Espaces vectoriels

Espaces vectoriels

Exercice 1. Sev deK³ engendrés par deux vecteurs

On considère les vecteurs deK³: a= (1,2,1),b= (1,3,2),c= (1,1,0), d= (3,8,5).

Soient F= vect(a, b) et G= vect(c, d). ComparerF etG.

Exercice 2. Essai de bases

Montrer que dansR³, les trois vecteursa= (1,0,1), b= (−1,−1,2) etc= (−2,1,−2) forment une base, et calculer les coordonnées dans cette base d’un vecteurX= (x, y, z).

Exercice 3. Rang de vecteurs

DansR⁴, trouver le rang de la famille de vecteurs :

a= (3,2,1,0), b= (2,3,4,5), c= (0,1,2,3), d= (1,2,1,2), e= (0,−1,2,1).

Exercice 4. Étude de liberté

Étudier la liberté des familles suivantes : 1) E={ fcts : R→R},F= (sin,cos).

2) E={ fcts : R^+∗→R},F= (fa :x7→x^a),a∈R. 3) E={ fcts : R→R},F= (fa :x7→ |x−a|),a∈R. Exercice 5. Modification des vecteurs d’une famille libre

SoitE un espace vectoriel, (x1, . . . , xn) une famille libre de vecteurs deE, etα1, . . . , αn des scalaires.

On posey=Pn

i=1αixi, etx⁰_i=xi+y. Étudier à quelle condition la famille (x⁰₁, . . . , x⁰_n) est libre.

Exercice 6. Fonctions affines par morceaux

Soit 0 =x₀ < x₁ < . . . < x_n = 1 une subdivision de [0,1] etF l’ensemble des fonctionsf : [0,1]→R continues dont la restriction à chaque intervalle [x_i, x_i+1] est affine. Montrer queF est de dimension finie et trouver une base de F.

Exercice 7. Somme de sous-espaces

SoientF, G, Htrois sous-espaces d’un espace vectorielE. ComparerF∩(G+(F∩H)) et (F∩G)+(F∩H).

Exercice 8. F∩G=F⁰∩G⁰

Soient F, G, F⁰, G⁰ des sev d’un evE.

Montrer que siF∩G=F⁰∩G⁰ alors (F+ (G∩F⁰))∩(F+ (G∩G⁰)) =F. Exercice 9. Projection et symétrie dansK³

DansK³, on donne les sous espaces : H ={X = (x, y, z) tqx+y+z= 0} etK= vect(U = (1,1,2)).

1) Déterminer dimH et en donner une base.

2) Démontrer queH⊕K=K³.

3) Donner les expressions analytiques des projection et symétrie associées : π_H ets_H. Exercice 10. sev deK3[x]

Soit K un corps de caractéristique nulle, E = K3[X], F = {P ∈ E tq P(0) = P(1) = P(2) = 0}, G={P ∈E tqP(1) =P(2) =P(3) = 0}, etH ={P∈E tqP(X) =P(−X)}.

1) Montrer queF⊕G={P∈EtqP(1) =P(2) = 0}.

2) Montrer queF⊕G⊕H =E.

3) Étudier le cas où car(K)6= 0.

Exercice 11. Caractérisation des sommes directes

SoientF1,F2,F3 trois sev deE. Montrer que F1+F2+F3est directe si et seulement si : F1∩F2={0}

et (F1+F2)∩F3={0}. Généraliser.

Exercice 12. Somme directe dansE ⇒somme directe dansL(E)

SoitE=F1⊕. . .⊕Fn etFi={u∈ L(E) tq Imu⊂Fi}. Montrer queF1⊕. . .⊕ Fn=L(E).

ev.tex – mardi 5 octobre 2010

Exercice 13. Toute somme peut être rendue directe en réduisant les sev

SoitEunK-ev de dimension finie,F1, F2, . . . , Fn des sev deE tels queF1+. . .+Fn=E. Montrer qu’il existe des sevG₁⊂F₁,. . .,G_n⊂F_n tels queG₁⊕G₂⊕. . .⊕G_n=E.

Exercice 14. Somme et intersection

SoitE unK-ev,E₁, . . . , E_n des sev tels queE₁⊕. . .⊕E_n=E,F un autre sev deE, etF_i=E_i∩F. 1) Montrer que la sommeG=F₁+. . .+F_n est directe.

2) ComparerF etG.

Exercice 15. Polynômes trigonométriques

SoitE l’evR^R,F le sev engendré par les fonctionsfn:x7→cos(nx),n∈N, etGle sev engendré par les fonctionsgn:x7→cosⁿx,n∈N. Montrer queF =G.

Exercice 16. Intersection et somme de sev

Soit E un ev de dimension finie et (Fi)i∈I une famille de sous-espaces de E. On note H =T

i∈IFi et S=P

i∈IF_i= vect S

i∈IF_i .

Montrer qu’il existe une partie finie,J, deI telle que : H=T

i∈JFi et S=P

i∈JFi. Exercice 17. Supplémentaires

SoitE=H⊕Ket (e1, . . . , ek) une base deK.

1) Montrer que pour touta∈H,Ka= vect(e1+a, . . . , ek+a) est un supplémentaire deH. 2) Montrer que sia6=b, alorsKa 6=Kb.

Exercice 18. dimH = dimK⇔H etK ont un supplémentaire commun

SoientH, K deux sev d’un evE de dimension finie. Montrer que dimH = dimKsi et seulement siH et K ont un supplémentaire commun (par récurrence sur codimH).

Exercice 19. Supplémentaire commun, X MP^∗ 2005

1) SoitA={P ∈R[X] tqP = (1−X)Q(X²) avecQ∈R[X]}.

a) Montrer queAest unR-ev et que l’on aR[X] =A⊕ {polynômes pairs}.

A-t-onR[X] =A⊕ {polynômes impairs} ?

b) Que peut-on dire si l’on remplaceQ(X²) par une fonctionf paire ?

2) SoientE₁, E₂ deux sev d’un evE tels queE₁ et E₂ sont isomorphes et E =E₁⊕E₂. Montrer que E1et E2ont un supplémentaire commun.

Exercice 20. En’est pas union de sous-espaces stricts

Soit K un corps infini, E un K-ev non nul et F1, . . . , Fn des sev stricts de E. On veut montrer que E6=F1∪. . .∪Fn :

1) Traiter le casn= 2.

2) Cas général : on supposeFn6⊂F1∪. . .∪Fn−1et on choisitx∈Fn\(F1∪. . .∪Fn−1) ety /∈Fn. a) Montrer que : ∀λ∈K,λx+y /∈Fn.

b) Montrer que : ∀i6n−1, il existe au plus unλ∈Ktel que λx+y∈Fi. c) Conclure.

Exercice 21. Nombres algébriques

On considère queRest unQ-espace vectoriel.

1) Montrer que la famille (1,√ 2,√

3) est libre.

2) Montrer que la famille (lnp) oùpdécrit l’ensemble des nombres premiers positifs est libre.

Exercice 22. Éléments algébriques Soient K,Ldeux corps avecK⊂L.

Un élémentα∈Lest dit algébrique surKs’il existe un polynôme non nulP ∈K[X] tel queP(α) = 0.

1) Montrer queαest algébrique surKsi et seulement siK[α] est unK-ev de dimension finie.

2) On suppose que α et β sont algébriques sur K. Montrer que α+β et αβ sont algébriques sur K (étudierK[α, β]).

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Exercice 23. Corps emboîtés

Soient H⊂K⊂Ltrois sous-corps deC.

1) Montrer queKet Lsont desH-ev etLest unK-ev.

2) Montrer queLest de dimension finie surHsi et seulement siKest de dimension finie surHet Lest de dimension finie surK.

3) Application : Montrer queQ, la clôture algébrique deQdansC, est un corps algébriquement clos (si P∈Q[X], considérer le sous-corps deCengendré par les coefficients deP).

Exercice 24. Surcorps deR

SoitAuneR-algèbre commutative, intègre et de dimension finie.

1) Montrer queAest un corps.

2) Si dimA>1 montrer que tout élément deAest algébrique de degré 1 ou 2 surR. En déduire qu’alors Aest isomorphe à C.

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solutions

Exercice 1.

F =G.

Exercice 2.

x⁰= 2y+z, 3y⁰=−x+z, 3z⁰=−x+ 3y+z.

Exercice 3.

r= 3, 2a−3b+ 5c=b−2d−e= 0.

Exercice 5.

Pn

i=1αi6=−1.

Exercice 7.

Il y a égalité.

Exercice 8.

L’intersection contientF.

Soitu∈(F+ (G∩F⁰))∩(F+ (G∩G⁰) : u=a+b=a⁰+b⁰ aveca, a⁰ ∈F,b∈G∩F⁰ etb⁰ ∈G∩G⁰. Alorsb−b⁰=a⁰−a∈F∩G=F⁰∩G⁰, doncb∈G⁰, doncb∈F⁰∩G⁰⊂F.

Exercice 9.

3) π_H :







4x⁰ = 3x − y − z

4y⁰ = −x + 3y − z

4z⁰ = −2x − 2y + 2z,

s_H :







2x⁰ = x − y − z

2y⁰ = −x + y − z

2z⁰ = −2x − 2y.

Exercice 10.

3) Soitp= car(K).

Sip= 2 alorsF =GetH =E.

Sip= 3 alorsF =GetF⊕H ={P ∈E tqp₁=p₃}.

Si p>5 alors F = vect(X³−3X²+ 2X),G = vect(X³−6X²+ 11X−6), H = vect(1, X²) et les deux questions sont justes.

Exercice 18.

codimH = 0 : supplémentaire ={0}.

codimH =p: Soitu∈E\(H∪K) : H⊕Kuet K⊕Kuont un supplémentaire commun,L, doncH et K ont un supplémentaire commun : L⊕Ku.

Exercice 19.

1) a)SoitP ∈R[X] que l’on décompose enP =P1(X²) +XP2(X²) .

AlorsP = (P1+P2)(X²)−(1−X)P2(X²) = (1−X)P1(X²) +X(P1+P2)(X²), ce qui prouve que les deux sommes sont égales àR[X]. Le caractère direct est immédiat.

b) Cela ne change pasA: les éléments deAsont ceux dont les parties paire et impaire sont opposées (au facteurX près), indépendament du fait (vrai) que ces parties sont des polynômes.

2) Soitf un isomorphisme deE₁surE₂ et F={x−f(x) tqx∈E₁}. Alors E=E₁⊕F =E₂⊕F.

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