Math Sup ICAM Toulouse CB10-Correction
C.B. N° 10
ESPACES VECTORIELS
CORRECTION1- Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ? Si oui, en donner une base.
i) E =
{ (x; y; z)
∈ℝ3/ x− =z 0}
= Vect{(1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 1 ; 0)}
ii) F =
{ (x; y; z)
∈ℝ3/ x=z ou x=y}
;
u = (1 ; 0 ; 1)∈F, v = (1 ; 1 ; 0)∈F, mais u + v = (2 ; 1 ; 1) ∉ F ; F n’est pas un ev.
iii) G =
{ (x; y; z; t)
∈ℝ4/ 2x+ =y 0 et x+2y=z}
= Vect{(1 ; -2 ; -3 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1)}
iv) H =
{
P∈ℝ2[ ]
X / P 0( )
=1}
; P = 0 ∉H ; H n’est pas un ev.2- Déterminer un supplémentaire des espaces vectoriels suivants :
i) A =
{ (x; y; z)
∈ℝ3/ x+ − =y z 0}
= Vect{(1 ; -1 ; 0) ; (1 ; 0 ; 1)}
On vérifie que {(1 ; -1 ; 0) ; (1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 0 ; 1)} est une famille libre.
ℝ3= ⊕A Vect
{ (
0;0;1) }
.ii) B =
{
P∈ℝ2[ ]
X / P ' 0( )
=0}
= Vect{X0 ; X2} donc ℝ2[ ]
X = ⊕B Vect X{ }
.
Math Sup ICAM Toulouse CB10-Correction
C.B. N° 10
ESPACES VECTORIELS
CORRECTION1- Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ? Si oui, en donner une base.
i) E =
{ (x; y; z; t)
∈ℝ4/ x=0}
= Vect{(0 ; 1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0 ; 1)}
ii) F =
{ (x; y; z; t)
∈ℝ4/ 2x− =t 0 et x+ + =y z 0}
= Vect{(1 ; 0 ; -1 ; 2) ; (0 ;1 ; -1 ; 0)}
iii) G =
{
P∈ℝ2[ ]
X / P 0( )
=0}
= Vect{X ; X2} iv) H ={ (x; y; z)
∈ℝ3/ x2=y2}
;
u = (1 ; 1 ; 0)∈H, v = (1 ; -1 ; 0) ∈H , mais u + v = (2 ; 0 ; 0)∉H ; H n’est pas un ev
2- Déterminer un supplémentaire des espaces vectoriels suivants :
i) A =
{ (x; y; z)
∈ℝ3/ x+2y− =z 0}
= Vect{(1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 1 ; 2)}
On vérifie que {(1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 1 ; 2) ; (0 ; 0 ; 1)} est une famille libre.
( )
{ }
3= ⊕H Vect 0;0;1
ℝ .
ii) B =
{
P∈ℝ2[ ]
X / P '' 0( )
=0}
= Vect{X0 ; X} donc ℝ2[ ]
X = ⊕T Vect X{ }
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