Applications lin´ eaires

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ASI -

Espaces vectoriels

(a) Montrer que sixest un vecteur de IR² , alorsF={λx |λ∈IR}est un sous-espace vectoriel de IR².

(b) Montrer que sixet y sont deux vecteurs de IR³ , alorsG={ λx+ µy |λ, µ∈IR}est un sous-espace vectoriel de IR³.

(c) Montrer que la somme de polynˆomes et le produit d’un polynˆome par un nombre r´eel donnent `a Pn (polynˆomes de degr´e inf´erieur ou

´egal `an`a coefficients r´eels) une structure d’espace vectoriel sur IR.

(d) Montrer que l’ensemble des polynˆomes de degr´e exactement ´egal `an n’est pas un espace vectoriel.

(e) Montrer que l’espace des polynˆomes Pk est un sous-espace vectoriel dePn sik < n.

(f) Montrer que la famille {1, x, x², ..., xⁿ} de polynˆomes dePn est une base dePn.

Exercice 2 :

Applications lin´ eaires

(a) Montrez que les applications suivantes sont lin´eaires. Calculer leur noyau et leur image :

- u: IRⁿ −→ IR, d´efinie paru(x) = a1x1+a2x2+...+anxn o`u a1, a2, ..., an sont des r´eels donn´es.

- v qui `a un polynˆome associe sa d´eriv´ee : v: Pn −→Pn

p 7−→v(p) =p⁰

Donnez les matrices associ´ees `a ces applications lin´eaires dans la base cannonique.

(b) SoientF et Gdeux sous-espaces vectoriels deE tels queE=F+G et F∩G={0}. Montrez que six∈E, alors il existe deux vecteurs uniques y ∈ F et z ∈ F tels que x = y+ z. Soit l’application u:E−→F telle queu(x) =y :

- Montrez que uest une application lin´eaire.

- Calculez le noyau et l’image de u.

- Donnez leur dimension et v´erifier le r´esultat dimE= dim(Ker(u))+

dim(Im(u)) Exercice 3

Calcul matriciel

(a) Soit A la matrice associ´e `a une application lin´eaire de IR<sup>k</sup> dans IR<sup>n</sup> et B la matrice associ´e `a une application lin´eaire de IR^p dans IR^k. Quelles sont les dimensions deA, deB et deC=AB?

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(b) SoitAune matrice associ´e `a une application lin´eaire de IR^k dans IRⁿ, y un vecteur de IRⁿ et z un vecteur de IR^k. Que repr´esentent Az et y^>A. Que valent leurs co´efficients.

(c) Soient y et z deux vecteurs de IR^k. Que repr´ese y^>z. Que valent leurs co´efficients.

(d) Soienty un vecteur de IRⁿ et zun vecteur de IR^k. Que repr´esentent yz^>. Que valent leurs co´efficients.

(e) Soit Ala matrice associ´e `a une application lin´eaire de IR^k dans IRⁿ. Soit {e1, e2, ..., em} la base cannonique de IR^k et {f1, f2, ..., fn} la base cannonique de IRⁿ. Que repr´esententAei et f_j^>A?

(f) SoitD une matrice diagonale de dimension (n, n). SoitAla matrice associ´e `a une application lin´eaire de IR<sup>k</sup> dans IR<sup>n</sup> et B la matrice associ´e `a une application lin´eaire de IRⁿ dans IR^k. Que repr´esente DAetBD ?

(g) Soit A la matrice carr´ee r´eguli`ere associ´e `a une application lin´eaire de IRⁿ dans lui mˆeme. Montrez que le calcul de l’inverse A⁻¹ deA se ram`ene `a la r´esolution densyst`emes d’´equations lin´eaires chacun de taillenet de la formeAx=b, ou l’on pr´ecisera le rˆole dexet de b.

(h) soity un vecteur de IRⁿ et P la matrice suivante : P =I−yy^>

y^>y

A quoi correspond l’application lin´eaire d´efinie parP ?

(i) SoitAla matrice associ´e `a une application lin´eaire de IR^k dans IRⁿ. Montrez que les matricesAA^> etA^>Asont des matrices sys´etriques.

Quelle est leur dimension ?

(j) Soit E un espace vectoriel muni de la base E ={e1, e2}. Soit F = {f1=e1+e2, f2= 2e1−e2}.

• DonnerP la matrice de passage d’un vecteur deE de la baseE

`

a la baseF

• soit u une application lin´eaire de E vers lui mˆeme d´efinie par u(e1) =e1+ 3e2;u(e2) = 2e1−e2.

– quelle est la matriceAassoci´ee `a udans la baseE – quelle est la matriceB associ´ee `a udans la baseF – calculezP⁻¹AP

Exercice 4

Rotation

On consid`ere la rotation d’un angleθdes vecteurs dans le plan (a) Montrer que l’application est lin´eaire,

(b) Quel est son noyau, quelle est son image ?

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(c) Montrer qu’elle est bijective,

(d) Donner l’application inverse et en d´eduire qu’elle est lin´eaire et bi- jective,

(e) Donnez la matrice ´equivalente et son inverse dans la base cannonique de IR²,

(f) Calculez les valeurs propres de cette matrice,

(g) Montrez, en utilisant le produit de matrices, que la compos´ee de deux rotations planes d’anglesθ₁etθ₂est une rotation plane d’angle θ₁+θ₂.

Exercice 5

Matrice triangulaire

SoitLune matrice triangulaire inf´erieure, associ´e `a une application lin´eaire de IRⁿ dans lui mˆeme.

(a) Montrez que det(L) =

n

Y

i=1

`ii,

(b) quel est le d´eterminant et la valeur propre de la matrice identit´e ? (c) Montrez que le produit de deux matrice triangulaires inf´erieures est

aussi une matrice triangulaire inf´erieure.

(d) Supposons que L soit r´eguli`ere. Soit b un vecteur de IR<sup>n</sup> tel que b<sub>i</sub>= 0,∀i < k. Montrez que la solutionxdu syst`eme lin´eaireLx=b est telle que :







xi= 0; ∀i < k xk= bk

`kk

(e) En d´eduire que l’inverse d’une matrice triangulaire inf´erieure est elle mˆeme une matrice triangulaire inf´erieure. Quel est la forme des ter- mes diagonaux de cette inverse ?

Exercice 6

Matrice de permutation

Soitσ une permutation de{1,2, ..., n} et ul’application lin´aire telle que u(ei) =e_σ(i).

(a) Montrer que la matriceP de l’applicationuest telle quepij =δ_iσ(j) et queP⁻¹=P^>

(b) Montrez que la matriceB=P Aest la matriceA dont les lignes ont

´et´e permut´ees suivant la permutation σ. Qu’en est-il de la matrice C=AP