PanaMaths Mars 2018
Soit ( e e
1,
2,..., e
p) une famille libre d’un K − espace vectoriel E.
Montrer que ∀ ∈ a E \ Vect ( e e
1,
2,..., e
p) (
,e
1+ a e ,
2+ a ,..., e
p+ a ) est une
famille libre de E.
Analyse
On forme une combinaison linéaire nulle des vecteurs de la famille
(
e1+a e, 2+a, ...,ep+a)
.Résolution
Soit a∈E \ Vect
(
e e1, 2, ...,ep)
Soit α α1, 2,...,αp p scalaires de K tels que : α1
(
e1+a)
+α2(
e2+a)
+ +... αp(
ep+a)
=0. On a alors : α1 1e +α2 2e + +... αpep = −(
α α1+ 2+ +... αp)
a.Le vecteur α1 1e +α2 2e + +... αpep appartient, par définition, à Vect
(
e e1, 2, ...,ep)
. Or, le vecteur −(
α α1+ 2+ +... αp)
a appartient lui à Vect( )
a .Mais comme a∈E \ Vect
(
e e1, 2, ...,ep)
, on a Vect(
e e1, 2, ...,ep)
∩Vect( )
a ={ }
0 et donc1 1e 2 2e ... pep 0 α +α + +α = .
La famille
(
e e1, 2, ...,ep)
étant, par hypothèse, libre, il vient immédiatement1 2 ... p 0
α α= = =α = et on en déduit que la famille
(
e1+a e, 2+a, ...,ep+a)
est libre.Le résultat est ainsi établi.
Résultat final
Si
