Dual d’un espace vectoriel, applications duales, changement de bases

Dual d’un espace vectoriel,

applications duales, changement de bases

1 Forme bilin´ eaire canonique, orthogonalit´ e

On ne consid` ere que des d’espaces vectoriels sur le corps R , cependant tous les r´ esultats ci dessous s’appliqueraient pour des espaces vectoriels sur C

D´ efinition 1.1. Soit E espace vectoriel et E∗ son dual. On appelle dans ce contexte forme bilin´ eaire canonique l’application de E × E ^∗ −→ R qui ` a un couple (v, φ) associe φ(x). On note < v, φ >.

Voici ses propri´ et´ es.

1. Soient v ₁ , v ₂ ∈ E, α ∈ R φ ∈ E ^∗ alors

< v ₁ + v ₂ , φ >=< v ₁ , φ > + < v ₂ , φ >, < αv ₁ , φ >= α < v ₁ ; φ >

2. Soient φ ₁ , φ ₂ ∈ E ^∗ , α ∈ R , v ∈ E alors

< v, φ 1 + φ 2 >=< v, φ 1 > + < v, φ 2 > < v, αφ 1 >= α < vφ 1 >

D´ efinition 1.2. (Orthogonal d’un sous espace ) Etant donn´ e un sous-espace F d’un espace E on appelle orthogonal de F et on note F ^⊥ le sous -espace de E ^∗ constitu´ e par les φ ∈ E ^∗ tels que < v, φ >= 0 pour tout v ∈ F .

En fait il faut montrer que c’est un sous espace.

Proposition 1.3. Etant donn´ ee une famille deux sous-espaces F et G de E on a

F ^⊥ + G ^⊥ = (F ∩ G) ^⊥ ⊂ E ^∗ et

F ^⊥ ∩ G ^⊥ = (F + G) ^⊥ ⊂ E ^∗

Corollaire 1.4. Si F et G sont en somme directe alors i F ^⊥ ∩ G ^⊥ = {0}.).

On remarquera que E ^⊥ = {0} et E = {0} ^⊥ .

Proposition 1.5. Soit F un sous-espace de E, alors dim(F ) + dim(F ^⊥ ) = dim(E)

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2 Transposition

Soit f : E −→ F une application lin´ eaire. On d´ efinit son application transpos´ ee (ou parfois appel´ ee adjointe) ^t f : F ^∗ −→ E ^∗ par φ ∈ F ^∗ 7→ φ ◦ f ∈ E ^∗ . C’est une application lin´ eaire.

Proposition 2.1. On a pour tout v ∈ E, φ ∈ E ^∗

< f (v), φ >=< v, ^t f φ) >

De plus soient f : E −→ F et g : F −→ G des applications lin´ eaires, alors

t (g ◦ f) = ^t f ◦ ^t g

On remarquera que la transpos´ ee de l’identit´ e de E est l’identit´ e de E ^∗ . Le th´ eor` eme suivant est tr` es important :

Th´ eor` eme 2.2. Le rang d’une application lin´ eaire et de sa transpos´ ee sont lse mˆ emes.

Ceci r´ esulte de

Th´ eor` eme 2.3. On a

(Im(f ) ^⊥ = Ker ^t f

(Im ^t ) ^⊥ = Ker(f)

3 Un exemple important

On consid` ere les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a n, soit P _n . Rappelons que

• Le syst` eme (1, X, X ² , . . . , X ⁿ ) est une base des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal

`

a n, l’espace est de dimension n + 1.

• Soit P _i un polynˆ ome de la forme X ⁱ + a ₋₁ X ⁱ⁻¹ + . . . + a ₀ , 0 ≤ i ≤ n. le syst` eme P <sub>0</sub> , P <sub>2</sub> , . . . , P <sub>n</sub> est une base des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a n.

Si on choisit un r´ eel a arbitraire. L’application de ev _a P _n dans R qui ` a un polynˆ ome P associe P (a) est une forme lin´ eaire.

• Si a ₀ , . . . , a _n sont des r´ eels deux ` a deux distincts les formes lin´ eaires ev _a

, . . . , ev _a

forment une base de P _n ^∗ .

• Cette base est la duale de la base donn´ ee par les plynˆ omes suivants (dits polynˆ omes d’interpolation de Lagrange) :

(X − a ₀ ) · · · (X − a i−1 )(X − a _i+1 ) · · · (X − a _n )

(a i − a 0 ) · · · (a i − a i−1 )(a i − a i+1 ) · · · (a i − a n ) , i = 0, . . . , n Ceci sera d´ emontr´ ee en exercice.

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4 Matrices et transposition

Dans tout ce qui suit, E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie respectives n et p, on suppose donn´ ees des bases B et B ⁰ .

Proposition 4.1. Soient ϕ une application lin´ eaire de E dans F , sa matrice (dans B et B ⁰ ) A = (a _i,j ) a p lignes et n colonnes. La matrice (b _i,j ) de son application transpos´ ee

t ϕ : F ^∗ −→ E ^∗ (dans les bases duales) a n lignes et p colonnes est la matrice, est not´ ee

t A et est telle que b _i,j = a _j,i .

En effet, notons e _i les vecteurs de B, f _j ceux de B ⁰ , et e ^∗ _i , f _j ^∗ ceux des bases duales. par d´ efinition de A

ϕ(e _i ) = X

`=1,...,p

a _{`,i</sub> f <sub>`} et

t ϕ(f _j ^∗ ) = X

h=1,...,n

b _h,j e _h

On applique alors la relation

< ϕ(e _i ), f _j ^∗ >=< e _i , ^t ϕ(f _j ^∗ ) >

Le premier membre est par d´ efinition ´ egal ` a a <sub>j,i</sub> le second ` a b _i,j . Le r´ esultat suit.

On notera que si A a a q lignes et p colonnes et B a p lignes et n colonnes, on a

t (AB) = ^t (B ) ^t (A)

qui a a q lignes et n colonnes. ‘De plus si A est une matrice carr´ ee on a : det(A) = det( ^t A)

Voici enfin la formule de changement de bases. Soient B et B ⁰ deux bases d’un mˆ eme espace vectoriel. Soit P la matrice de passage d´ efinie par

f _j = X

`=1,...,n

p _{`,j</sub> e <sub>`}

Soit Q la matrice de passage dans le dual d´ efinie par f _i ^∗ = X

h=1,...,n

q _h,i e ^∗ _h

On calcule ` a partir de cette dernire formule la quantit´ e δ _i,j =< f _j , f _i ^∗ >=< f _j , X

h=1,...,n

q _h,i e ^∗ _h >= X

h=1,...,n

q _h,i < f _j , e ^∗ _h >= X

h=1,...,n

q _h,i p _h,j

Cette relation dit exactement que :

Q = ^t (P ⁻¹ ) = ( ^t P ) ⁻¹

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5 Formes bilin´ eaires, et application canonique

Soient E et F des espaces vectoriels.

D´ efinition 5.1. Une forme bilin´ eaire ϕ : E × F −→ R est une application v´ erifiant les conditions 1 et 2 de la proposition 1.1. La plupart du temps on supposera que E = F . On notera souvent < x, y > pour ϕ(x, y).

La donn´ ee d’une forme bilin´ eaire ϕ : E × E −→ R permet de d´ efinir une application lin´ eaire ˆ ϕ : E −→ E ^∗ :

Proposition 5.2. La forme bilin´ eaire ϕ: E ×E −→ R d´ etermine une application lin´ eaire x 7→ ϕ(x) ˆ ∈ E ^∗ par la formule

ˆ

ϕ(x)(y) = ϕ(x, y)

D´ efinition 5.3. La forme bilin´ eaire ϕ: E × E −→ R est non d´ eg´ en´ er´ ee si ϕ ˆ est un isomorphisme.

Exemple : sur R ⁿ le produit scalaire < v, w >= P

i v i w i est une forme bilin´ eaire non d´ eg´ en´ er´ ee. Les v _i , w _j sont les coordonn´ ees de v et w dans la base standard.

Si on considre l’espace vectoriel des fonctions int´ egrables sur un intervalle I (f; g) 7→

Z

I

f (t)g(t)dt

est une forme bilin´ eaire. Si on se restreint ` a P _n elle est non d´ eg´ en´ er´ ee.

6 Bidual

Soient E un espace vectoriel. Le dual de E ^∗ est appel´ e le bidual de E et not´ e E ^∗∗ . La forme biln´ eaire canonique de la section 1 d´ etermine une application lin´ eaire E −→ E ^∗∗ . On se contentera d’´ enoncer :

Proposition 6.1. Cette application est injective. Elle est surjective si et seulement si E est de dimension finie. Dans ce cas E ∼ = E ^∗∗ .

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