2 Sous-espace vectoriel d’un K -espace vectoriel

(1)

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Chapitre XVII Espaces vectoriels

Table des matières

1 Notion d’espace vectoriel 1

2 Sous-espace vectoriel d’unK-espace vectoriel 3

3 Sous-espace vectoriel engendré par une partie d’unK-ev 4

4 Somme de sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel 5

5 Sous-espaces vectoriels supplémentaires 6

Notation :Dans tout ce chapitre, la lettreKdésigneRouC.

1 Notion d’espace vectoriel

Définition 1 (Espace vectoriel).

UnK-espace vectoriel est la donnée d’un triplet (E,+, .) où :

• Eest un ensemble ;

• +est une loi de composition interne surE, i.e. une application :

¯

+ : E×E → E (u,v) 7→ u+v ;

• . est une loi de composition externe surEà opérateurs dansK, i.e. :

¯

. : K×E → E

(λ,u) 7→ λ.u vérifiant les propriétés suivantes.

1. ∀(u,v,w)∈E³ (u+v)+w=u+(v+w)=:u+v+w (+est associative) 2. ∃0E∈E ∀u∈E 0E+u=u+0E=u (+possède un élément neutre)

3. ∀u∈E ∃v∈E u+v=v+u=0E (tout élément deEpossède un opposé) 4. ∀(u,v)∈E² u+v=v+u (+est commutative)

5. ∀u∈E 1_K.u=u (1_Kest neutre pour .)

6. ∀(λ,µ)∈K² ∀u∈E λ.(µ.u)=(λ×_Kµ).u (associativité mixte) 7. ∀λ∈K ∀(u,v)∈E² λ.(u+v)=λ.u+λ.v (distributivité à droite) 8. ∀(λ,µ)∈K² ∀u∈E (λ+Kµ).u=λ.u+µ.u (distributivité à gauche)

Théorème 1 (Conséquences des axiomes deK-espace vectoriel).

Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel.

1. L’élément 0_Ede la propriété 2 de la définition 1 est unique. Il est appelé vecteur nul deE.

2. Soitu∈E. L’élémentvdeEtel quev+u=u+v=0_Eest unique (cf. propriété 3 de la définition 1). Il est appelé opposé deuet est noté−u.

3. ∀u∈E 0_K.u=0E

4. ∀u∈E (−1_K).u= −u

(2)

Remarque 1 (Une résolution d’équation « type » dans unK-espace vectoriel).

Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel. Soient (u₁,u₂)∈E²etλ∈K^∗. Alors l’équation : u1+λ.u=u2

d’inconnueu∈Epossède une unique solution : 1

λ(u₂−u₁).

Exemple 1 (L’espace des vecteurs du plan).

L’ensembleP~ des vecteurs du plan, muni de :

¯

+ : P~×P~ → P~†

(~u,~v) 7→ ~u+~v et

¯

. : K×P~ → P~ (λ,~u) 7→ λ.~u est unR-espace vectoriel (d’où la terminologie).

Exemple 2 (LeK-espace vectorielKⁿ(n∈N^∗)).

Soitn∈N^∗. L’ensembleKⁿdesn-uplets d’éléments deKmuni de :

¯

+ : Kⁿ×Kⁿ → Kⁿ

((x₁, . . . ,x_n), (y₁, . . . ,y_n)) 7→ (x₁+Ky₁, . . . ,x_n+Ky_n) et

¯

. : K×Kⁿ → Kⁿ

(λ, (x1, . . . ,xn)) 7→ (λ×Kx1, . . . ,λ×Kxn)

est unK-espace vectoriel. Le vecteur nul deKⁿest 0_Kⁿ=(0_K, . . . , 0_K). L’opposé d’un vecteur (x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿest (−x₁, . . . ,−x_n).

Exemple 3 (LeK-espace vectoriel de fonctionsK^Ω=F(Ω,K)(Ωensemble)).

SoitΩun ensemble non vide. L’ensembleK^Ω=F(Ω,K) des applications deΩdansRmuni de :

¯

+ : K^Ω×K^Ω → K^Ω (f,g) 7→

¯

f +g : Ω → K

ω 7→ f(ω)+Kg(ω) et

¯

. : K×K^Ω → K^Ω

(λ,f) 7→

¯

λ.f : Ω → K ω 7→ λ×Kf(ω) est unK-espace vectoriel. Le vecteur nul deK^Ωest :

¯

0_KΩ : Ω → K

ω 7→ 0_K . L’opposé d’un vecteurf ∈K^Ωest :

¯

−f : Ω → K ω 7→ −f(ω) . Exemple 4 (LeK-espace vectoriel des suitesK^N=F(K,N)).

L’ensembleK^N=F(N,K) des suites d’éléments deKindicées parNmuni de :

¯

+ : K^N×K^N → K^N ((u_n), (v_n)) 7→ (u_n+Kv_n)

et

¯

. : K×K^N → K^N

(λ, (u_n)) 7→ (λ×Ku_n)

est unK-espace vectoriel. Le vecteur nul deK^Nest 0_Kⁿ=(0_K, 0_K, . . . , 0_K, . . .). L’opposé d’un vecteur (u_n)∈K^N est (−u ).

(3)

Exemple 5 (LeK-espace vectoriel des matricesMn,p(K)(n,p∈N^∗)).

Soientnetpdes entiers naturels non nuls. L’ensembleMn,p(K) des matrices de formatn×p à coefficients dansKmuni de :

¯

+ : Mn,p(K)×Mn,p(K) → Mn,p(K) ((a_{i j}), (b_{i j})) 7→ (a_{i j}+Kb_{i j})

et

¯

. : K×Mn,p(K) → Mn,p(K) (λ, (ai j)) 7→ (λ×Kai j)

est unK-espace vectoriel. Le vecteur nul deMn,p(K) est la matrice de formatn×pdont tous les coefficients valent 0_K. L’opposé d’un vecteur (a_{i j})∈Mn,p(K) est (−a_{i j}).

Exemple 6 (LeK-espace vectoriel des polynômes à coefficients dansK).

L’ensembleK[X] des polynômes à coefficients dansKmuni de :

¯

+ : K[X]×K[X] → K[X] Ã+∞

X

k=0

a_kX^k,

+∞X

k=0

b_kX^k

! 7→

+∞X

k=0

(a_k+Kb_k)X^k

et

¯

. : K×K[X] → K[X]

Ã λ,

+∞X

k=0

a_kX^k

! 7→

+∞X

k=0

λ×Ka_kX^k

est unK-espace vectoriel. Le vecteur nul deK[X] est le polynôme dont tous les coefficients valent 0_K. L’opposé d’un vecteurP=

+∞X

k=0

a_kX^k∈Mn,p(K) est−P=

+∞X

k=0

−a_kX^k.

2 Sous-espace vectoriel d’un K -espace vectoriel

Notation :On fixe unK-espace vectoriel (E,+, .) pour toute cette partie.

Définition 2 (Sous-espace vectoriel deE).

SoitF une partie deE. On dit queF est un sous-espace vectoriel deE si les trois propriétés suivantes sont vérifiées.

1. 0_E∈F

2. Fest stable par addition, i.e. :

∀(u₁,u₂)∈F² u₁+u₂∈F.

3. Fest stable par multiplication par un scalaire, i.e. :

∀λ∈K ∀u∈F λ.u∈F.

Exemple 7.

{0_E} etEsont des sous-espaces vectoriels deE, appelés sous-espaces vectoriels triviaux.

Théorème 2 (Un critère pour être un sous-espace vectoriel deE).

SoitFune partie deE. AlorsFest un sous-espace vectoriel deEsi seulement si les deux propriétés suivantes sont vérifiées.

1. F6= ;

2. Fest stable par combinaison linéaire, i.e. :

∀(λ1,λ2)∈K² ∀(u₁,u₂)∈F² λ1.u₁+λ2.u₂∈F.

(4)

Exercice d’application 1.

1. Montrer queF:=©

(x,y,z)∈R³|x+y−7z=0ª

est un sous-espace vectoriel deR³.

2. Soitn∈N^∗. Montrer que l’ensembleF:={M∈Mn(K)|^tM=M} (ensemble des matrices symétriques à coefficients dansKde formatn×n) est un sous-espace vectoriel deMn(K).

3. Montrer queP =©

(x,x²)|x∈Rª

n’est pas un sous-espace vectoriel deR².

4. Montrer queF:={f ∈F(R,R)|f est dérivable etf⁰−6f =0} est un sous-espace vectoriel deF(R,R).

Théorème 3 (Structure de l’ensemble solution d’un système linéaire homogène).

Soit (S) un système linéaire homogène denéquations d’inconnue (x1, . . . ,xp)∈K^p, oùnetpsont des entiers naturels non nuls. Alors l’ensemble solution de (S) est un sous-espace vectoriel deK^p.

1. Que dire de l’ensemble solution du système : (S) :

½ x₁ + x₂ − x₃ = 0

x₁ + 3x₂ + 5x₃ = 0 d’inconnue (x₁,x₂,x₃)∈K³?

2. Que dire de l’ensemble solution du système : (S) :

½ x₁ − 5x₂ = 1

2x₁ + x₂ = −2 d’inconnue (x₁,x₂)∈K²?

Théorème 4 (Un sous-espace vectoriel deEpossède une structure naturelle deK-espace vectoriel).

SoitFun sous-espace vectoriel deE. Alors les applications :

¯

+F : F×F → F

(u,v) 7→ u+v et

¯

.F : K×F → F

(λ,u) 7→ u induites par les opérations+et . deE, sont bien définies et (F,+F, .F) est unK-espace vectoriel.

Exemple 8.

Le précédent théorème permet de construire de nouveaux espaces vectoriels. Par exemple : F:={(x₁,x₂,x₃,x₄)∈R⁴|x₁+x₂+x₃+x₄=0}

est un sous-espace vectoriel deR⁴(Thm 3). Si l’on munitFde l’addition induite par celle deR⁴et de la multiplication par un scalaire induite par celle deR⁴, alors on obtient un « nouveau » R-espace vectoriel (Thm 4).

Remarque 2 (Description géométrique des sous-espaces vectoriels deR²).

Un repère³ O;~i,~j´

du plan étant fixé, on identifie le plan etR². À l’aide de la théorie de la dimension, nous démontrerons que les sous-espaces vectoriels deR²sont :

• le singleton {O} (sous-espace vectoriel de dimension 0) ;

• les droites passant parO(sous-espace vectoriel de dimension 1) ;

• le plan lui-même (sous-espace vectoriel de dimension 2).

3 Sous-espace vectoriel engendré par une partie d’un K -ev

Notation :On fixe unK-espace vectoriel (E,+, .) pour toute cette partie.

Théorème 5 (L’intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels deEest un sous-espace vectoriel deE).

Soit (F_i)_i∈Iune famille de sous-espaces vectoriels deE. Alors

\

i∈I

F_i :={u∈E| ∀i∈I u∈F_i} est un sous-espace vectoriel deE.

SoientF₁:=©

(x,y)∈R²|x−2y=0ª

etF₂:=©

(x,y)∈R²|4x−5y=0ª

. Donner trois démonstrations du fait que

(5)

Remarque 3 (Une réunion de sous-espaces vectoriels deEn’est pas « en général » un sous-espace vectoriel deE).

Une réunion de deux sous-espaces vectoriels deE n’est « en général »pas un sous-espace vectoriel deE. Par exempleF₁:=©

(x,y)∈R²|x−y=0ª

etF₂:=©

(x,y)∈R²|x+y=0ª

sont des sous-espaces vectoriels deR²(Thm 3), maisF₁∪F₂n’est pas un sous-espace vectoriel deR². En effet (1, 1) et (1,−1) appartiennent àF₁∪F₂, mais (1, 1)+(1,−1)=(2, 0)∉F₁∪F₂.

Théorème 6 (Sous-espace vectoriel engendré par une partie deE).

SoitAune partie deE. On définit la partie Vect(A) deEpar :

Vect(A) := \

Fsev deEtel queA⊂F

F.

Alors Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel deEcontenantA, au sens de l’inclusion, i.e. : (1) Vect(A) est un sous-espace vectoriel deEtel queA⊂Vect(A) ;

(2) pour tout sous-espace vectorielGdeEtel queA⊂G, on a Vect(A)⊂G.

Théorème 7 (Sous-espace vectoriel engendré par une partie finie d’unK-ev).

Soientu₁, . . . ,u_ndes vecteurs deE, oùn∈N^∗. Alors Vect(u₁, . . . ,u_n) est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteursu₁, . . . ,u_n, i.e. :

Vect(u₁, . . . ,u_n) = ©

λ1.u₁+λ2.u₂+. . .+λn.u_n|(λ1,λ2, . . . ,λn)∈Kⁿª

= ( _n

X

i=1

λi.u_i

¯

(λ1,λ2, . . . ,λn)∈Kⁿ )

.

1. Soitu:=(1, 2)∈R².

(a) Donner une représentation paramétrique du sous-espace vectoriel Vect(u) deR². (b) Un repère³

O;~i,~j´

du plan étant fixé, on identifieR²et le plan. Représenter Vect(u).

2. Soientu₁:=(0, 1, 0) etu₂=(0, 1, 1).

(a) Donner une représentation paramétrique du sous-espace vectoriel Vect(u₁,u₂) deR³. (b) Un repère³

O;~i,~j,~k´

de l’espace étant fixé, on identifieR³et l’espace. Représenter Vect(u₁,u₂).

3. Soientu1=(1, 1, 2, 2),u2=(1, 3, 0,−5),u3=(1, 1, 0, 1). Donner une représentation paramétrique du sous- espace vectoriel Vect(u1,u2,u3) deR⁴.

4. Montrer que :

5. Soient

¯

f₁ : R → R

x 7→ e^2x et

¯

f₂ : R → R x 7→ e⁻^x.

(a) Donner une représentation paramétrique du sous-espace vectorielF:=Vect(f₁,f₂), deF(R,R).

(b) Proposer une autre description deF, en se basant sur le cours sur les équations différentielles.

4 Somme de sous-espaces vectoriels d’un K -espace vectoriel

Notations :On fixe (E,+, .) unK-espace vectoriel pour toute cette partie.

Théorème 8 (Somme de deux sous-espaces vectoriels deE).

SoientF₁etF₂deux sous-espaces vectoriels deE. SoitF₁+F₂la partie deEdéfinie par : F₁+F₂:={u₁+u₂|u₁∈F₁etu₂∈F₂} .

F1+F2est donc l’ensemble des élements deEqui sont somme d’un élément deF1et d’un élément deF2. AlorsF1+F2est le plus petit sous-espace vectoriel deEqui contientF1∪F2, au sens de l’inclusion, i.e. :

(1) F1+F2est un sous-espace vectoriel deEtel queF1∪F2⊂F1+F2;

(2) pour toutGun sous-espace vectoriel deEtel queF₁∪F₂⊂G, on aF₁+F₂⊂G.

(6)

SoientF₁:=©

(x₁,x₂,x₃)∈R³:x₁+x₂+x₃=0ª

etF₂=©

(a,a,a)∈R³ :a∈Rª . 1. Démontrer queF₁etF₂sont deux sous-espaces vectoriels deR³. 2. Démontrer queF₁+F₂=R³.

Théorème 9 (Somme de deux sous-espaces vectoriels deE, tous deux engendrés par une partie finie).

Soientu₁, . . . ,u_netv₁, . . . ,v_mdes vecteurs deE, où (n,m)∈(N^∗)².

Vect(u₁, . . . ,u_n)+Vect(v₁, . . . ,v_m)=Vect(u₁, . . . ,u_n,v₁, . . . ,v_m).

Exemple 9.

SoientF₁:=©

(a+b,a,b)∈R³: (a,b)∈R²ª

etF₂:=©

(c, 2c,c)∈R³ :a∈Rª .

1. Montrer queF₁est un sous-espace vectoriel deR³engendré par deux vecteurs, i.e. qu’il peut s’écrire sous la forme Vect(u₁,u₂), oùu₁etu₂sont deux éléments deR³.

2. Montrer queF₂un sous-espace vectoriel deR³engendré par un vecteur, i.e. qu’il peut s’écrire sous la forme Vect(u₃), oùu₃est un vecteur deR³.

3. Qu’en déduire pourF₁+F₂?

Définition 3 (Sous-espaces vectoriels deEen somme directe).

SoientF1etF2deux sous-espaces vectoriels deE. On dit queF1etF2sont en somme directe si :

∀u∈F₁+F₂ ∃! (u₁,u₂)∈F₁×F₂ u=u₁+u₂

i.e. si tout élément deF₁+F₂s’écrit de manièreuniquesous la formeu₁+u₂avecu₁∈F₁etu₂∈F₂. SiF₁etF₂sont en somme directe, alors on noteF₁⊕F₂le sous-espace vectorielF₁+F₂deE. Théorème 10 (Critère pour que deux sous-espaces vectoriels deEsoient en somme directe).

SoientF1etF2deux sous-espaces vectoriels de (E,+, .). AlorsF1etF2sont en somme directe si et seulement si : F₁∩F₂={0_E}.

1. Montrer que les deux sous-espaces vectorielsF₁etF₂deR³considérés dans l’exercice d’application 5 sont en somme directe. Le résultat démontré dans l’exercice d’application 5 se réécrit doncF₁⊕F₂=R³. 2. SoientG₁:=©

(x₁,x₂,x₃)∈R³|x₁−2x₂+3x₃=0ª

etG₂:=©

(x₁,x₂,x₃)∈R³|x₁+x₂−x₃=0ª . (a) Justifier queG₁etG₂sont deux sous-espaces vectoriels deR³.

(b) G₁etG₂sont-ils en somme directe ?

5 Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Notations :Dans cette partie, on fixe (E,+, .) unK-espace vectoriel.

Définition 4 (Sous-espaces vectoriels deEsupplémentaires).

SoientF₁etF₂deux sous-espaces vectoriels deE. On dit queF₁etF₂sont supplémentaires dansE(ou queF₂ est un supplémentaire deF₁dansE, ou queF₁est un supplémentaire deF₂dansE) si :

∀u∈E ∃!(u₁,u₂)∈F₁×F₂ u=u₁+u₂

i.e. si tout élément deEs’écrit de manière unique comme somme d’un élément deF₁et d’un élément deF₂. Remarque 4 (Ne pas confondre complémentaire et supplémentaire).

SoitFun sous-espace vectoriel deE. Le complémentaireFdeFn’est pas un supplémentaire deFdansE. En effet, 0E∈F, donc 0_E∉F. AinsiFn’est pas un sous-espace vectoriel deEet ce ne peut être un supplémentaire deFdansE.

Théorème 11 (Critère pour que deux sous-espaces vectoriels deEsoient supplémentaires).

SoientF1etF2deux sous-espaces vectoriels deE. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes.

1. F₁etF₂sont supplémentaires dansE.

2. F₁⊕F₂=E

(7)

Remarque 5 (Une méthode pour prouver que deux sous-espaces vectoriels deEsont supplémentaires).

SoientF₁etF₂deux sous-espaces vectoriels deE. Pour démontrer queF₁etF₂sont supplémentaires dansE, il suffit d’établir les deux propriétés suivantes.

(A) Tout élémentudeEpeut s’écrire sous la formeu=u₁+u₂, avecu₁∈F₁etu₂∈F₂. (B) F₁∩F₂={0_E}

En effet (A) livreE⊂F₁+F₂. L’inclusionF₁+F₂⊂Eest claire, puisqueF₁+F₂est un sous-espace vectoriel deE. On a doncF1+F2=E. On applique alors le théorème 11 (cf. 3) pour obtenir queF1etF2sont supplémentaires dansE.

On considère à nouveau les deux sous-espaces vectorielsF₁etF₂deR³considérés dans l’exercice d’application 5.

1. On a établi, dans l’exercice d’application 6, que :F₁⊕F₂=R³. D’après le critère précédent, les sous- espaces vectorielsF₁etF₂deR³sont donc supplémentaires dansR³.

(0, 0,c)∈R³:c∈Rª

. Montrer queF₃est un sous-espace vectoriel supplémentaire deF₁dans R³.

4. Montrer queF₂6=F₃. Qu’en déduire ? Exercice d’application 8.

Soientu₁=(1, 3, 1) etu₂=(−3, 4, 5).

(x₁,x₂,x₃)∈R³|x₁+x₂−x₃=0ª

sont des sous-espaces vectoriels deR³.

2. Les sous-espaces vectorielsF₁etF₂sont-ils supplémentaires dansR³? Théorème 12 (Existence d’un supplémentaire pour un sous-espace vectoriel deE).

Tout sous-espace vectoriel deEpossède un supplémentaire dansE.

Ce résultat est admis. Toutefois dans le cas oùEest un espace vectoriel de dimension finie, nous verrons un mode de construction de supplémentaires grâce au théorème de la base incomplète.