L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚6
Applications lin´ eaires et matrices
Exercice 86 : D´ecrire toutes les applications lin´eaires deRdansR.
Exercice 87 : Parmi ces applications deR3 dansR2, d´eterminer celles qui sont lin´eaires.
f1:
x y z
7→
0 2x−z
f2:
x y z
7→
z xy
f3:
x y z
7→
z+ 1 x+y−z
f4:
x y z
7→
x+ 3y 2x−7y−z
f5:
x y z
7→
x2+y−z 7x+ 3y−5z
f6:
x y z
7→
x−y z−y
F Exercice 88 : SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie (K=RouC). Soit ϕun endomorphisme de E. Montrer l’´equivalence :
Ker(ϕ) = Ker(ϕ2) ⇐⇒ Im(ϕ)∩Ker(ϕ) ={0}.
Exercice 89 : Soitf l’application d´efinie par : f:R2→R2,
x y
7→
x+ 2y x+ 3y
. 1. Montrer quef est lin´eaire.
2. Donner la matriceM def relativement `a la base canonique deR2. 3. L’applicationf est-elle surjective ?
4. D´eterminer Ker(f) et pr´eciser sif est injective.
Exercice 90 : Soitf l’application d´efinie par :
f:R2→R3, x
y
7→
x−y x+y 2y−x
.
1. Montrer quef est lin´eaire.
2. Donner la matriceM def relativement aux bases canoniques deR2 et R3. 3. L’applicationf est-elle surjective ?
4. D´eterminer Ker(f) et pr´eciser sif est injective.
F Exercice 91 : SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie (K=RouC). Soit ϕun endomorphisme de E. Montrer les assertions suivantes.
1. ϕ2=Id ⇐⇒ Ker(ϕ−Id)⊕Ker(ϕ+Id) =E
1
2. ϕ2=ϕ =⇒ Ker(ϕ)⊕Im(ϕ) =E 3. ϕ2=ϕ ⇐⇒ Ker(ϕ)⊕Ker(ϕ−Id) =E
Exercice 92 : Soitf l’application d´efinie par :
f:R2[X]→R2[X], P 7→XP0−P.
1. Montrer quef est lin´eaire.
2. D´eterminer Im(f). L’applicationf est-elle surjective ? 3. D´eterminer Ker(f). L’applicationf est-elle injective ?
Exercice 93 : Soitf l’application d´efinie par : f:M2(R)→ M2(R),
a b c d
7→
a−b a−c
d d
. 1. Montrer quef est lin´eaire.
2. D´eterminer une base de Im(f).
3. D´eterminer Ker(f).
Exercice 94
1. Soitf l’endomorphisme deR3 canoniquement associ´e `a la matrice :
M =
2 −14 2
1 −4 0
1 −10 2
.
(a) D´eterminer une base et la dimension de Ker(f).
(b) D´eterminer une base et la dimension de Ker(f2).
(c) D´eterminer Ker(f3).
2. Plus g´en´eralement, soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE (K=RouC). Montrer que : {0} ⊂Ker(f)⊂Ker(f2)⊂Ker(f3).
Exercice 95 : On consid`ere 3 r´eelsa, b, cet la matrice :
A=
0 0 a
1 0 b
0 1 c
.
1. `A quelle condition la matrice Aest-elle inversible ?
2. Soitf l’endomorphisme deR3 canoniquement associ´e `a A. Montrer que l’endomorphisme deR3: g=f3−cf2−bf−a Id
est nul. (On pourra calculer les images des vecteurs e1, e2 et e3 de la base canonique deR3 par l’endo- morphismeg.)
3. En d´eduire une expression deA−1en fonction deAlorsqueA est inversible.
4. D´eterminer une base de Ker(f) lorsqueA n’est pas inversible.
2
Exercice 96 : SoitEunK-espace vectoriel de dimension 4 (K=RouC). Soit E= (e1, e2, e3, e4) une base de E. On d´efinit l’endomorphismeϕdeE par :
ϕ(e1) =e2 ; ϕ(e2) =e3 ; ϕ(e3) =e4 ; ϕ(e4) =e1. 1. Montrer sans calcul queϕest un isomorphisme deE.
2. D´eterminer la matriceAdeϕdans la baseE.
3. Calculer la bijection r´eciproque deϕ. En d´eduire la valeur deA−1.
F Exercice 97 : SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien≥1 (K=RouC). Soitϕun endomorphisme deE. On suppose qu’il existensous-espaces vectorielsF1, . . . , Fn deEtels que :
(1) ∀i ∈ {1, . . . , n} dim(Fi) =i (2) ∀i ∈ {1, . . . , n−1} Fi⊂Fi+1
(3) ∀i∈ {1, . . . , n} ϕ(Fi)⊂Fi
Montrer qu’il existe une baseB deEtelle que la matrice deϕdans la baseBsoit triangulaire sup´erieure.
Exercice 98 : Soienta, b, c∈R. D´eterminer le rang de la matrice : M =
1 1 1
b+c c+a a+b
bc ca ab
.
Exercice 99 : SoitAla matrice d´efinie par : A=
1 3 0 1
et soitϕl’application d´efinie par :
ϕ:M2(R)→ M2(R), M 7→AM−M A.
1. Montrer queϕest lin´eaire.
2. D´eterminer la matrice deϕdans la base canonique deM2(R).
3. L’endomorphismeϕest-il injectif, surjectif ? 4. D´eterminer Im(ϕ) et Ker(ϕ).
F Exercice 100 : SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien(n≥1) et soitF unK-espace vectoriel de dimension finiem(m≥1) (K=RouC).
1. Montrer qu’il existe une application lin´eaire injectiveϕ:E→F si et seulement sin≤m.
2. Montrer qu’il existe une application lin´eaire surjectiveϕ: E→F si et seulement sim≤n.
3. Montrer qu’il existe un isomorphismeϕ:E→F si et seulement sin=m.
Exercice 101 : SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien(n≥1) (K=RouC). Soitf un endomor- phisme deE. Montrer que l’on a l’´equivalence :
Im(f) = Ker(f) ⇐⇒ (f◦f = 0 etn= 2 dim(Im(f)).
F Exercice 102 : SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien(n≥1) (K=RouC). Soitf un endomor- phisme deE tel qu’il existe un entierk >1 tel quefk = 0 (f est ditnilpotent).
3
1. Montrer quef n’est pas bijective. Peut-on en conclure qu’elle n’est ni injective, ni surjective ? 2. Soitple plus petit entier tel quefp= 0 et soitu0∈E tel quefp−1(u0)6= 0.
(a) Montrer que le famille (u0, f(u0), . . . , fp−1(u0)) est une famille libre deE.
(b) En d´eduire quep≤n.
Exercice 103
Soitϕl’application d´efinie par :
ϕ:R2→R2, x
y
7→
−2x+ 6y
−2x+ 5y
.
On noteCanR2 la base canonique deR2.
1. Donner la matriceAdeϕdans la baseCanR2. 2. Donner la matrice deϕ2dans la baseCanR2. 3. Soitf1=
2 1
et f2= 3
2
. Montrer queB= (f1, f2) est une base deR2. 4. Donner la matriceD deϕdans la baseB.
5. Donner la matrice deϕ2dans la baseB.
6. On rappelle que l’application identit´e deR2, not´ee Id, est d´efinie parId:R2→R2, u7→u. Calculer la matriceP = Mat(Id,B,E).
7. Justifier, sans calcul, queP est inversible.
8. Montrer queA=P DP−1. 9. En d´eduireAn pour toutn∈N∗.
Exercice 104
1. Soit Φ l’application d´efinie par :
Φ :R2[X]→R2[X], P 7→
Φ(P) :R→R, x7→
Z 1 0
P(x+t)dt
. (a) Montrer que Φ est lin´eaire.
(b) Trouver la matrice de l’application Φ dans la base canonique deR2[X].
(c) Φ est-elle bijective ? 2. Soit Ψ l’application d´efinie par :
Ψ : R2[X]→R2[X], P 7→P−P0 2 +P00
12. (a) Prouver que Ψ est lin´eaire.
(b) Calculer Φ◦Ψ.
(c) En d´eduire Φ−1.
4
