedeImupourformerunebasedeE. (c)Construiredeuxautomorphismesvetwtelsqueuvw. aldimfinie_6.tex 31.7SoitEunespacevectorielsurKdedimensionfinie.SoitH unsous-espacevectorieldeEetfPLpEq.D´emontrerque HfpHqùñHfpHq Trouveruncontre-exemplepourladimensioninfinie,parexempledans RrXs.aldimfinie_7.tex 31.8SoitEespacevectorieldedimensionfiniesurKetfunen- domorphismedeEderang1.Montrerqu’ilexisteunscalaireaPK telquef2 af.aldimfinie_8.tex 31.9SoitE1 unespacevectorieldedimension3debasepe1,e2,e3q. Soitpf1,f2,f3,f4qlafamilledevecteursdeE1 telleque: f12e1e23e3 f2e12e2 f3e13e25e3 f45e14e26e3 SoitEunespacevectorieldedimension4debasepa1,a2,a3,a4q.Soit ϕPLpE,E1 qtellequeϕpaiqfip@i1,2,3,4q.D´eterminerlerang deϕ,sonnoyauetsonimage.
´ Ecrirelamatricedeϕdanslesbases pa,a,a,aqetpe,e,eq.aldimfinie_9.tex1234123 31.10SoitEespacevectorielsurK.Onsupposequ’ilexiste 2 pf,gqPLpEqtelquefggfId.E
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(a)D´emontrerquepourtoutnPN ,onafgn gn fngn1 . (b)End´eduirequepourtoutnPN,lafamillepgk q0¤k¤nestlibre. (c)QuediredeladimensiondeLpEq,puiscelledeE? aldimfinie_10.tex 31.11OnmunitER3 d’unebasequelconquenot´eeB pe1,e2,e3q.SoitfPLpR3 qd´efiniepar fpe1q? 2e1e3;fpe2q? 2e2e3;fpe3qe2e1 (a)Donnerl’imageparfd’unvecteurdecoordonn´ees x y zdansla baseBdirectement,puisenutilisantlesmatrices. (b)D´eterminernoyauetimagedef.Donnerlerangdef. (c)SoitHλtuPEt.q.fpuqλuupλPRq.MontrerqueHλest unsous-espacevectorieldeE.(Cettepropri´et´eestvraiepour touteapplicationlin´eairef) (d)D´eterminerlesvaleursdeλpourlesquellesHλt0Eu,etpour cesvaleursunebasedeHλ. aldimfinie_11.tex 31.12SoitnPN etA1XX2 X3 .Soitl’application f:RnrXsÑRrXs PÞÑAP1 PA1
(a)D´eterminerunmajorantNdudegr´edefpPqlorsquePd´ecrit RnrXs. (b)D´emontrerquefestuneapplicationlin´eairedeRnrXsdans RNrXs. (c)D´eterminerlenoyaudefetsonrang. (d)
´ EcrirelamatricedefdanslesbasescanoniquesdeRrXsetn RrXs.N aldimfinie_12.tex 31.13Soitϕ:RrXsÑRrXsl’applicationd´efinieparnn 1 ϕpPqPP.MontrerqueϕestunautomorphismedeRrXsetn 1 exprimerϕ.aldimfinie_13.tex 31.14SoitEetFdeuxespacesvectorielsdedimensionfinie.Soit fPLpE,FqetgPLpF,Eqtellesque: fgffetgfgg (a)MontrerqueImgetKerfsontsuppl´ementairesdansE,etque ImfetKergsontsuppl´ementairesdansF. (b)Montrerquef,g,fgetgfontmˆemerang. aldimfinie_14.tex
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