S TRUCTURE D ’ ESPACE VECTORIEL

S TRUCTURE D ’ ESPACE VECTORIEL

Dans tout ce chapitre,Kest l’un des corpsRouCetIest un ensemble non vide quelconque. Tous les résultats présentés demeurent cela dit vrais sur un corpsKquelconque.

La structure d’espace vectorielest un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes et les anneaux. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes et les anneaux, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout sur les espaces vectoriels en fin de spé — j’exagère un peu. La théorie mathématique des espaces vectoriels s’appelle l’algèbre linéaire. Soyez les bienvenus, c’est parti !

1 E SPACES VECTORIELS ET COMBINAISONS LINÉAIRES 1.1 E

Définition (Espace vectoriel) On appelleK-espace vectorielouespace vectoriel surKtout triplet(E,+,·)vérifiant les propriétés suivantes :

— (E,+)est un groupe commutatif dont l’élément neutre est noté 0_E ou 0 et appelé levecteur nul de E,

— ·est une application deK×EdansE. À partir d’un élémentλdeKet d’un élémentxdeE,·fournit un élément deEnotéλ·xou plus simplementλx. Par définition, cette application·doit satisfaire les propriétés suivantes :

−→ pour toutx∈E: 1·x=x,

−→ pour tousx,y∈Eetλ∈K: λ·(x+y) = (λ·x) + (λ·y),

−→ pour tousx∈Eetλ,µ∈K: (λ+µ)·x= (λ·x) + (µ·x),

−→ pour tousx∈Eetλ,µ∈K: λ·(µ·x) = (λµ)·x.

Les éléments d’un espace vectorielEsont appelés desvecteurs. L’application·, qui n’est pas une loi interne surEpuisqu’à travers elle des éléments deKagissent sur des vecteurs, est qualifiée deloi externe. En tant qu’ils agissent via·sur les vecteurs deE, les éléments deKsont appelés desscalaires. La loi+est appeléeadditionet la loi·multiplication par un scalaire. Le corpsKest qualifié decorps de basepourE.

Les mathématiciens ont introduit la structure d’espace vectoriel, monstrueuse au premier abord, parce qu’ils ont remarqué queCETTE STRUCTURE EST PRÉSENTE PARTOUT EN MATHÉMATIQUEScomme nous allons le voir dans un instant. Dans ces conditions, une théorie s’imposait.

Pourquoi ce nom d’« espacevectoriel» ? Pourquoi parler devecteursen un sens aussi abstrait ? Réponse : les règles de la définition précédente sont exactement les règles classiques auxquelles les vecteurs du plan et de l’espace nous ont habitués.

Le choix du mot « vecteur » va nous permettre de visualiser géométriquement une multitude d’objets — matrices, fonctions, suites, polynômes. . . — qui ne sont pas des vecteurs au sens où nous avons employé ce mot jusqu’ici, mais qui ont exactement les mêmes règles d’usage. Il est très important de se représenter les espaces vectoriels, même les plus abstraits, comme des mondes géométriques semblables au plan ou à l’espace. La pertinence d’une telle représentation sera plus claire quand nous aurons un peu avancé dans la théorie.

La tradition veut qu’on ne met pas de flèches sur les vecteurs en algèbre linéaire. On continue cependant d’en mettre quand on fait de la géométrie classique dans le plan et dans l’espace.

#”u

#”v

#”w

#”u+#”v

b

#”u+#”v +#”w

#”u+#”v

+#”w=#”u+ #”v+#”w

#”u

#”v

#”w

#”v+#”w

b

#”u+ #”v +#”w

b

#”u

#”v 2#”u

2#”v

b

2#”u+2#”v

2#”u+2#”v =2 #”u+#”v

#”u

#”v

2 #”u+#”v

b

#”u+#”v

Théorème (Règles de calcul dans un espace vectoriel) SoitEunK-espace vectoriel.

(i) Pour tousx∈Eetλ∈K: λ·x=0_E ⇐⇒ λ=0 ou x=0_E.

(ii) Pour toutx∈E: −x= (−1)·x, où−xest l’opposé dexdansEet−1 l’opposé de 1 dansK.

Démonstration

(i) Trois étapes. Soientx∈Eetλ∈K.

• Comme : 0·x= (0+0)·x=0·x+0·x, alors après simplification dans le groupe(E,+): 0·x=0_E.

• Comme : λ·0_E=λ·(0_E+0_E) =λ·0_E+λ·0_E, alors après simplification : λ·0_E=0_E.

• Siλ·x=0_E avecλ6=0 : x=1·x=

1 λ×λ

‹

·x= 1

λ·(λ·x) = 1

λ·0_E=0_E.

(ii) Pour toutx∈E: x+ (−1)·x=1·x+ (−1)·x= (1−1)·x=0·x=0_E, donc−x= (−1)·x. Exemple (K,+,×)est unK-espace vectoriel.

Démonstration Cela résulte directement de la définition des corps. Il suffit de considérer la multiplication× surKcomme une loi de compositionEXTERNE. On obtient alors toutes les propriétés voulues sans aucun travail.

Théorème (Espace vectoriel produit) SoientE₁, . . . ,E_ndes K-espaces vectoriels. Le produit E₁×. . .×E_n est un groupe commutatif pour la loi+définie pour tous(x₁, . . . ,x_n),(y₁, . . . ,y_n)∈E₁×. . .×E_npar :

(x₁, . . . ,x_n) + (y₁, . . . ,y_n) = (x₁+y₁, . . . ,x_n+y_n).

On le munit d’une loi externe·en posant pour tousλ∈Ket(x₁, . . . ,x_n)∈E₁×. . .×E_n: λ·(x₁, . . . ,x_n) = λ·x₁, . . . ,λ·x_n

. Le triplet E₁×. . .×E_n,+,·

est alors unK-espace vectoriel. Ici : 0_E1×...×En= (0_E1, . . . , 0_En).

Démonstration Nous nous contenterons de deux axiomes sur les quatre de la définition. Pour tousλ∈Ket (x₁, . . . ,x_n),(y₁, . . . ,y_n)∈E₁×. . .×E_n: 1·(x₁, . . . ,x_n) = 1·x₁, . . . , 1·x_n

= (x₁, . . . ,x_n) et : λ·€

(x₁, . . . ,x_n) + (y₁, . . . ,y_n)Š

=λ·(x₁+y₁, . . . ,x_n+y_n) =€

λ·(x₁+y₁), . . . ,λ·(x_n+y_n)Š

=€

λ·x₁+λ·y₁, . . . ,λ·x_n+λ·x_nŠ

= (λ·x₁, . . . ,λ·x_n) + (λ·y₁, . . . ,λ·y_n)

=λ·(x₁, . . . ,x_n) +λ·(y₁, . . . ,y_n).

Exemple (Familles de scalaires) En particulier,Kⁿ=

nfois

z }| {

K×. . .×Kest unK-espace vectoriel pour toutn∈N^∗. Nous retrouvons ici le cadre des vecteurs du plan avecR²et celui des vecteurs de l’espace avecR³.

Par exemple : (1, 4,−3) +2·(0, 2, 5) = (1, 8, 7).

Exemple (Matrices) Pour tousn,p∈N^∗,M_n,p(K)est unK-espace vectoriel pour ses lois usuelles d’addition et de multi- plication par un scalaire.

Par exemple, pourn=2 etp=3 : 3·

_{1 0 2}

0 3 −1

+2·

_{1 1 3}

4 2 5

=

_{5 2 12}

8 13 7

. Démonstration M_n,p(K),+

est déjà un groupe commutatif et les autres axiomes se vérifient aisément.

Exemple (Polynômes) K[X]est unK-espace vectoriel pour ses lois usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire.

Démonstration K[X],+

est déjà un groupe commutatif et les autres axiomes se vérifient aisément.

Théorème (Espaces vectoriels d’applications) SoientXun ensemble non vide etEunK-espace vectoriel. L’ensemble E^Xest un groupe commutatif pour la loi+définie pour tous f,g∈E^Xpar :

∀x∈X, (f +g)(x) =f(x) +g(x).

On le munit d’une loi externe·en posant pour tousf ∈E^X etλ∈K: ∀x∈X, (λ·f)(x) =λ· f(x) . Le triplet E^X,+,·

est alors unK-espace vectoriel. Ici, 0_EX est l’application nulle x7−→0_E deX dansE.

Démonstration Nous nous contenterons de deux axiomes sur les quatre. Soientλ∈K et f,g ∈ E^X. Alors 1·f = f car pour toutx∈X : (1·f)(x) =1· f(x)

=f(x), etλ·(f+g) =λ·f +λ·gcar pour toutx∈X : λ·(f +g)

(x) =λ· (f +g)(x)

=λ· f(x) +g(x)

=λ· f(x)

+λ· g(x)

= (λ·f)(x) + (λ·g)(x).

Exemple (Fonctions et suites)

• Pour tout intervalleI, l’ensembleK^I des fonctions deIdansKest unK-espace vectoriel pour l’addition des fonctions et leur multiplication par un élément deK.

• L’ensembleK^Ndes suites à valeurs dansKest unK-espace vectoriel pour l’addition des suites et leur multiplication par un élément deK.

Exemple ToutC-espace vectoriel est aussi unR-espace vectoriel.

Démonstration SiEest unC-espace vectoriel,λ·x est défini pour tousλ∈Cet x∈E, donc en particulier pour toutλ∈R. Cela justifie qu’on puisse considérerEcomme unR-espace vectoriel.

1.2 C

Définition (Combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs) SoientEunK-espace vectoriel etx₁, . . . ,x_n∈E.

On appellecombinaison linéaire de x₁, . . . ,x_ntout vecteur deE de la forme : Xn k=1

λ_kx_k =λ₁x₁+. . .+λ_nx_n pour certainsλ₁, . . . ,λ_n∈K.

#”ı

#”

#”k

b

#”u

#”v La notion de combinaison linéaire est géométriquement très simple à représenter dans le plan ou dans

l’espace. Sur la figure ci-contre,#”u est combinaison linéaire de #”ı et #” mais ce n’est pas le cas de #”v. Par contre, dans l’espace, tout vecteur est combinaison linéaire de#”ı,#” et #”

k.

$ Attention ! (Péché d’identification) En général :

Xn

k=1

λ_kx_k= Xn

k=1

µ_kx_k =⇒ λ_k=µ_kpour toutk∈¹1,nº.

Par exemple : (1, 1) +2(0, 1) +2(1, 0) = (3, 3) =2(1, 1) + (0, 1) + (1, 0).

Exemple DansR²,(2, 7)est combinaison linéaire des vecteurs(5,−2)et(1,−3): (2, 7) = (5,−2)−3(1,−3).

Démonstration

(2, 7)est combinaison linéaire de(5,−2)et(1,−3) ⇐⇒ ∃λ,µ∈R,

C’est l’EXISTENCE de solutions qui compte.

(2, 7) =λ(5,−2) +µ(1,−3)

⇐⇒ ∃λ,µ∈R,

§ 5λ + µ = 2

−2λ − 3µ = 7.

Nous sommes ainsi ramenés à la résolution d’un système linéaire. Or pour tout(λ,µ)∈R²:

§ 5λ + µ = 2

−2λ − 3µ = 7 ⇐⇒

§ 5λ + µ = 2

13λ = 13 L₂←L₂+3L₁ ⇐⇒ λ=1 et µ=−3.

Le système étudié possède des solutions, c’est exactement le résultat voulu.

Exemple DansM₂(R), _{−1 2}

2 0

n’est pas combinaison linéaire des vecteurs _{1 1}

0 0

,

_{−2 1}

3 2

et

_{1 0}

−1 1

. Démonstration

_{−1 2}

2 0

est combinaison linéaire de _{1 1}

0 0

,

_{−2 1}

3 2

et

_{1 0}

−1 1

⇐⇒ ∃x,y,z∈R,

_{−1 2}

2 0

=x _{1 1}

0 0

+y

_{−2 1}

3 2

+z

_{1 0}

−1 1

⇐⇒ ∃x,y,z∈R,

C’est l’EXISTENCE de solutions qui compte.







x − 2y + z = −1

3y − z = 2

x + y = 2

2y + z = 0.

Résolvons ce système. Pour tout(x,y,z)∈R³:







x − 2y + z = −1

3y − z = 2

x + y = 2

2y + z = 0

⇐⇒







x − 2y + z = −1

3y − z = 2

3y − z = 3

2y + z = 0

L₃←L₃−L₁

⇐⇒







x − 2y + z = −1

3y − z = 3

0 = 1

2y + z = 0

L₃←L₃−L₂. Ce dernier système n’a pas de solution — d’où le résultat.

Exemple Soit n∈N. Tout polynôme deK[X]de degréINFÉRIEUR OU ÉGAL ànest combinaison linéaire des polynômes 1,X,X², . . . ,Xⁿpuisqu’on peut l’écrire

Xn k=0

a_kX^kpour certainsa₀, . . . ,a_n∈K.

Définition (Famille presque nulle de scalaires) On dit qu’une famille d’éléments deKindexée par I estpresque nullesi tous ses éléments sont nulsSAUF UN NOMBRE FINI D’ENTRE EUX.

Dans le cas oùI est un ensembleFINI, la précision « presque nulle » est évidemment sans intérêt.

Quand j’aurai besoin de mêler un quantificateur et une famille presque nulle, je m’autoriserai la notation suivante, bien pratique mais d’une correction toute relative : ∀(λ_i)_i∈I ∈K^I presque nulle, . . . De fait, certains auteurs notentK^(I) l’ensemble des familles presque nulles d’éléments deKindexées par I, mais cette notation n’est pas au programme donc je ne l’emploierai pas. Ne la confondez pas en tout cas avec la notationK^I qui désigne l’ensemble deTOUTES les familles d’éléments deKindexées parI.

Définition (Combinaisons linéaires d’un nombre quelconque de vecteurs) SoientEun espace vectoriel et(x_i)_i∈I une famille de vecteurs deE. On appellecombinaison linéaire de(x_i)_i∈Itout vecteur deEde la formeX

i∈I

λ_ix_ioù(λ_i)_i∈I est une famillePRESQUE NULLEd’éléments deK.

$ Attention ! Pour un nombreFINIde vecteurs, pas besoin de famillesPRESQUE NULLESde scalaires !

Nous pourrons maintenant parler des combinaisons linéaires d’un nombreINFINIde vecteurs, mais chacune de ces combi- naisons linéaires reste fondamentalement une sommeFINIE. Les vraies sommes infinies n’ont aucun sens sans une notion de passage à la limite adéquat.

Exemple K[X]est l’ensemble des combinaisons linéaires de la famille X^k

k∈N. Rappelons à ce sujet que la notation «

+∞X

k=0

a_kX^k» des polynômes, très pratique, désigne en fait une sommeFINIE.

1.3 S

-

Définition (Sous-espace vectoriel) SoientEunK-espace vectoriel etF une partie de E STABLE PAR ADDITION ET MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE. On dit queF est unsous-espace vectoriel de EsiF est unK-espace vectoriel pour les lois deE.

SiF un sous-espace vectoriel deE,F est un sous-groupe additif deE, donc : 0_F=0_E∈F. Exemple SiEest unK-espace vectoriel,

0_E etEsont deux sous-espaces vectoriels deE.

Exemple L’ensembleF=¦

(x,y)∈R²| x²+x+y²=0©

N’estPASun sous-espace vectoriel deR².

Démonstration F n’est pas stable par multiplication par un scalaire car(−1, 0)∈F, mais(−2, 0)∈/F.

Théorème (Caractérisation des sous-espaces vectoriels) SoientEunK-espace vectoriel etF une partie deE. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) F est un sous-espace vectoriel deE.

(ii)

¨ — 0_E∈F.

— F est stable par combinaison linéaire : ∀x,y∈F, ∀λ∈K, λx+y∈F.

Démonstration

(i)=⇒(ii) SiF est un sous-espace vectoriel de E, on a vu que 0_E =0_F ∈F. De plus, pour tous x,y ∈Eet λ∈K,λxet ysont éléments deF carF est stable par multiplication par un scalaire, et enfinλx+y∈F carFest stable par addition.

(ii)=⇒(i) Si l’assertion (ii) est vraie,F est stable par différence — pourλ=−1 — donc est un sous-groupe additif deE. Les autres axiomes de la définition des espaces vectoriels ne requièrent aucune vérification particulière car une relation vraie surEtout entier l’est aussi surF.

C’estTOUJOURSle résultat précédent qu’il faut utiliser pour montrer qu’une partie d’un espace vectoriel en est un sous- espace vectoriel. Si on utilisait laDÉFINITIONdes sous-espaces vectoriels, on serait obligé de vérifier beaucoup d’axiomes dont laCARACTÉRISATIONfait l’économie.

Par ailleurs, pour montrer qu’un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer qu’il estSOUS-espace d’un autre espace vectoriel connu.

Théorème (Ensemble des solutions d’un système linéaireHOMOGÈNE) SoitA∈ M_n,p(K). L’ensemble des solutions du système linéaireHOMOGÈNEAX =0 d’inconnueX ∈K^pest un sous-espace vectoriel deK^p.

En particulier, toute droite deR²PASSANT PAR(0, 0)est un sous-espace vectoriel deR², et toute droite et tout plan de R³PASSANT PAR(0, 0, 0)sont des sous-espaces vectoriels deR³.

Démonstration NotonsSl’ensemble¦

X∈K^p| AX=0© .

• Pour commencer : S⊂K^p. Ensuite : 0∈S carA×0=0.

• Montrons enfin queSest stable par combinaison linéaire. SoientX,X^′∈Setλ∈K. Alors : A(λX+X^′) =λAX+AX^′=λ×0+0=0, doncλX+X^′∈S.

Exemple Pour toutn∈N, l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de taillenà coefficients dansKest un sous- espace vectoriel deM_n(K).

Démonstration Cet ensemble est inclus dansM_n(K)et contient la matrice nulle. Ensuite, nous savons déjà que toute combinaison linéaire de matrices triangulaires supérieures est encore une matrice triangulaire supérieure.

Définition-théorème (Espaces vectorielsK_n[X]) Pour toutn∈N, l’ensemble des polynômes de degréINFÉRIEUR OU ÉGALàn, notéK_n[X], est un sous-espace vectoriel deK[X].

$ Attention ! L’ensemble des polynômes de degréÉGALà nN’estPAS un sous-espace vectoriel deK[X], il ne contient même pas le polynôme nul !

Démonstration Soitn∈N.

• Pour commencer : K_n[X]⊂K[X]. Ensuite : 0∈K_n[X] car deg(0) =−∞¶n.

• Montrons enfin queK_n[X]est stable par combinaison linéaire. SoientP,Q∈K_n[X]etλ∈K. Nous savons qu’alors : deg(λP+Q)¶max

deg(P), deg(Q) ¶n, donc en effetλP+Q∈K_n[X].

Exemple

• Pour tout intervalleI, les ensemblesC(I,K),D(I,K)etC¹(I,K)sont des sous-espaces vectoriels deK^I.

• L’ensemble des suites convergentes à valeurs dansKest un sous-espace vectoriel duK-espace vectorielK^N.

Exemple L’ensembleF=¦

f ∈ C(R,R)| f(0) =0©

est un sous-espace vectoriel deC(R,R).

Démonstration

• D’abord : F ⊂ C(R,R). Ensuite,x7−→0 est continue surRde valeur 0 en 0, donc appartient àF.

• Montrons enfin queF est stable par combinaison linéaire. Soient f,g∈F etλ∈R. La fonctionλf +gest continue surRet : (λf +g)(0) =λf(0) +g(0) =0+0=0, doncλf +g∈F.

Exemple SoientI un intervalle et a∈ C(I,K). L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène y^′+a(x)y=0 est un sous-espace vectoriel deD(I,K).

Pour tousa,b,c ∈ K, on peut montrer de même que l’ensemble des solutions de l’équation a y^′′+ b y^′+c y = 0 est un sous-espace vectoriel duK-espace vectorielD²(R,K)des fonctions deux fois dérivables deI dansK.

Démonstration PosonsF=¦

y∈ D(I,K)| y^′+a y=0© .

• Pour commencer : F⊂ D(I,K). Ensuite, x7−→0 est solution surI de l’équationy^′+a y=0.

• Montrons enfin queF est stable par combinaison linéaire. Soient y,z∈F etλ∈K. La fonctionλy+zest dérivable surI et : (λy+z)^′+a(λy+z) =λ(y^′+a y) + (z^′+az) =λ×0+0=0, doncλy+z∈F. Théorème (Intersection de sous-espaces vectoriels)SoitEunK-espace vectoriel. Toute intersection de sous-espaces vectoriels deEest encore un sous-espace vectoriel deE.

Démonstration Soit(F_i)_i∈I une famille de sous-espaces vectoriels deE. Nous voulons montrer queF =\

i∈I

F_i est un sous-espace vectoriel deE.

• Pour commencer : F⊂E. Ensuite : 0_E∈F_i pour touti∈Ipuisque F_i est un sous-espace vectoriel deE, donc 0_E∈F.

• Montrons enfin que F est stable par combinaison linéaire. Soient x,y ∈ F etλ ∈K. Pour tout i ∈ I : λx+y∈F_i carF_i est un sous-espace vectoriel deEetx,y∈F_i, doncλx+y∈F.

$ Attention ! La réunion de deux sous-espaces vectorielsN’estPASun sous-espace

F G

b /∈F∪G

vectoriel en général — pourquoi diable serait-elle stable par addition ?

1.4 S

-

Les éléments d’un espace vectoriel Esont naturellement des vecteurs, mais dans le plan et dans l’espace, nous savons bien que nous pouvons identifier les points et les vecteurs via le choix d’un point de référence ouorigine O. Une telle origine étant fixée, toute relation : # ”

OM=#”u nous autorise à identifier le pointMet le vecteur#”u.

Plus généralement, tout élément d’un espace vectoriel quelconqueEpeut être vu comme un point via le choix du vecteur nul O = 0_E comme origine. Si pour tous A,B ∈ E, on note # ”

AB le vecteurB−A, alors pour tout M ∈ E, l’identification points-vecteurs s’écrit simplement : M

Point

=# ” OM

Vecteur

.

Définition (Sous-espace affine, direction) Soit E unK-espace vectoriel. On appellesous-espace affine de E toute partieF deEde la forme : F=x+F=¦

f +x | f ∈F©

oùFest un sous-espace vectoriel deEetxest vecteur deE.

Le sous-espace vectorielF associé au sous-espace affineF est unique. On l’appelle ladirection deF et ses éléments sont appelés lesvecteurs directeurs deF.

P =x+P

b b

bx

P

b0_E ^b

D D=y+D

b y

Nous noterons souvent les sous-espaces vectoriels avec des majuscules droites (F,G,H. . . ) et les sous-espaces affines avec des majuscules rondes (F,G,H. . . ).

$ Attention ! Tout sous-espaceVECTORIELFdeEest un sous-espace

AFFINEdeEpuisqueF=0_E+F. La réciproque est fausse en revanche car un sous-espace affine ne contient pas 0_E en général.

Démonstration Montrons l’unicité de la direction deF. SoientF etF^′ deux sous-espaces vectoriels deEet x,x^′ ∈Epour lesquels F = x+F = x^′+F^′. Pour montrer que F = F^′, il nous suffit par symétrie de prouver l’inclusionF⊂F^′. Soit f ∈F. Commex=x+0_E∈x+F=x^′+F^′: x=x^′+f₁^′ pour un certain f₁^′∈F^′. Or x+f ∈x+F également, donc x+f =x^′+f₂^′pour un certainf₂^′∈F^′. Finalement : f =f₂^′−f₁^′∈F^′.

Théorème (Ensemble des solutions d’un système linéaire) Soit A∈ M_n,p(K)etB ∈Kⁿ. Si le système linéaire AX =Bd’inconnueX ∈K^p estCOMPATIBLE, l’ensemble de ses solutions est un sous-espace affine deK^p. Sa direction n’est autre que l’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé.

En particulier, toute droite deR²ouR³et tout plan deR³en sont des sous-espaces affines.

Démonstration Posons : S =¦

X ∈K^p| AX =B©

et S=¦

X ∈K^p | AX =0©

. Nous savons déjà queSest un sous-espace vectoriel deK^p. En outre, le système étudié étant compatible, nous pouvons nous en donner une solution particulièreX_part. Il est bien connu alors queS =X_part+S.

Exemple La droite deR³d’équation

§ x+y=2

x−y+z=1 est un sous-espace affine de direction la droite vectorielle d’équation

§ x+y=0 x−y+z=0.

Exemple SoientI un intervalle eta,b∈ C(I,K). L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y^′+a(x)y=b(x) est un sous-espace affine deD(I,K).

Démonstration Posons : S =¦

y ∈ D(I,K)| y^′+a y = b©

et S= ¦

y∈ D(I,K)| y^′+a y =0© . Nous savons déjà que Sest un sous-espace vectoriel de D(I,K), mais aussi par variation de la constante que l’équation complètey^′+a(x)y=b(x)possède une solution y_part. Il est bien connu alors queS = y_part+S.

Exemple L’ensembleE =¦

P ∈R[X]| X P^′+P =2X©

est un sous-espace affine de R[X] de direction le sous-espace vectorielE=¦

P∈R[X]| X P^′+P=0© .

Démonstration Il n’est pas dur de vérifier queEest un sous-espace vectoriel deR[X]. Remarquons par ailleurs queX ∈ E — solution particulière ! Du coup, pour toutP∈R[X]:

P∈ E ⇐⇒ X P^′+P=2X ⇐⇒ X(P−X)^′+(P−X) =0 ⇐⇒ P−X∈E ⇐⇒ P∈X+E.

Conclusion : E=X+E, ce qui confirme queE est un sous-espace affine deR[X]de directionE.

Théorème (Caractérisation des sous-espaces affines par leur direction et un point) SoientEunK-espace vectoriel, F un sous-espace affine deEde directionF etA∈ F quelconque. Alors : F =A+F.

Deux sous-espaces affines sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction et un point en commun.

Démonstration Par définition : F =x+F pour un certainx∈E. En particulier : A=x+f pour un certain f ∈F, doncF = x+F= (A−f) +F =A+ (F−f)^f=^∈FA+F. L’égalitéF−f =F découle de ce queF est un sous-espace vectoriel deE.

Théorème (Intersection de sous-espaces affines) SoientEunK-espace vectoriel et(F_i)_i∈I une famille de sous- espaces affines deE. Pour touti∈I, on noteF_ila direction deF_i.

On dit que lesF_i,idécrivant I, sontconcourantsousécantssi\

i∈I

F_i6=∅. Dans ce cas,\

i∈I

F_i est un sous-espace affine deEde direction\

i∈I

F_i.

$ Attention ! Alors qu’une intersection de sous-espaces vectoriels contient toujours le vecteur nul, une intersection de sous-espaces affines peut vraiment être vide, pensez par exemple au cas de deux droites parallèles non confondues.

Démonstration PosonsF =\

i∈I

F_ietF=\

i∈I

F_iet supposonsF 6=∅. Un pointAdeF étant donné, nous avons vu plus haut queF_i=A+F_ipour touti∈I. Il nous suffit dès lors de montrer queF=A+F.

• Montrons queF ⊂A+F. SoitM∈ F. Pour touti∈I : M=A+f_i pour un certain f_i ∈F_i, et ces f_i sont tous égaux, donc éléments de\

i∈I

F_i=F. Comme voulu : M∈A+F.

• Inversement, pour touti∈I : F⊂F_i, doncA+F⊂A+F_i=F_i, doncA+F⊂ F.

1.5 S

-

Définition (Sous-espace vectoriel engendré par une partie) SoientEunK-espace vectoriel etX une partie deE.

(i) L’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant X est appelée le sous-espace vectoriel (de E) engendré par X et notée Vect(X). À ce titre, Vect(X)est le plus petit sous-espace vectoriel deEcontenantX. En particulier, tout sous-espace vectoriel deEqui contientX contient aussi Vect(X).

(ii) SiX =

x_i| i∈I , Vect(X)est aussi l’ensemble des combinaisons linéaires de(x_i)_i∈I et noté Vect(x_i)_i∈I.

Quelques figures vaudront mieux qu’un long discours.

Vect(u,v)

b

u v

b

Vect(u)

u Vect(u,v)

b

u v

Démonstration

(i) En tant qu’intersection de sous-espaces vectoriels deEcontenantX, Vect(X)est lui-même un sous-espace vectoriel deEcontenantX, et il est inclus par définition dans tous les sous-espaces vectoriels deEcontenant X, ce qui montre que tout sous-espace vectoriel deEqui contientX contient en réalité Vect(X)tout entier.

(ii) Notant V l’ensemble des combinaisons linéaires de(x_i)_i∈I, nous voulons montrer que V = Vect(X).Or Vect(X)est stable par combinaison linéaire en tant que sous-espace vectoriel de E et contient X, donc contient toute combinaison linéaire de(x_i)_i∈I, autrement dit V ⊂ Vect(X). Pour l’inclusion réciproque, d’après (i), il nous suffit de montrer queV est un sous-espace vectoriel deEcontenantX.

• Pour commencer : V ⊂ E. Ensuite, V contient 0_E car 0_E = X

i∈I

0·x_i, mais aussi X car pour tout j∈I : x_j = 1·x_j + X

i∈I,i6=j

0·x_i.

• Pour la stabilité par combinaison linéaire, soient v,w ∈ V et α∈K. Pour certaines familles presque nulles(λ_i)_i∈I et(µ_i)_i∈Id’éléments deK: v=X

i∈I

λ_ix_i et w=X

i∈I

µ_ix_i. La famille(αλ_i+µ_i)_i∈I est alors elle aussi presque nulle etαv+w=X

i∈I

(αλ_i+µ_i)x_i, doncαv+w∈Vect(X).

En pratique : Pour montrer qu’une partie d’un espace vectoriel en est un sous-espace vectoriel, il suffit très souvent de l’écrire comme un Vect.

Exemple Pour toutK-espace vectorielE, par convention des sommes vides : Vect(∅) = 0_E . Exemple Le sous-espace vectoriel Vect€

(1, 2)Š

est la droite deR²passant par(0, 0)dirigée par(1, 2).

Exemple K[X] =Vect X^k

k∈N et pour toutn∈N: K_n[X] =Vect 1,X, . . . ,Xⁿ . Exemple DansM₂(K), Vect

1 0

0 0

,

0 1 0 0

,

0 0 0 1

est l’ensemble des matrices triangulaires supérieures.

Exemple Le planP deR³d’équation 2x−y+3z=2 est le sous-espace affine de direction Vect€

(1, 2, 0),(0, 3, 1)Š

passant par(0,−2, 0). En résumé : P = (0,−2, 0) +Vect€

(1, 2, 0),(0, 3, 1)Š . Démonstration P =¦

(x, 2x+3z−2,z)| x,z∈R©

=¦

(0,−2, 0) +x(1, 2, 0) +z(0, 3, 1)| x,z∈R©

= (0,−2, 0) +Vect€

(1, 2, 0),(0, 3, 1)Š . Exemple La droiteDdeR³d’équation

§ 5x + y − z = 2

x + 2y + z = 1 est le sous-espace affine de direction Vect€

(1,−2, 3)Š passant par(0, 1,−1). En résumé : D= (0, 1,−1) +Vect€

(1,−2, 3)Š .

Démonstration Pour tout(x,y,z)∈R³: (x,y,z)∈ D ⇐⇒

§ 5x + y − z = 2

2x + y = 1 L₂←1

3 L₁+1 3 L₂

⇐⇒ y=1−2x et z=3x−1.

Enfin : D=¦

(x, 1−2x, 3x−1)| x∈R©

=¦

(0, 1,−1) +x(1,−2, 3)| x∈R©

= (0, 1,−1) +Vect€

(1,−2, 3)Š . Exemple SoientIun intervalle eta∈ C(I,K). D’après le théorème fondamental du calcul intégral,apossède une primitive AsurI. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène y^′+a(x)y=0 est alors Vect e^−A

.

Dans le même genre, soienta,b,c∈R. On noteF le sous-espace vectoriel deD²(R,R)des solutions de l’équation différen- tielle linéaire homogènea y^′′+b y^′+c y=0.

— SiaX²+bX+cpossède deux racines réelles distinctesretr^′: F=Vect€

x7−→e^{r x},x7−→e^r′xŠ .

— SiaX²+bX+cpossède une unique racine réeller: F=Vect€

x7−→e^{r x},x7−→xe^{r x}Š .

— SiaX²+bX+cpossède deux racines non réelles conjuguéesr±iω: F=Vect€

x7−→e^{r x}cos(ωx),x7−→e^{r x}sin(ωx)Š . Exemple Si le corps de base estR: Vect(1) =¦

a×1| a∈R©

=R et Vect(1, i) =¦

a+ib| a,b∈R©

=C.

Si par contre le corps de base estC: Vect(1) =¦

a×1| a∈C©

=C.

Théorème (Propriétés des Vect) SoientEunK-espace vectoriel,X etY deux parties deEetx,a,b∈E.

(i) Inclusion : SiX⊂Y : Vect(X)⊂Vect(Y).

(ii) Ôter un vecteur : Six∈X est combinaison linéaire deX\

x : Vect(X) =Vect€ X\

x Š . (iii) Remplacer un vecteur : Sibest combinaison linéaire deX∪

a avec un coefficientNON NULsura: Vect€

X∪ a Š

=Vect€ X∪

b Š .

Démonstration

(i) Toute combinaison linéaire deX est bien sûr une combinaison linéaire deY! (ii) Soitx∈X combinaison linéaire deX\

x . D’après (i) : Vect€ X\

x Š

⊂Vect(X). Dans l’autre sens, Vect€

X\ x Š

est un sous-espace vectoriel contenantX\

x , or il contient aussix par hypothèse, doncX tout entier, donc Vect(X).

(iii) Dans un sens, Vect€ X ∪

a Š

contient X et a, donc aussi b par hypothèse, donc X ∪

b , donc enfin Vect€

X∪ b Š

. Dans l’autre sens, remarquons que par hypothèse : b=λa+x avecλ∈KNON NULet oùxest une combinaison linéaire deX. Ainsia= b−x

λ , doncaest combinaison linéaire deX∪ b avec un coefficientNON NULsur b. L’inclusion : Vect€

X∪ a Š

⊂Vect€ X∪

b Š

se montre par conséquent comme on a prouvé l’autre, les rôles deaetbétant finalement symétriques.

Exemple DansR³: Vect€

(1, 1, 0),(0, 1, 0),z }| { (1, 3, 0)

Combinaison linéaire de(1, 1, 0)et(0, 1, 0)

Š=Vect€

(1, 1, 0),(0, 1, 0)Š

=Vect€

(1, 1, 0)−(0, 1, 0),(0, 1, 0)Š

=Vect€

(1, 0, 0),(0, 1, 0)Š

=R²× 0 .

2 F AMILLES DE VECTEURS

2.1 P

Définition (Partie/famille génératrice) SoientEunK-espace vectoriel etX une partie deE. On dit que la partieX estgénératrice de Eouengendre Esi tout élément deEest combinaison linéaire deX, i.e. siE=Vect(X).

SiX =

x_i| i∈I , on dit aussi que la famille(x_i)_i∈I estgénératrice de Eouengendre E.

Exemple X^k

k∈NengendreK[X]et 1,X,X², . . . ,Xⁿ

engendreK_n[X]pour toutn∈N.

Exemple Pour tout(x,y)∈R²: (x,y) =x(1, 0) +y(0, 1), donc la famille€

(1, 0),(0, 1)Š

engendreR². De même, pour tout(x,y,z)∈R³: (x,y,z) =x(1, 0, 0) +y(0, 1, 0) +z(0, 0, 1), donc€

(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)Š

engendreR³.

Plus généralement, posons pour toutn∈N^∗: e₁ = (1, 0, . . . , 0), e₂ = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e_n = (0, . . . , 0, 1). La famille(e₁, . . . ,e_n)engendreKⁿcar pour tout(x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿ: (x₁, . . . ,x_n) =x₁e₁+. . .+x_ne_n.

Exemple La famille _{1 0}

0 0

,

_{0 0}

1 0

,

_{0 1}

0 0

,

_{0 0}

0 1

engendreM₂(K)car pour tousa,b,c,d∈K: a c

b d

=a 1 0

0 0

+b

0 0 1 0

+c

0 1 0 0

+d

0 0 0 1

.

Plus généralement, pour tousn,p∈N^∗et pour tousi∈¹1,nºet j∈¹1,pº, notonsE_{i j} la matrice deM_n,p(K)dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de position de(i,j), égal à 1. La famille(E_{i j})1¶i¶n

1¶j¶pest alors génératrice deM_n,p(K)car pour toute matriceA∈ M_n,p(K): A=X

i,j

a_{i j}E_{i j}.

Exemple La famille(1, i)engendre le R -espace vectorielC, mais(1)suffit à engendrer le C -espace vectorielC.

Le résultat qui suit n’est qu’une simple reformulation du théorème « Propriétés des Vect ».

Théorème (Propriétés des parties génératrices) SoientEunK-espace vectoriel etX etY deux parties deE.

• Inclusion : SiX engendre Eet siX ⊂Y, alorsY engendreE.

• Ôter un vecteur : SiX engendreEet six∈X est combinaison linéaire deX\

x ,X\

x engendreE.

• Remplacer un vecteur : SiX∪

a engendreEet sibest combinaison linéaire deX∪

a avec un coefficient

NON NULsura,X∪

b engendreE.

En pratique : Trouver une partie génératrice d’un sous-espace vectoriel, c’est l’écrire comme un Vect.

Exemple L’ensemble E =¦

(x,y,z,t)∈R⁴| x+2y−z =0 et x−y+t =0©

est un sous-espace vectoriel deR⁴ engendré par la famille€

(1, 0, 1,−1),(0, 1, 2, 1)Š .

Démonstration Pour tout(x,y,z,t)∈R⁴: (x,y,z,t)∈E ⇐⇒

§ z = x + 2y

t = −x + y, donc :

E=¦

(x,y,x+2y,−x+y)| x,y∈R©

=¦

x(1, 0, 1,−1)+y(0, 1, 2, 1)| x,y∈R©

=Vect€

(1, 0, 1,−1),(0, 1, 2, 1)Š . Ceci montreÀ LA FOISqueEest un sous-espace vectoriel deR⁴et que€

(1, 0, 1,−1),(0, 1, 2, 1)Š

engendreE.

Exemple L’ensembleF=¦

P∈R₃[X]| 2P(X+1) =X P^′©

est un sous-espace vectoriel deR₃[X]engendré parX²−4X+3.

Démonstration Pour toutP=aX³+bX²+cX+d∈R₃[X]:

P∈F ⇐⇒ 2P(X+1) =X P^′ ⇐⇒ 2a(X+1)³+2b(X+1)²+2c(X+1) +2d=X 3aX²+2bX+c

⇐⇒







2a = 3a

6a+2b = 2b 6a+4b+2c = c 2a+2b+2c+2d = 0

⇐⇒





a = 0

4b+c = 0 b+c+d = 0

⇐⇒





a = 0

c = −4b d = 3b.

Conclusion : F=¦

bX²−4bX+3b| b∈R©

=¦

b X²−4X+3

| b∈R©

=Vect X²−4X+3

. Ceci montre

À LA FOISqueFest un sous-espace vectoriel deR₃[X]et que X²−4X+3

en est une famille génératrice.

2.2 P

Définition (Partie/famille libre d’un nombre fini de vecteurs) SoientEunK-espace vectoriel et x₁, . . . ,x_n∈E.

On dit que la famille(x₁, . . . ,x_n)ou l’ensemble

x₁, . . . ,x_n estlibreou que les vecteurs x₁, . . . ,x_nsont linéairement indépendantssi :

∀(λ₁, . . . ,λ_n)∈Kⁿ,

‚ _n X

i=1

λ_ix_i=0_E =⇒ λ₁=. . .=λ_n=0

Π.

Quitte à remplacer λ_i par λ_i −µ_i dans la définition de la liberté, on peut aussi dire que(x₁, . . . ,x_n) est libre si et seulement si : ∀(λ₁, . . . ,λ_n),(µ₁, . . . ,µ_n) ∈ Kⁿ,

‚ _n X

i=1

λ_ix_i= Xn

i=1

µ_ix_i =⇒ ∀i∈¹1,nº, λ_i=µ_i

Œ

, ce

qui n’est finalement rien de plus qu’unPRINCIPE D’IDENTIFICATION. En résumé :

FAMILLE GÉNÉRATRICE = EXISTENCEpourTOUTvecteur d’une décomposition comme combinaison linéaire FAMILLE LIBRE = UNICITÉdes coefficients dans les combinaisons linéaires,

donc possibilité de pratiquer desIDENTIFICATIONS

Définition (Partie/famille liée d’un nombre fini de vecteurs, couple de vecteurs colinéaires)SoientEunK-espace vectoriel et x₁, . . . ,x_n,x,y∈E.

• On dit que la famille(x₁, . . . ,x_n)ou l’ensemble

x₁, . . . ,x_n estliéeou que les vecteursx₁, . . . ,x_nsontlinéairement dépendantssi la famille(x₁, . . . ,x_n)N’estPASlibre. Cela revient à dire queL’UN AU MOINSdes vecteursx₁, . . . ,x_n est combinaison linéaire des autres.

• On dit que xet ysontcolinéairessi la famille(x,y)est liée, i.e. sixou yest un multiple de l’autre.

Dire que(x₁, . . . ,x_n)est liée, c’est dire que pour certainsλ₁, . . . ,λ_n∈K:

‚ _n X

i=1

λ_ix_i=0_E et ∃i₀∈¹1,nº, λ_i06=0

Œ

, auquel casx_i0=− 1 λ_i0

X

i6=i0

λ_ix_i, i.e.x_i0est « combinaison linéaire des autres ».

Exemple Tout ensemble de vecteurs qui contient le vecteur nul est lié.

Démonstration Le vecteur nul est combinaison linéaire de tout ensemble de vecteurs — coefficients tous nuls. . . Exemple La famille (1, i)est libre dans le R-espace vectoriel C — principe d’IDENTIFICATION DES PARTIES RÉELLE ET IMAGINAIRE— mais liée dans leC-espace vectorielC.

Démonstration

• Montrons que(1, i)est libre sur le corps de baseR. Soientλ,µ∈Rdes réels pour lesquelsλ.1+µ.i=0.

Par identification des parties réelle et imaginaire : λ=µ=0.

• La famille(1, i)est en revanche liée sur le corps de baseCcar i=i×1 est un multipleCOMPLEXEde 1.

Exemple Soitn∈N^∗. Posons : e₁= (1, 0, . . . , 0), e₂= (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e_n= (0, . . . , 0, 1). La famille(e₁, . . . ,e_n) est libre dansKⁿ— principe d’IDENTIFICATION DES COEFFICIENTS D’UNE FAMILLE DE SCALAIRES.

Démonstration Pour tout(λ₁, . . . ,λ_n)∈Kⁿ: x₁e₁+. . .+x_ne_n= (λ₁, . . . ,λ_n), donc six₁e₁+. . .+x_ne_n=0Kⁿ, alors aussitôtλ₁=. . .=λ_n=0.

Exemple Soientn,p∈N^∗. Pour tousi∈¹1,nºetj∈¹1,pº, notonsE_{i j}la matrice deM_n,p(K)dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de position de(i,j), égal à 1. La famille(E_{i j})1¶i¶n

1¶j¶pest alors libre dansM_n,p(K)— principe d’IDENTIFICATION DES COEFFICIENTS D’UNE MATRICE.

Exemple La famille€

(2, 1),(−1, 3),(0, 2)Š

est liée dansR².

Démonstration Pour tousλ,µ,ν∈R: λ(2, 1)+µ(−1, 3)+ν(0, 2) = (0, 0) ⇐⇒

§ 2λ − µ = 0.

λ + 3µ + 2ν = 0.

Ce système possède des solutions(λ,µ,ν)autres que(0, 0, 0),

 1, 2,−7

2

‹

par exemple, donc les vecteurs(2, 1), (−1, 3)et(0, 2)sont linéairement dépendants.

Exemple La famille€

X²−X+1,X²+X−2,X²−2X+3Š

est libre dansR[X].

Démonstration Pour tousλ,µ,ν∈R: λ X²+X+1

+µ X²−X−2

+ν X²+2X+3

=0

⇐⇒





λ + µ + ν = 0 λ − µ + 2ν = 0 λ − 2µ + 3ν = 0

⇐⇒





λ + µ + ν = 0

2µ − ν = 0

3µ − 2ν = 0

L₂←L₁−L₂ L3←L1−L3

⇐⇒





λ + µ + ν = 0

2µ − ν = 0

µ = 0 L3←2L₂−L3

⇐⇒ λ=µ=ν=0.