Formulaires: Les applications lin´ eaires

Formulaires: Les applications lin´ eaires

Notion Pour Signification

Rang Famille Dimension de l’espace engendr´e par cette famille Rang Matrice Dimension de l’espace engendr´e par ses vecteurs colonnes

Rang Syst`eme Rang de la matrice associ´ee

Rang Application lin´eaire Dimension de son espace image

Card Famille Son nombre d’´el´ements

Card Espace vectoriel Son nombre d’´el´ements (donc +∞ ou 1) Dim Espace vectoriel Nombre d’´el´ements d’une de ses bases

D´ efinition 1:

• On note L(G, H) l’ensemble des applications lin´eaires de G dans H.

• Les applications lin´eaires de G dans Ksont appel´ees desformes lin´eaires deG.

• Les applications lin´eaires de G dans G sont appel´ees des endomorphismes de G, L(G) est leur ensemble.

• Les applications lin´eaires bijectives de G dans H sont appel´ees des isomorphismes. On note GL(G, H) leur ensemble.

• Les applications lin´eaires bijectives de G dans G sont appel´ees des automorphismes de G. On note GL(G) leur ensemble.

• L’applicationid_G

(G →G

x 7→x est l’application identit´e de G.

• L’application h_α

(G →G

x 7→αx avec α un scalaire est l’homoth´etie vectorielle de rapport α deG.

Proposition 2:

^{Soit f :G → H} une application. f est une application lin´eaire si et seulement si :

∀(x, y, λ)∈G²×K, f(λx+y) =λf(x) +f(y).

+ Mise en garde :

Attention, quandf est une application lin´eaire,f² n’est pas f ×f mais f ◦f.

D´ efinition 3:

^{Ker(f) est {x∈Gtel que f(x) = 0}H}, Ker(A) est X ∈ M_n,1(K) tel que A×X = 0M_n,1(K) .

1

Proposition 4:

• Ker(f) est un sous-espace vectoriel de G, l’espace de d´epart.

• f est injective si et seulement si Ker(f) est {0_G}.

Proposition 5:

^{Si (e}1, e₂,· · ·, e_m) est une base (note : famille g´en´eratrice suffit) deG, l’espace de d´epart, Im (f) est Vect (f(e₁), f(e₂),· · ·, f(e_m)).

Proposition 6:

Une application lin´eaire est caract´eris´ee par l’image qu’elle donne d’une base. Une application lin´eaire est aussi caract´eris´ee par la donn´ee d’une matrice associ´ee.

Proposition 7:

Soit f un ´el´ement de L(E, F). On note (c1, . . . , cn) une base de E et F la famille (f(c₁), . . . , f(c_n)).

• F est libre si et seulement si f est injective.

• F est g´en´eratrice de F si et seulement sif est surjective.

• F est une base de F si et seulement si f est un isomorphisme.

Proposition 8:

^{Soit f} une application lin´eaire deE dans F. Soient B une base deF et C une base de E.

• Soit x un vecteur de E, on a : MatB(f(x)) = MatC,B(f)×MatC(x).

• Soient g une application lin´eaire de E dans F et λ un scalaire. On a :

MatC,B(f +g) = MatC,B(f) + MatC,B(g) et MatC,B(λf) =λMatC,B(f).

• Soient g une application lin´eaire de T dans E (avecT espace vectoriel de dimension finie) etD une base deT, MatD,B(f ◦g) est MatC,B(f)×MatD,C(g).

• MatC,B(f) est inversible si et seulement si f est un isomorphisme. Si tel est le cas alors : Mat_B,C(f⁻¹) = (Mat_C,B(f))⁻¹.

D´ efinition 9:

^{Soit f} une application lin´eaire de E dans G. On appelle rang de f, et on note rang(f), la dimension du sous-espace vectoriel Im (f) de G. On peut prouver que c’est le rang de n’importe quelle matrice associ´ee `af.

Th´ eor` eme 10:

^{Soit f} une application lin´eaire de F dans G. rang(f) et dim(F) sont reli´es par la relation suivante : dim(F) = rang(f) + dim(Ker(f)).

Proposition 11:

^{Soit f} une application lin´eaire de E dans F. On a :

• rang(f)6min(dim(F),dim(E)).

• rang(f) = dim(E) si et seulement si f est injective.

• rang(f) = dim(F) si et seulement si f est surjective.

• rang(f) = dim(E) = dim(F) si et seulement si f est bijective.

Proposition 12:

Soit Aune matrice d’ordre n.A est inversible si et seulement si son rang vaut n.

2