Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Fiche de TD num´ero 5. Applications lin´eaires, matrices.
Exercice 1 Produit de matrices.
Calculer, lorsque cela est possible, le produit AB, pour :
A=
1 2 3 4 5 6
,
1 2 3 4 5 6
, 1 2 3 4 5 6 ou
1 2 3 4 5 6
,
etB =
−1 0 1
,
1 −1
2 0
,
1 −1
−2 0
0 2
ou −1 0 2 .
Exercice 2 Une loi d’´evolution.
(1) Montrer que le vecteur (xn, yn) suit la loi d’´evolution suivante : xn+1
yn+1
= 1 1
1 2 xn
yn
.
Dans la suite on pose A= 1 1
1 2
. (2) V´erifier la relation suivante :
A2= 3A− 1 0
0 1
Exprimer de mˆeme A3 en fonction deA etI2 = 1 0
0 1
.
(3) Vrifier que si xA+yI2 =x0A+y0I2 alors x=x0 ety=y0.
(4) En dduire que pour tout entier n ≥ 2 il existe un unique couple d’entiers (an, bn) tels que An=anA−bnI2. Donner une formule de rcurrence permettant de calculer (an+1, bn+1) en fonction de (an, bn). Ecrire la relation obtenue sous forme matricielle.
Exercice 3 Noyau et image d’une matrice.
On consid`ere la matrice
A=
1 1 −1
1 2 1
2 2 −2
−2 −1 4
D´eterminer le rang deA, une base de Im(A) et une base de Ker(A).
Mˆemes questions avec
B=
1 1 2 −2
1 2 2 −1
−1 1 −2 4
.
Exercice 4 Sous-espaces associs un systme linaire.
1
2
On considre le systme linaire
(S)
2x+y−2z = 0 x+ 3y+z = 0 3x−y−5z = 0
(1) Montrer que l’ensemble des solutions de (S) est un sous-espace vectoriel, et en dterminer une base.
(2) Soit E l’ensemble des vecteurs u tels que l’´equation AX = U admet une solution (o`u U d´esigne la colonne correspondant `a u). Montrer que E est un sous-espace vectoriel, et en donner une base.
Exercice 5 Diff´erentes matrices d’une mˆeme application lin´eaire.
On consid`ere l’applicationf :R3 →R2 d´efinie par
f(x, y, z) = (x+y−z, x−y+ 2z) (1) V´erfier quef est une application lin´eaire.
(2) Donner la matrice def :R3 →R2 quand on munitR3etR2 de leurs bases canoniquesB3,B2. (3) D´eterminer rg(f), une base de Im(f) et une base de Ker(f).
(4) Montrer qu’il existe des vecteurs u1, u2, u3 de R3 tels que f(u1) = (1, ,0), f(u2) = (0,1) et f(u3) = (0,0). V´erifier que (u1, u2, u3) est une base B0 de R3, puis d´eterminer Mat(f,B0→ B2).
(5) V´erifier queB00= ((1,−1),(2,3)) est une base deR2, puis d´eterminer Mat(f,B3 → B00).
Exercice 6 Diff´erentes applications lin´eaires ayant mˆeme matrice.
On se donne d’une part la matrice A =, et d’autre part les suitesB =,B0 =. Enfin on note B3 la base canonique deR3.
Soient f :R3 → R3, g :R3 → R3, h:R3 → R3 les applications lin´eaires telles que Mat(f,B3 → B) =A,Mat(g,B3→ B0) =A,Mat(h,B → B0) =A.
Pour (x, y, z)∈R3 calculerf(x, y, z), g(x, y, z) et h(x, y, z).
Comparer rg(f),rg(g) et rg(h), puis les dimensions de Ker(f),Ker(g) et Ker(h).
Exercice 7
D´eterminer les valeurs du param`etreapour lesquelles le noyau et l’image sont suppl´ementaires.
Exercice 8
Exercice 9 Matrice inversible, calcul de l’inverse.
On consid`ere la matrice carr´ee
A=
1 −1 1 0
1 2 0 −1
0 1 −1 2
2 −1 1 0
En r´esolvant l’´equation
A
x y z t
=
a b c d
montrer que A est inversible et donner son inverse.
