Dans tout le chapitre, Kdésigne Rou C.
II - Normes sur un K -espace vectoriel. Convergence des suites
1) Vocabulaire. Premières propriétés.
Soit E unK-espace vectoriel.
•N est une norme sur E si et seulement si N est une application de E dans R+ telle que :
∀x∈E N(x) = 0⇔x= 0 (séparation)
∀λ∈K ∀x∈E N(λ.x) =|λ|N(x) (homogénéité)
∀(x, y)∈E2 N(x+y)≤N(x) +N(y) (inégalité triangulaire) .
On dit dans ce cas que(E, N)est unespace vectoriel normé (s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de la norme, on parle de l’espace vectoriel norméE).
•destune distance sur E si et seulement si dest une application deE×E dans R+ telle que :
∀(x, y)∈E2 d(x, y) = 0⇔x=y (séparation)
∀(x, y)∈E2 d(y, x) =d(x, y) (symétrie)
∀(x, y, z)∈E2 d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) (inégalité triangulaire) .
Théorème et définition :si N est une norme sur E, d: (x, y) →N(y−x) est une distance sur E, appelée la distance associée à N.
Dans la suite, · :x→ x désigne une norme surE.
•On appellevecteur unitaire (ounormé) tout vecteur de norme 1. À tout vecteurx non nul on peut associer le vecteur unitaire 1
x ·x qui dirige la même droite (resp. demi-droite dans le cas réel).
•Poura∈E,r∈R+∗,la boule ouverte de centreaet de rayonrestB(a, r) ={x∈E / x−a < r}, la boule fermée de centre aet de rayon r est Bf(a, r) ={x∈E / x−a ≤r},la sphère de centre aet de rayon r est S(a, r) ={x∈E / x−a =r}.
•Une partieA de E est ditebornée si et seulement s’il existe une boule la contenant,i.e.:
∃M ∈R+ ∀x∈A x ≤M.
•SiD est un ensemble non vide, une applicationf :D→E est dite bornée si et seulement sif(D) est bornée dansE,i.e. :
∃M ∈R+ ∀x∈D f(x) ≤M.
•Distance d’un point à une partie non vide : pour A partie non vide de E et x élément de E, on appelledistance de x à A le réel positif ou nuld(x, A) = inf{ x−a , a∈A}.
•Soitf :E→F,N une norme surF,k∈R+ ;f est ditek-lipschitzienne de (E, · ) dans (F, N) si et seulement si
∀(x, y)∈E2 N f(x)−f(y) ≤k. x−y .
S’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix des normes, on dit simplement quef estk-lipschitzienne.
f est dite lipschitzienne si et seulement s’il existek∈R+ tel que f soitk-lipschitzienne.
Propriétés
1) Si · est une norme sur E, l’applicationx→ x est 1-lipschitzienne de(E, · )dans (R,|·|) :
∀(x, y)∈E2 x − y ≤ x−y (inégalité triangulaire “bis”).
2) PourA partie non vide deE, l’applicationx→d(x, A) est 1-lipschitzienne de(E, · )dans (R,|·|).
3) Composition d’applications lipschitziennes : si f : E → F est k-lipschitzienne et g : F → G ℓ-lipschitzienne, alorsg◦f :E →Gest kℓ-lipschitzienne.
2) Parties convexes
Étant donné (a, b)∈E2,le segment [a, b]est l’ensemble des(1−t).a+t.b,t∈[0,1].
NB : en remplaçant t par 1−u, on constate que [b, a] = [a, b] ; d’ailleurs il n’y a en général pas de relation d’ordre “naturelle” dansE. . .
Une partie A deE est dite convexe si et seulement si, pour tout (a, b) de A2, [a, b]est inclus dans A.
Propriété : les boules deE sontdesparties convexes.
NB : les parties convexes deR sontles intervalles.
3) Suites convergentes, suites divergentes
Soient u = (un)n∈N dans EN une suite de vecteurs de E et ℓ un vecteur de E ; on dit que (un)n∈N
converge vers ℓ dans (E, · ) (ou encore pour la norme · ) si et seulement si la suite numérique ( un−ℓ )n∈N converge vers 0 dansR, c’est-à-dire si et seulement si
∀ε >0 ∃n0 ∈N ∀n≥n0 un−ℓ ≤ε.
La suite(un)n∈Nest diteconvergente dans (E, · )(oupour la norme · ) si et seulement s’il existe un vecteur ℓdeE tel que(un)n∈Nconverge versℓ.
Si c’est le cas,ℓ estunique;ℓ estla limite de la suite u= (un)n∈N , notée limu ou lim
n→∞un. On écrit aussi : un −→
n→∞ℓ.
Sinon, la suite (un)n∈N est ditedivergente.
NB : (un)n∈Nconverge versℓsi et seulement si(un−ℓ)n∈Nconverge vers0: on se ramène ainsi souvent au cas de la limite nulle.
Propriété : toute suite convergente est bornée (réciproque fausse !).
Opérations algébriques sur les suites convergentes
L’ensemble C des suites de vecteurs de E convergentes dans (E, · ) est un sous-espace de EN et l’application qui à toute suite de C associe sa limite est une application linéaire deC dans E.
4) Suites extraites
Définition :on appelle suite extraite (ousous-suite) d’une suite (un)n∈N d’éléments deE toute suite de la forme uϕ(n) n∈N, où ϕest une application strictement croissantede N dans N (en particulier lim
+∞ϕ= +∞).
Propriété : si (un)n∈N converge, alors toute suite extraite de(un)n∈N converge vers la même limite.
NB : cette propriété peut permettre de nier facilement la convergence d’une suite (cf. (−1)n).
Définition :on appellevaleur d’adhérence d’une suite(un)n∈N d’éléments deE, tout élément a de E tel qu’il existe une suite extraite de (un)n∈N convergeant vers a (terme hors programme mais naguère apparu dans un sujet d’écrit. . . ).
5) Normes équivalentes (complément hors programme)
Propriété : soient N et N′ deux normes sur E ; pour que toute suite convergeant vers 0 au sens de N converge également vers 0 au sens de N′, il faut et il suffit qu’il existe un nombre réel α >0 tel queN′ ≤αN (i.e. ∀x∈E N′(x)≤αN(x) avecαindépendant de x).
Dém. S’il existe α >0 tel que N′ ≤αN , il est clair que pour toute suite (un)n∈N convergeant vers 0 au sens de N,(un)n∈N converge également vers 0 au sens de N′, en vertu du théorème d’encadrement, puisque : ∀n∈N 0≤N′(un)≤αN(un).
Pour prouver la réciproque, je procède par contraposition : je suppose que
∀α >0 ∃x∈E N′(x)> αN(x).
Pour tout ndans N, cette hypothèse me fournit (en prenant α=n+ 1) un vecteurxn deE tel que N′(xn)>(n+ 1)N(xn) (nécessairement, xn est non nul).
Je pose alors : ∀n∈N un= 1
N′(xn)·xn et je constate que : ∀n∈N N(un)< 1
n+ 1 etN′(un) = 1.
Ainsi, il existe au moins une suite (un)n∈N qui converge vers 0 au sens de N, mais pas au sens deN′, ce qui achève la démonstration.
Définition :deux normes N et N′ sur un même K-espace vectoriel E sont dites équivalentes si et seulement s’il existe deux réels strictement positifs αetβ tels que N′≤αN etN ≤βN′. Théorème :soient (un)n∈N ∈ EN et ℓ ∈ E ; si N et N′ sont deux normes équivalentes sur E, alors (un)n∈N converge vers ℓ∈E au sens de N si et seulement si (un)n∈N converge versℓ au sens de N′.
Ainsi, pour montrer que deux normesN et N′ ne sont pas équivalentes, il suffit d’exhiber une suite (un)n∈Nde vecteurs deEtelle que l’une des deux suites numériques N(un) n∈N, N′(un) n∈Nconverge vers 0 et pas l’autre.
NB : nous verrons que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.
6) Quelques normes usuelles
a) Norme euclidienne associée à un produit scalaire sur un R-espace vectoriel Rappelons que, si E est un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire (·|·) (c’est-à-dire une forme bilinéaire symétrique définie positive surE), l’application x→ x = (x|x) est une norme surE,la norme euclidienne associée au produit scalaire (·|·).
Nous disposons en outre, pour tout (x, y) deE, des développements :
x+y 2 = x 2+ y 2+ 2 (x|y) et x−y 2 = x 2+ y 2−2 (x|y) qui fournissent l’identité du parallélogramme :
x+y 2+ x−y 2= 2 x 2+ y 2 et lesidentités de polarisation :
(x|y) = 1
2 x+y 2− x 2− y 2 = 1
2 x 2+ y 2− x−y 2 = 1
4 x+y 2− x−y 2 et del’inégalité de Cauchy-Schwarz :
|(x|y)| ≤ x · y (avec égalité si et seulement si x, ycolinéaires).
b) Normes usuelles sur Kp Pourx= (x1, . . . , xp)∈Rp, on pose :
N1(x) =
p
k=1
|xk| ; N2(x) =
p
k=1
x2k ; N∞(x) = max
1≤k≤p|xk| . Théorème :N1 ,N2 et N∞ sont trois normes surRp, équivalentes deux à deux, avec :
N∞≤N2≤N1≤√
p.N2 ≤p.N∞. NB : N2 est la norme associée au produit scalaire canonique(x, y)→
p k=1
xk.yk. N1 etN∞ sont également définies surCp,|·|désignant alors le module.
c) Produit d’espaces vectoriels normés
Plus généralement, étant donnée une famille finie d’espaces vectoriels normés (Ek, Nk), 1≤k≤p, on peut munir l’espace produitE =
p
k=1
Ek de la norme N∞ définie par si x= (x1, . . . , xp)∈E, N∞(x) = max
1≤k≤pNk(xk).
d) Normes usuelles sur C0([a, b],K)
Soit a, bréels (a < b) etE =C0([a, b],R)le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a, b]dansR.
Pourf ∈E, on pose :
N1(f) =
b
a |f| ; N2(f) =
b a
f2 ; N∞(f) = max
[a,b] |f|. Théorème :N1 ,N2 et N∞ sont trois normes surC0([a, b],R), avec :
N1 ≤√
b−aN2 ≤(b−a)N∞,
mais elles sont deux à deux non équivalentes(utiliserfn:t→ t−a b−a
n
).
N1 est ditenorme de la convergence en moyenne sur [a, b],
N2 est ditenorme de la convergence en moyenne quadratique sur [a, b], N∞ est dite norme de la convergence uniforme sur [a, b].
Dém. pas de difficulté particulière, une fois noté que N2 est la norme associée au produit scalaire (f, g)→
b a
f.g.
NB : N1 etN∞ sont également définies surC0([a, b],C), |·|désignant alors le module.
e) Norme N∞ sur l’espace ℓ∞(E) des suites bornées
Soit (E, · ) un espace vectoriel normé. L’ensemble ℓ∞(E) des suites bornées d’éléments deE est un sous-espace du K-espace vectorielEN et
N∞:u= (un)n∈N→N∞(u) = sup
n∈N
un
est une norme sur ℓ∞(E).
L’ensemble des suites convergentes d’éléments de E est un sous-espace vectoriel deℓ∞(E).
f) Norme N1 sur l’espace ℓ1
On note ℓ1 l’ensemble des suites réelles(un)telles que la série |un|converge.
Théorème :ℓ1 est un sous-espace vectoriel deRN etN1: (un)n∈N→ ∞
n=0|un|est une norme surℓ1. g) Norme N2 sur l’espace ℓ2
On note ℓ2 l’ensemble des suites réelles(un)telles que la série u2n converge.
Théorème :ℓ2 est un sous-espace vectoriel de RN et l’on définit un produit scalaire surℓ2 en posant, pour u= (un)n∈N etv= (vn)n∈N, (u|v) =
∞ n=0
unvn. Ainsi N2:u= (un)n∈N→ ∞
n=0
u2n
1/2
est une norme euclidienne sur ℓ2.
Propriété : on a ℓ1 ℓ2 ℓ∞(R), N∞ ≤ N2 ≤ N1 dans ℓ1 et N∞ ≤ N2 dans ℓ2 ; mais N1 et N∞
(resp. N2 etN∞) ne sont pas équivalentes dans ℓ1 (resp. ℓ2), ni N1 etN2 dansℓ1.
7) Relations de comparaison entre suites
a) Domination
(un)∈EN estdominée par (αn)∈RN si et seulement si :
∃M ∈R+ ∃n0 ∈N ∀n∈N n≥n0 ⇒ un ≤M.|αn| On note alors : un=O(αn) (lire “grand O” de αn).
NB : si(αn)ne s’annule pas à partir d’un certain rang,un=O(αn)signifie que 1
αn ·un est bornée.
Exemple : un=O(1)signifie que (un) est bornée.
b) Prépondérance — négligeabilité
(un)∈EN estnégligeable devant (αn)∈RN si et seulement si :
∀ε∈R+∗ ∃n0∈N ∀n∈N n≥n0⇒ un ≤ε.|αn| On note alors : un=o(αn) (lire “petit O” de αn).
On dit aussi que (αn) estprépondérante devant (un).
NB : si (αn) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, un = o(αn) signifie que α1n ·un converge vers 0.
Exemple : un=o(1)signifie que (un) converge vers 0.
c) Équivalence
(un) et(vn) deEN sontéquivalentes si et seulement si : un−vn=o( vn ).
On note alors : un∼vn (lire “un équivalent à vn”).
La relation ainsi définie sur EN est une relation d’équivalence !
NB : lorsque (un) et (vn) sont à valeurs dans K = R ou C et si (vn) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, un∼vnsignifie que un
vn
converge vers 1.
Exemple : pour ℓ= 0, un∼ℓsignifie que (un) converge versℓ.
Attention ! un∼0signifie que un est nul à partir d’un certain rang. . . Propriétés :soient(un),(vn),(xn) et(yn) à valeurs réelles.
a)Siun∼vn et si(vn)admet une limite ℓ(finie ou infinie), alors(un) admet aussi pour limite ℓ.
b)Si un∼vn, alorsunet vnsont de même signe à partir d’un certain rang.
c)Siun∼vn etxn∼yn, alorsunxn∼vnyn.
d)Si un∼vn etvn non nul à partir d’un certain rang, alors 1 un ∼ 1
vn.
e)Si un∼vn,un, vn dansR+∗ etα∈R, alorsuαn∼vnα (αexposantconstant).
f)Si un ∼ vn, un, vn dans R+∗, admettant une limite dans [0,+∞] différente de 1, alors lnun∼lnvn.
g)eun ∼evn si et seulement si(un−vn) converge vers 0.
Attention ! “(un−vn) converge vers 0” n’est pas équivalent à “un∼vn” !
II
II - Topologie d’un espace vectoriel normé
Soient (E, · )un espace vectoriel normé, x un point deE etA une partie deE.
1) Voisinages, ouverts et fermés
•A estun voisinage de xsi et seulement si : ∃r >0 B(x, r)⊂A ;
•A estun ouvert de E si et seulement si A est voisinage de chacun de ses points ;
•A estun fermé de E si et seulement si son complémentaire est un ouvert.
Exemples : les boules ouvertes sont des ouverts, les boules fermées sont des fermés.
Dans R, les demi-droites fermées sont des fermés. . . Premières propriétés :
1) Toute réunion d’ouverts est un ouvert, toute intersectionfinied’ouverts est un ouvert.
2) Toute intersection de fermés est un fermé, toute réunionfiniede fermés est un fermé.
Attention !
n∈N∗
0,1 + 1
n = ]0,1],
n∈N∗
0,1− 1
n = [0,1[ne sont ni ouverts, ni fermés.
∅etE sont à la fois ouverts et fermés (on montrera que ce sont les seules parties ouvertes et fermées deE).
2) Intérieur, adhérence, frontière, parties denses
•x estintérieur à A si et seulement si : ∃r >0 B(x, r)⊂A(i.e. A est un voisinage de x)
•l’intérieur de A, noté A, est la réunion des ouverts inclus dans˚ A ; c’est le plus grand ouvert de E inclus dansA ; c’est aussi l’ensemble des points deE intérieurs àA
•xest adhérent à A si et seulement si : ∀r >0 B(x, r)∩A=∅ ; en particulier tout point deA est adhérent àA, même si cette notion n’est “intéressante” que pour un point n’appartenant pas àA
•l’adhérence de A, notéeA, est l’intersection des fermés contenant¯ A; c’est le plus petit fermé de E contenant A; c’est aussi l’ensemble des points de E adhérents à A
•x est un point frontière de A si et seulement s’il est adhérent à A et adhérent à E\A (autrement dit adhérent àA mais non intérieur àA)
•la frontière de Aest l’ensemble FrA= ¯A\A˚des points frontières deA.
Exemples : les boulesB(x, r) etBf(x, r) ont pour frontière la sphère S(x, r) ;
dansR, la frontière de QestRtout entier ! Toujours dans R, sous réserve d’existence, la borne inférieure ou supérieure d’une partie est un point adhérent à cette partie.
Attention ! Dans ce contexte,A¯ n’est pas le complémentaire deA etRn’est pas [−∞,+∞]! Propriétés :pour toute partie AdeE, on a A˚⊂A⊂A,¯ E\A˚=E\A,E\A¯=
◦
E\A;
A est ouvert si et seulement siA= ˚A ;A est fermé si et seulement siA= ¯A.
Caractérisation séquentielle des points adhérents, des parties fermées
•Un pointx deE est adhérent àAsi et seult s’il existe une suite de points de Aconvergeant vers x.
•A est un fermé deE si et seult si toute suite convergented’éléments de Aa sa limite dans A.
Parties denses : une partieDdeAest ditedense dans Asi et seulement si tout point deAest adhérent à D,i.e. tout point de Aest limite d’une suite de points de D, ou encoreA⊂D.¯
Exemples : QetR\Qsont denses dansR ;GLp(K) est dense dans Mp(K).
III
III - Étude locale d’une application — Continuité
Dans toute cette section,E etF sont deux espaces vectoriels normés, les deux normes étant notées · . Attention ! En dimension infinie, les notions suivantes dépendent a priori du choix desdites normes.
1) Notion de limite
Définition :soientA une partie non vide de E, aun point deE adhérent à A,f :A→F etb∈F. f admet b pour limite au point asi et seulement si
∀ε >0 ∃δ >0 ∀x∈A x−a ≤δ⇒ f(x)−b ≤ε.
Lorsqu’un telbexiste il est unique ; on dit alors quebestla limite de f en aet l’on note : b= lim
a f ou b= lim
x→af(x)
Extensions :
•lorsqueE =R etA non majorée, on dit que a= +∞est adhérent à A et alorsf :A →F admet b∈F pour limite en +∞ssi
∀ε >0 ∃K >0 ∀x∈A x≥K ⇒ f(x)−b ≤ε
•lorsqueE =R etA non minorée, on dit que a=−∞ est adhérent à A et alorsf :A →F admet b∈F pour limite en −∞ssi
∀ε >0 ∃K >0 ∀x∈A x≤ −K ⇒ f(x)−b ≤ε
•lorsqueF =R, on dit quef :A→Radmet b= +∞pour limite en a(adhérent àA dans E) ssi
∀M >0 ∃δ >0 ∀x∈A x−a ≤δ⇒f(x)≥M
•lorsqueF =R, on dit quef :A→Radmet b=−∞pour limite en a(adhérent àA dans E) ssi
∀M >0 ∃δ >0 ∀x∈A x−a ≤δ ⇒f(x)≤ −M Interprétation en termes de voisinages
Dans R, on appellevoisinage de +∞(resp. −∞) toute partie contenant une demi-droite ouverte de la forme ]a,+∞[(resp. ]−∞, a[). Alors, en notant VE(a) l’ensemble des voisinages dans E dea, toutes les définitions ci-dessus peuvent s’écrire de façon unifiée : f admetbpour limite en asi et seulement si
∀W ∈ VF(b) ∃V ∈ VE(a) f(A∩V)⊂W.
2) Caractérisation séquentielle de l’existence d’une limite finie
Théorème :soit a adhérent à une partie A deE et f :A → F ; f admet une limite finie en a si et seulement si l’image parf de toute suite d’éléments deAconvergeant versaest une suite convergente dans F.
De plus, si lim
x→af(x) =bet lim
n→∞un=a, avec(un)∈AN, alors lim
n→∞f(un) =b.
NB : ce résultat se généralise au cas oùa=±∞(dans R) ainsi qu’au cas où les suites images ont pour limite +∞ou −∞ (lorsqueF =R).
3) Opérations sur les limites
•Linéarité de la limite : banal.
•Composition de limites : soient G un troisième espace vectoriel normé etf :A→F,g:B→Goù Best une partie deF telle que f(A)⊂B; si aest adhérent àAet si f admet une limite finieben a, alors best adhérent à B; si, en outre, lim
b g=c, alorslim
a g◦f =c.
•Limite d’une fonction à valeurs dans un espace produit : on reprend les notations du § I.6.c) et l’on munit E =
p k=1
Ek de la normeN∞. Soit D un autre espace vectoriel normé,A une partie de D,aadhérent àAetf :A→E. f est caractérisée par lesapplications composantes fk=pk◦f, où pk est laprojection canonique pk: (x1, . . . , xp)→xk.
f admet une limite en a dans E si et seulement si, pour toutk ∈[[1, p]], fk admet une limite en a dansEk. Si c’est le cas,lim
a f = lim
a f1, . . . ,lim
a fp .
4) Applications continues
Définition :soitf :A→F ; si a∈A,f est continue en asi et seulement si f admet une limite finie en a(cette limite étant nécessairement égale à f(a)).
f est continue (sur A) si et seulement si f est continue en tout point de A.
Soit B⊂A ;f est continue sur B si et seulement sif|B est continue surB.
Prolongement par continuité : si f :A→F,a∈E\A, aadhérent àA et sif admet une limite finie b ena, alorsf admet un unique prolongement f à A∪ {a}continu en a, défini par :
f(x) = f(x) si x∈A b si x=a .
Caractérisation séquentielle de la continuité :
f est continue enasi et seulement si, pour toute suite(un) d’éléments deAconvergeant versa,la suite image (f(un))converge dans F (c’est alors nécessairement versf(a)).
Exemples :
1) toute fonction lipschitzienne est continue (sif estk-lipschitzienne, choisir δ=ε/k) ; 2) toute normeN :E →Rest continue (car 1-lipschitzienne de (E, N)dans (R,|·|)).
Opérations sur les fonctions continues :
•L’ensemble C(A, F) des fonctions continues de A dansF est un K-espace vectoriel.
•L’ensemble C(A,K) des fonctions continues de A dansKest une K-algèbre.
•Composition : sif :A→F etg:B→Gsont continues et sif(A)⊂B, alorsg◦f est continue.
•Restriction : si f :A→F est continue sur A etB⊂A, alorsf est continue sur B.
Attention ! La fonction partie entière deRdansRest continue sur [0,1[mais n’est pas continue en 0.
Raisonnement par densité : soient deux applications continuesf etg deA dans F etB une partie de A, dense dans A. Sif et gcoïncident sur B, alors elles sont égales sur A.
Exemple : siE est unK-espace vectoriel de dimension finie et u, vdans L(E), alorsχu◦v =χv◦u. Théorème :images réciproques d’ouverts et de fermés par une fonction continue
Soit f :E →F continue surE (E est l’espace de départ tout entier) ;
∗ si Ωest un ouvert de F, alors f−1(Ω)est un ouvert de E ;
∗ si Φest un fermé de F, alors f−1(Φ)est un fermé de E.
Cas particuliers : pour f :E →R, continue sur E etα∈R,
• {x∈E / f(x)> α},{x∈E / f(x)< α} et{x∈E / f(x) =α} sont des ouverts deE.
• {x∈E / f(x)≥α},{x∈E / f(x)≤α} et{x∈E / f(x) =α} sont des fermés deE.
Exemple : det :Mn(K)→Kest continue, doncGLn(K) = det−1(K\ {0}) est un ouvert deMn(K).
5) Continuité des applications linéaires
Soient (E, N)et (F, N′) deux espaces vectoriels normés.
Théorème :u∈ L(E, F) est continue surE si et seulement s’il existe kdans R+ tel que
∀x∈E N′ u(x) ≤k.N(x). Si c’est le cas,u est k-lipschitzienne.
Dém. La condition suffisante est immédiate : si je suppose l’existence de k, la linéarité de u montre aussitôt queu est k-lipschitzienne, donc continue.
Pour la réciproque, je suppose u continue en 0 (ce sera suffisant !). Avec ε = 1, la définition de la continuité en 0 me fournitδ >0 tel que (puisqueu(0) = 0)
∀x∈E N(x)≤δ⇒N′ u(x) ≤1.
Soit alorsx non nul dansE. J’ai N δ
N(x) ·x =δ, donc par construction N′ u δ
N(x) ·x ≤1 d’où N′ u(x) ≤ 1 δN(x) et donc k= 1
δ convient (l’inégalité étant encore vraie pourx= 0! Exemple : soitE=C([0,1],K), muni de la normeN1 ;u:f →
1 0
f est continue deE dansK, tandis que v:f →f(1) ne l’est pas. . .
NB : nous verrons que toutes les applications linéaires sont continues en dimension finie.
IV
IV - Compacité (complément hors programme)
1) Définition
Une partie A d’un espace vectoriel normé E est compacte si et seulement si toute suite d’éléments de A admet une sous-suite convergeant vers un élément deA. On dit aussi que A est un compact deE.
2) Premières propriétés
Tout compact d’un espace vectoriel normé est fermé et borné.
Réciproque fausse ! La boule Bf(0,1)dansK[X]muni de la normeN1 est fermée bornée mais non compacte : la suite (Xn) n’admet aucune sous-suite convergente !
Exemples fondamentaux :
•les compacts deKsontles fermés bornés (c’est le théorème de Bolzano-Weierstrass de MPSI !) ;
•les segments sontdescompacts deR, mais il y a dansRdes compacts qui ne sont pas des intervalles.
3) Image directe d’un compact par une fonction continue
Théorème :si f : A → F est continue sur A et K compact de E inclus dans A, alors f(K) est un compact de F.
Corollaire : si f est à valeurs réelles et continue sur un compact non vide K, alors f est bornée sur K et atteint ses bornes, notéesmin
K f,max
K f, lesextremums globaux def sur K(en effet, la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie de R est adhérente à cette partie, dès qu’elle existe).
Cas particulier : toute application continue sur un compact non vide est bornée et les bornes supérieure et inférieure de sa norme sont atteintes.
V
V - Espaces vectoriels normés de dimension finie
1) Compléments hors programme
a) Équivalence des normes en dimension finie — conséquences
Théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée de Kp possède une sous-suite convergente pour la norme N∞.
Corollaire : les parties compactes deKp muni de la normeN∞ sont les parties fermées bornées.
Corollaire : dansKp, toutes les normes sont équivalentes.
Théorème fondamental
Dans un K-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
b) Compacité
Théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée d’unK-espace vectoriel de dimension finie possède une sous-suite convergente (pour n’importe quelle norme !).
Théorème :dans unK-espace vectoriel de dimension finie, les parties compactes sont les fermés bornés.
2) Les résultats au programme dans la filière PSI
a) Notions indépendantes du choix de la norme
Dans un K-espace vectoriel de dimension finie, les notions de point intérieur, d’intérieur d’une par- tie, de point adhérent, d’adhérence d’une partie, de parties bornées, ouvertes, fermées, de fonctions lipschitziennes, de limite et de continuité sont indépendantes du choix de la norme.
b) Utilisation des coordonnées
Dans unK-espace vectorielF de dimension finied, pour l’étude d’une limite, il est inutile de préciser au sens de quelle norme et l’on peut se ramener à l’étude des coordonnées dans une baseB= (e1, . . . , ed) deF.
Pour qu’une suite(un)n∈Nde vecteurs deFsoit convergente, il faut et il suffit que lesdsuites coordonnées soient convergentes (k∈[[1, d]]) ; si c’est le cas, les coordonnées de la limite sont les limites des suites coordonnées.
De même pour une application à valeurs dans F : soientA une partie non vide d’un espace vectoriel norméE,f :A→F etf1, . . . , fq les applications coordonnées associées àf vérifiant
∀x∈A f(x) =
q
k=1
fk(x).ek.
Alorsf admet une limite ena(adhérent àAdansE) si et seulement si lesfk,k∈Nq admettent toutes une limite en a; si c’est le cas,
lima f =
q
k=1
lima fk .ek.
c) Fonction continue sur une partie fermée bornée non vide
Théorème :siE est un espace vectoriel normé de dimension finie etK une partie non vide, fermée et bornée deE, alors toute fonction continue de K dans Rest bornée et atteint ses bornes.
Exemple : siK est une partie fermée, bornée, non vide deE etx∈E, alors
∃a∈K d(x, K) = x−a ;
en effet, f :y → x−y est 1-lipschitzienne donc continue sur K : elle atteint sa borne inférieure sur K, qui n’est autre que d(x, K).
d) Continuité des applications linéaires et multilinéaires
Théorème :toute application linéaire d’unK-espace vectorielde dimension finieE dans un espace vectoriel normé F est lipschitzienne, donc continue.
Théorème :plus généralement, si E1, . . . , Ep sont des K-espaces vectoriels de dimension finie, toute application p-linéairef de l’espace produit p
k=1
Ek dans un espace vectoriel normé F est continue et il existe M dansR+ tel que
∀(x1, . . . , xp)∈
p k=1
Ek f(x1, . . . , xp) ≤M·
p k=1
xk .
Exemples (oùE est un espace vectoriel normé de dimension finie) :
•(λ, x)→λ.xest continue surK×E ;
•(x, y)→(x|y) est continue surE×E, si E est un espace vectoriel euclidien ;
•(u, v)→u◦v est continue surL(E)× L(E) ;
•(A, B)→A×B est continue surMn(K)× Mn(K) ;
•une baseB de E étant donnée, le déterminant dans la baseBest continu deEn dans K.
Exercice : dans un espace vectoriel normé de dimension finie, tout sous-espace vectoriel est un fermé.
e) Continuité des applications polynomiales
Définition :on appelle monôme sur Kn toute application de Kndans Kde la forme (x1, . . . , xn)→xα11· · ·xαnn où (α1, . . . , αn)∈Nn.
On appelle fonction polynomiale de Kn dans Ktoute combinaison linéaire de monômes.
On appellefonction polynomiale de E dans F (oùE etF sont deuxK-espaces vectoriels de dimension finie) toute fonction dont les applications coordonnées dans une base de F sont des fonctions polynomiales des coordonnées dans une base de E (c’est alors le cas quelles que soient les bases choisies dans E et F, d’après les formules de changement de base).
Théorème :toute fonction polynomiale d’un K-espace vectoriel de dimension finie dans un autre est continue.
Dém. Conséquence immédiate des théorèmes opératoires classiques et de la continuité des formes linéaires coordonnées.
Exemples (oùE est un espace vectoriel normé de dimension finie) :
•l’applicationM →detM est continue deMn(K)dans K
•l’applicationM →χM est continue deMn(K) dansKn[X]
•GLn(K) est un ouvert dense deMn(K) et l’applicationM →M−1 est continue surGLn(K)
•l’applicationu→detu est continue deL(E) dansK(oùE est unK-e.v. de dimension finie)
•l’applicationu→χu est continue de L(E) dansKn[X]
•GL(E) est un ouvert dense deL(E) et l’application u→u−1 est continue sur GL(E).
VI
VI - Séries de vecteurs — normes subordonnées (hors programme)
1) Convergence d’une série de vecteurs
Soit(E, · )un espace vectoriel normé ; on définit comme dansKla notion de convergence d’une série : étant donnée une suite (xn) de vecteurs de E, on dit que la série xn converge si et seulement si la suite (Sp) des sommes partielles converge, où
∀p∈N Sp=
p n=0
xn.
En cas de convergence, la limite de (Sp) est un vecteur de E, appelésomme de la série et noté ∞
n=0
xn.
2) Convergence absolue
On dit que la série de vecteurs xn estabsolument convergente dans (E, · )si et seulement si la série numérique xn converge. En dimension infinie cette notion dépenda priori du choix de la norme. . . Théorème :dans un K-espace vectoriel de dimension finie, la notion de convergence absolue ne
dépend pas du choix de la norme.
Dém.SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie,N1etN2 deux normes surEet xnune série de vecteurs deE. Le fait que les deux séries numériques N1(xn)et N2(xn)soient de même nature découle immédiatement de l’équivalence des normes : puisqueE est de dimension finie, je dispose deα etβ strictement positifs tels que
∀n∈N αN1(xn)≤N2(xn)≤βN1(xn) d’où le résultat puisqueN1(xn) =O N2(xn) etN2(xn) =O N1(xn) .
Par conséquent, la notion de convergence absolue est bien indépendante du choix de la norme.
NB : comme on pouvait s’y attendre, ce résultat est faux en dimension infinie ; voir par exemple dans K[X]la série
n≥1
Xn
n avec les deux normes N1 :P →
1
0 |P| et N2:P →max
[0,1] |P|.
Théorème :dans un K-espace vectoriel de dimension finie E, toute série absolument convergente converge.
Dém. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et xn une série absolument convergente de vecteurs de E. En vertu du théorème précédent, je peux choisir une norme “pratique” ; soit B= (e1, . . . , ed) une base deE etN∞ la norme classique définie par :
∀v= d
k=1
vk.ek N∞(v) = max
1≤k≤d|vk|.
L’hypothèse de la convergence de la série N∞(xn) assure alors la convergence absolue des “séries coordonnées” des vecteurs xn dans la base B. Donc toutes ces séries coordonnées convergent dans K, ce qui assure la convergence dans E de la suite des sommes partielles (les coordonnées des sommes partielles de la série de vecteurs sont les sommes partielles des séries coordonnées !).
Par conséquent la série de vecteurs xn converge.
3) Exemples dans
L(E)en dimension finie
a) Normes subordonnées dans L(E)
Pour E K-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une norme N, on définit sur L(E) une norme, ditenorme subordonnée à N, en posant :
∀u∈ L(E) u = max
x∈BN u(x) (oùB est la boule unité fermée de E).
On a alors :
∀u∈ L(E) ∀x∈E N u(x) ≤ u N(x) et :
∀(u, v)∈ L(E)2 v◦u ≤ u · v d’où par récurrence immédiate : ∀u∈ L(E) ∀n∈N un ≤ u n.
On dispose alors des exemples classiques suivants et des exemples correspondants dans Mn(K), en utilisant une norme sur Mn(K) définie par N(A) = CanA où · est une norme subordonnée sur L(Kn).
b) Séries géométriques
Siu∈ L(E) vérifie u <1, alors la série un est absolument convergente,IdE−u est inversible et (IdE −u)−1= ∞
n=0
un.
Dém. un ≤ u n fournit la convergence absolue, donc la suite (Sp) des sommes partielles converge vers un élément S deL(E) ; or, vu l’hécatombe,
∀p∈N (IdE−u)◦Sp= (IdE−u)◦
p n=0
un= IdE−up+1p→∞−→ IdE.
Par ailleurs, comme l’application v →(IdE −u)◦v est continue (car linéaire en dimension finie), j’ai (IdE−u)◦Sp −→
p→∞(IdE−u)◦S d’où, par unicité de la limite, (IdE−u)◦S = IdE. La dimension finie permet de conclure.
c) Série exponentielle
Pour toutude L(E), la série d’endomorphismes 1
n!·unest absolument convergente ; sa somme est un endomorphisme de E, appelé l’exponentielle de u, noté
expu=
∞ n=0
1
n!·un et expu ≤e u . Dém.
!!
!!1 n!·un
!!
!!≤ u n
n! fournit la convergence absolue et un passage à la limite dans l’inégalité trian- gulaire donne expu ≤e u .
NB : en généralisant à L(E) le produit de Cauchy dans C, on montre que, siu et v commutent dans L(E), alors
exp (u+v) = expu◦expv.
On définit de même l’exponentielle d’une matrice carrée.
Exemple : dans Md(K), pour une matriceA diagonalisable, le calcul deexpA est aisé. Si P−1AP = ∆ = diag (λ1, . . . , λd)
il vient
∀p∈N
p
n=0
1
n!An=Pdiag
" p
n=0
λn1 n!, . . . ,
p
n=0
λnd n!
# P−1 puis, par continuité de l’application linéaireM →P MP−1,
expA=Pdiag eλ1, . . . , eλd P−1 où l’on (re)démontre au passage la convergence de la série !
