I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire

I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels

1) Structure deK-espace vectoriel SoientKun sous-corps deCetEun ensemble non vide muni d’une l.d.c.i. notée +et d’une l.d.c.e. de domaineKnotée..

(E,+, .) est unK-espace vectoriel⇔(E,+) est groupe abélien (c’est-à-dire que +est commutative, associative, possède un élément neutre noté0 et toutxdeEpossède un symétrique pour+ noté−x) et+et .vérifient les quatre axiomes

(1)∀λ∈K,∀(x, y)∈E², λ.(x+y) =λ.x+λ.y (2)∀(λ, µ)∈K²,∀x∈E,(λ+µ).x=λ.x+µ.x (3)∀(λ, µ)∈K²,∀x∈E,λ.(µ.x) = (λµ).x (4)∀x∈E,1.x=x.

2) Exemples de K-espaces vectoriels supposés connus (Dans les exemples qui suivent les opérations ne sont pas citées et sont toujours les opérations usuelles dans les ensembles considérés)

a) K-espaces vectoriels

1)CestR-ev de dimension2,Cest unQ-ev de dimension infinie,Rest unQ-ev de dimension infinie,Kest unK-espace vectoriel de dimension1.

2)Kⁿ est unK-ev (modèle de l’espace de dimensionn: tout espace de dimension finiensurKest isomorphe àKⁿ) 3)K^Nest unK-ev de dimension infinie (suites à coefficients dansK).

4)K[X]est unK-ev de dimension infinie (polynômes à coefficients dansK).

5)K(X)est unK-ev de dimension infinie (fractions rationnelles à coefficients dansK).

6)R^Rest unR-ev de dimension infinie (applications deRdansR) et plus généralementF^A (ensemble des applications de AdansF) oùAest un ensemble quelconque non vide etFest unK-ev

7)(L(E, F),+, .)est unK-espace vectoriel quandEetF le sont et en particulier(L(E),+, .). SiEet Fsont de dimension finie, dim(L(E, F)) =dim(E)×dim(F).

8)E₁×E₂×...×E_nest unK-espace vectoriel si lesE_ile sont. Si lesE_isont de dimension finie, dim Yn

i=1

E_i

!

= Xn

i=1

dim(E_i).

9)M_n,p(K)est unK-espace vectoriel de dimensionnp.

10)D^k(I,K),C^k(I,K)etC^∞(I,K)sont desK-espaces de dimension infinie.

b) K-espaces vectoriels munis en plus d’une structure d’anneau 1)(C,+, .)est unR-espace vectoriel et(C,+,×)est un corps commutatif.

2)(L(E)+, .)est unR-espace vectoriel et(L(E)+,◦)est un anneau, non commutatif si dimE>2.

3)(M_n(K),+, .)est unK-espace vectoriel et(Mn(K),+,×)est un anneau, non commutatif si n>2.

4)(R^R,+, .)est un R-espace vectoriel et(R^R,+,×)est un anneau commutatif et non intègre (c’est-à-dire qu’un produit de facteurs peut être nul sans qu’aucun facteur ne soit nul)

5)(C⁰(I,K),+, .)est unK-espace vectoriel et(C⁰(I,K),+,×)est un anneau commutatif et non intègre.

(D^k(I,R),+, .)est unR-espace vectoriel et(C^k(I,R),+,×)est un anneau commutatif et non intègre.

(C^k(I,R),+, .)est unR-espace vectoriel et(C^k(I,R),+,×)est un anneau commutatif et non intègre.

(C^∞(I,R),+, .)est unR-espace vectoriel et(C^∞(I,R),+,×)est un anneau commutatif et non intègre.

6)(K[X],+, .)est unK-espace vectoriel et(K[X],+,×)est un anneau commutatif et intègre.

(K(X),+, .)est unK-espace vectoriel et(K(X),+,×)est un corps commutatif.

c) structure de K-algèbre (complément de spé)

Définition.SoitA un ensemble non vide muni de deux l.d.c.i notée +et×et d’une l.d.c.e de domaineKnotée ..

(A,+, .,×)est uneK-algèbre si et seulement si

• (A,+, .)est unK-espace vectoriel ;

• (A,+,×)est un anneau ;

• pour toutx∈A et tout(λ, µ)∈K², λ.(x×y) = (λ.x)×y=x×(λ.y).

La dimension de l’algèbre(A,+, .,×)est la dimension de l’espace vectoriel(A,+, .).

L’algèbre(A,+, .,×)est dite commutative si et seulement si l’anneau(A,+,×)est commutatif ce qui équivaut à×est commutative.

L’algèbre(A,+, .,×)est dite intègre si et seulement si l’anneau (A,+,×)est intègre ce qui équivaut à : ∀(x, y)∈A², x×y=0⇒(x=0ouy=0)(et donc(A,+,×)pas intègre⇔∃(x, y)∈A²/ x6=0ety6=0etx×y=0).

K-algèbres supposées connues.

1)(C,+, .,×)est uneR-algèbre commutative et intègre de dimension2.

2)(M_n(K),+, .,×)est uneK-algèbre, non commutative et non intègre sin>2.

3)(L(E)+, .,◦)est uneK-algèbre, non commutative et non intègre si dim(E)>2.

4)(K[X],+, .,×)est une K-algèbre commutative et intègre (on doit aussi savoir que (K_n[X],+, .,×)n’est pas une algèbre carK_n[X]n’est pas stable pour la multiplication).

(K(X),+, .,×)est uneK-algèbre commutative.

5)(K^E,+, .,×)(oùE est un ensemble non vide quelconque) est une K-algèbre.

3) Sous espaces vectoriels

a) Définition et caractérisation.

Fsev deE_def⇔F⊂E, F6=∅, Fstable pour + et.etFest unK-ev pour les lois induites

⇔_th F⊂E, 0E∈FetFstable pour + et.

⇔_th F⊂E, 0E∈Fet∀(x, y)∈F², x+y∈Fet∀x∈F, ∀λ∈K, λx∈F

⇔_th F⊂E, 0_E∈Fet∀(λ, µ)∈K², ∀(x, y)∈F², λx+µy∈F(c’est-à-direFstable par combinaisons linéaires) b) Intersection et somme.

SiF etG sont deux sev de E alorsF∩Get F+G sont des sev deE. Plus généralement, siF1,F2,...,Fpsont des sev deE alorsF1∩F2...∩Fpet F1+F2...+Fp sont des sev deE.

Remarque.En général,F∪Gn’est pas un sev et Vect(F∪G) =F+G (voir exercice n^o1, planche 1).

c) Résumé des différentes techniques pour vérifier qu’un sous-ensemble de E est un sev deE.

Soit(E,+, .)unK-espace vectoriel.

• Fsev deE⇔F⊂E, 0E∈Fet∀(λ, µ)∈K², ∀(x, y)∈F², λx+µy∈F.

• SiF est l’intersection ou la somme de plusieurs sous-espaces,F est un sev deE.

• SiF=Vect(A)pour une certaine partie ou famille AdeE(y comprisA=∅),F est un sev deE.

• SiF=Ker(f)oùfest linéaire deEvers un espace vectoriel,Fest un sev deE.

• SiF est l’orthogonal pour un produit scalaire d’une certaine partieAdeE(y comprisA=∅),F est un sev deE.

d) Sous-algèbres.

Soit(A,+, .,×)uneK-algèbre et soitBune partie non vide de A.

Bsous-algèbre deA_def⇔B⊂A, B6=∅, Bstable pour+, .et × etBest uneK-algèbre pour les lois induites

⇔_th B⊂A, 0_A∈BetBstable pour+, .et ×.

⇔_th B⊂A, 0A∈Bet∀(x, y)∈B², x+y∈Bet∀x∈B, ∀λ∈K, λx∈Bet∀(x, y)∈B², x×y∈B

⇔_th B⊂A, 0_A∈Bet∀(λ, µ)∈K², ∀(x, y)∈B², λx+µy∈B et∀(x, y)∈B², x×y∈B

4) Sommes directes. Sous espaces vectoriels supplémentaires a) Cas de deux sous espaces.SoientF etG deux sev deE.

La sommeF+Gest directe⇔_deftoutxdeF+Gs’écrit de manière uniquex=x₁+x₂oùx₁∈Fetx₂∈G

⇔defl’application ϕ : F×G → E (x, y) 7→ x+y

est injective

⇔_th F∩G={0}.

Dans ce cas,F+Gse noteF⊕G etF⊕Gest isomorphe à F×G (ϕest un isomorphisme deF×GsurF+G).

FetGsont supplémentaires dansE_def⇔toutxdeEs’écrit de manière uniquex=x₁+x₂oùx₁∈Fetx₂∈G

def⇔l’application ϕ : F×G → E (x, y) 7→ x+y

est bijective

⇔_th F∩G={0}etE=F+G.

L’existence d’un supplémentaire est démontrée en dimension finie mais ne peut être utilisée en dimension infinie.

Si E « est » est un espace euclidien et F est un sev de E, F^⊥ est un supplémentaire de F et plus précisément, F^⊥ est le supplémentaire orthogonal deF.

Exemples de base.•R^R=P⊕I (décomposition d’une fonctionf:∀x∈R,f(x) = 1

2(f(x) +f(−x))

| {z }

∈P

+1

2(f(x) −f(−x))

| {z }

∈I

.

•M_n(K) =S_n(K)⊕A_n(K)(décomposition d’une matriceM:M= 1

2(M+^tM)

| {z }

∈Sn

+1

2(M−^tM)

| {z }

∈An

.

b) Cas général d’un nombre fini de sous espaces.F₁,. . . ,F_p,p>2, sontpsev de E.

La sommeF1+. . . Fpest directe⇔_deftoutxdeF1+. . .+Fps’écrit de manière uniquex=x1+. . .+xp

où∀i∈J1, pK, xi∈Fi

⇔defl’application ϕ : F1×. . .×Fp → E (x1, . . . , xp) 7→ x1+. . .+xp

est injective

⇔_th ∀i∈J1, pK, Fi∩



 X

j6=i

Fj



={0}

⇔_th ∀i∈J2, pK, Fi∩





i−1

X

j=1

Fj



={0}.

Dans ce cas, la sommeF1+. . . Fpse noteF1⊕. . .⊕Fp.F1⊕. . .⊕Fpest isomorphe àF1×. . .×Fp(ϕest un isomorphisme).

Danger. Il est faux de croire que la somme X

i

Fi est directe si et seulement si ∀i 6= j, Fi∩Fj = {0}. Si la somme est directe, on a obligatoirement∀i 6= j, Fi∩Fj ={0} mais ce n’est pas suffisant. Le cas de trois droites vectorielles de R² deux à deux distinctes fournit un contre exemple usuel.

5) Projections et symétries Soient FetG deux sev supplémentaires deE. Soientpla projection surF parallèlement àG,qla projection surG parallèlement àFet sla symétrie par rapport àFparallèlement àG.

Soitx=x₁+x₂la décomposition d’un vecteur quelconquexdeEassociée à la décompositionE=F⊕G. Par définition, p(x) =x₁ets(x) =x₁−x₂.

a)• ∀x∈E, p(x) =x1.

• p∈L(E).

• p◦p=p,p◦q=q◦p=0, p+q=Id_E.

• F=Imp=Kerq=Ker(Id−p) ={vecteurs invariants parp}etG=Kerp=Imq=Im(Id−p)

• p_/Imp=Id_/Impetp_/Kerp=0_/Kerp.

Réciproquement, si pest un endomorphisme vérifiant p◦p = palors Impet Kerpsont supplémentaires (y compris en dimension infinie) etpest la projection sur Impparallèlement à Kerp.

b)• ∀x∈E,s(x) =x₁−x₂.

• s∈GL(E).

• s◦s=Id.s=2p−Id=Id−2qou aussip= 1

2(Id+s).

• F=Ker(s−Id) ={vecteurs invariants pars}etG=Ker(s+Id) ={vecteurs changés en leur opposé}.

Réciproquement, sisest un endomorphisme deEvérifiants◦s=Idalors Ker(s−Id)et Ker(s+Id)sont supplémentaires (y compris en dimension infinie) etsest la symétrie par rapport à Ker(s−Id)parallèlement à Ker(s+Id).

6) Combinaisons linéaires et sous-espace engendré par une famille ou une partie de E a) Combinaisons linéaires.

Soit(λ_i)_i∈I une famille non vide de scalaires. Cette famille est dite à support fini si et seulement si l’ensemble des indices itels queλ_i6=0est fini (éventuellement vide).

Soit(x_i)_i∈I est une famille non vide de vecteurs de E. Un vecteurydeEest combinaison linéaires de la famille(x_i)_i∈I si et seulement si il existe(λi)i∈I une famille de scalaires à support fini telle que y=X

i∈I

λixi.

En particulier, si la famille(xi)i∈I est de cardinal infini, un vecteury est combinaison linéaire de la famille(xi)i∈I si et seulement siyest combinaison linéaire d’une sous-famille finie de la famille(xi)i∈I.

SoitX une partie de E. yest combinaison linéaire des vecteurs de X si et seulement si il existe une famille de scalaires (λx)x∈X à support fini telle quey=X

x∈X

λxx(convention usuelle :X

∅

=0).

b) Sous espace engendré par une famille ou une partie.

Approche externe.SoitF une famille de vecteurs deE(ouXune partie deE) éventuellement vide. Il existe un et un seul plus petit sous-espace vectoriel (pour l’inclusion) deEcontenant les vecteurs deF (ou contenantX) et noté Vect(F) (ou Vect(X)). C’est l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels deEcontenantF (ouX) (et donc Vect(∅) ={0}).

Approche interne.VectF est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de F. c) Propriétés.

• Vect(xi) = {combinaisons linéaires des xi} = X

i∈I

λixi, (λi)i∈I à support fini

= plus petit sev de E contenant les vecteurs de la famille(xi)i∈I.

•A⊂VectAet VectAest un sev deE. PuisA=VectA⇔Asev deE.

•A⊂B⇒VectA⊂VectB(réciproque fausse).

•Vect(VectA) =VectA.

•Vect(A∪B) =VectA+VectBet Vect(A∩B)⊂VectA∩VectB.

II - Familles libres. Familles génératrices. Bases

1) Familles libres.

a) Définitions.

(xi)i∈I est libre⇔(∀(λi)i∈I∈K^I à support fini)[(X

i∈I

λixi=0)⇒(∀i∈I, λi=0)].

(xi)i∈I est liée⇔(∃(λi)i∈I∈K^I à support fini telle que lesλi ne soient pas tous nuls etX

i∈I

λixi=0)(une telle relation est alors une relation de dépendance linéaire).

Une famille infinie est libre si et seulement si toute sous-famille finie est libre.

Une famille infinie est liée si et seulement si il existe une sous-famille finie liée.

b) Propriétés.

SoitL= (x_i)_i∈I une famille de vecteurs deE.

•Si Lcontient le vecteur nul ou2 vecteurs colinéaires,Lest liée (réciproque fausse).

•L est liée si et seulement si il existe un vecteur deL qui est combinaison linéaire des autres vecteurs deL.

•Toute sur-famille d’une famille liée est liée. Toute sous-famille d’une famille libre est libre (convention : ∅est libre).

• L est libre ⇔(X

i

λixi = X

i

µixi ⇔ ∀i, λi = µi) (on peut identifier les coefficients quand L est libre et uniquement quandLest libre)

•SoitL^′=L∪{x}. [(Llibre et L^′ liée)⇒xest combinaison linéaire desxi)]

Danger (ou erreur de base). Si les vecteurs deL ne sont pas deux à deux colinéaires, la familleLn’est pas nécessairement libre.

2 )Familles génératrices.

(x_i)_i∈I est génératrice de E ⇔Vect(xi)_i∈I =E ⇔ tout vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs de la famille (x_i)_i∈I.

Toute sur famille d’une famille génératrice est génératrice.

3) Bases.

B= (x_i)_i∈I base deE⇔tout vecteurxdeEs’écrit de manière unique comme combinaison linéaire desx_i⇔Best libre et génératrice.

Six=X

i

λixi, lesλi sont les coordonnées dexdansB.

Théorème. Les bases deE sont les familles génératrices minimales pour l’inclusion ou libres maximales. Donc, six /∈B, B∪{x}n’est plus libre et six∈B,B\ {x}n’est plus génératrice.

III- Applications linéaires

1) Définition.SoientEet FdeuxK-ev etfune application deEdansF.

flinéaire⇔∀(x, y)∈E², ∀λ∈K, f(x+y) =f(x) +f(y)etf(λx) =λf(x)

⇔∀(x, y)∈E², ∀(λ, µ)∈K², f(λx+µy) =λf(x) +µf(y).

Sif est linéaire, on a toujoursf(0_E) =0F. 2) Images directes et réciproques.

Théorème.SoientEetF deuxK-espaces vectoriels etflinéaire de EdansF.

L’image directe d’un sous-espace deEest un sous-espace deF.

L’image réciproque d’un sous-espace deFest un sous-espace deE.

En particulier, Kerf={x∈E/ f(x) =0F}=f⁻¹({0F}) est un sous-espace deE et Imf={f(x)/ x∈E}=f(E)est un sous espace deF.

(f injective⇔Kerf={0}), (fsurjective⇔Imf=F) (fbijective Kerf={0}et Imf=F).

Vocabulaire usuel : (homomorphisme=application linéaire) (endomorphisme = application linéaire deEversE) (isomor- phisme = application linéaire bijective deEsurF) (automorphisme =application linéaire bijective deEsurE).

Théorème.Soitf linéaire deEversF. SiXest génératrice deE,f(X)est génératrice de Imf=f(E)et en particulier sif est surjective,f(X)est génératrice deF.

Théorème.Sifest linéaire etXest liée alorsf(X)est liée. Sif(X)est libre,Xest libre.

Sif est injective etXest libre dansEalorsf(X)est libre dans F.

Théorème.fest un isomorphisme deEsurFsi et seulement si l’image parfd’une base deEest une base deF.

Détermination sur une base : soit (ei)i∈I une base de E, f ∈ L(E, F) est entièrement déterminée par les f(ei) et en particulier deux applications linéaires qui coïncident sur une base sont égales ou une application linéaire qui s’annule sur une base est nécessairement l’application nulle.

3) Ensembles d’applications linéaires.

•(L(E, F),+, .)est unK-espace vectoriel et de plus(L(E),+,◦)est anneau, non commutatif si dimE>2.

• (GL(E),◦) est un groupe, non commutatif si dimE > 2. GL(E) = groupe linéaire de E = {automorphismes de E} = {inversibles deL(E)pour◦}.

Danger. Sifetg sont dansGL(E),f+g ne l’est que très rarement.

•(O(E),◦)est un sous-groupe de(GL(E),◦), appelé le groupe orthogonal (notion euclidienne).

•(SL(E),◦)est un sous-groupe de(G L(E),◦), appelé le groupe spécial linéaire (siEest de dimension finie,SL(E) =ensemble des endomorphismes deEde déterminant1).

IV - Dimension des espaces vectoriels

1) Dimension.

Eest dit de dimension finie sur Ksi et seulement siEadmet une famille génératrice finie.E est dit de dimension infinie sinon.Eest de dimension infinie si et seulement siEcontient une famille libre infinie.

Théorème de la dimension finie et définition. SiEde dimension finie, toutes les bases ont même cardinal (fini) et dim^K(E) est le cardinal d’une base quelconque.

(Convention.∅est une base de{0}et dim{0}=0.)

Deux espaces vectorielsEet Fde dimensions finies sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension.

dimKKⁿ = net si ei = (0, 0, ...0, 1, 0, ..., 0) alors B= (e_i)_16i6n est une base de Kⁿ appelée base canonique de Kⁿ. Si dimE=n <+∞,Eest isomorphe àKⁿ.

2) Familles libres et génératrices.Soitn=dimE <+∞. SiLest libre alors cardL6net de plus (Lbase deE⇔cardL=n).

Théorème.Si Eest de dimension finienet siB est une famille de vecteurs deE, deux des trois propositions suivantes entrainent la troisième :

1) cardB=n 2)B est libre

3)B est génératrice deE

Théorème de la base incomplète. SoitLlibre dansEde dimension finie.Lpeut être complétée en une base de E.

Si dimE <+∞,Eadmet des bases.

Si dimE <+∞, de toute famille génératrice deE, on peut extraire une base.

3) Sous espaces.

Soitn=dimE <+∞et soitFsev deEalors (dimF6net dimF=n⇔F=E) (faux en dimension infinie).

Théorème. (Supplémentaires) Soitn=dimE <+∞et soitFsev de E

• Fadmet au moins un supplémentaire.

• Tout supplémentaire deF a pour dimension dimE−dimF.

• plus généralement, dim(F⊕G) =dimF+dimG.

Théorème.SoientFet Gsev deE.

(E=F⊕G)⇔(F∩G={0}et dimF+dimG=dimE)⇔(F+G=Eet dimF+dimG=dimE).

Plus généralement, dim(F1⊕...⊕F_p) =dimF1+...+dimFp. Si F1⊕...⊕Fp= Eet si B_i est une base de Fi alorsB= [

i∈I

B_i est une base deE. Réciproquement, si B= [

i∈I

B_i est une base deEalors lesFi=VectB_i sont supplémentaires dansE.

4) Rang.

a) d’une famille de vecteurs.

Soit(xi)16i6p une famille de vecteurs deE. rg(xi)16i6p=dimVect(xi)16i6p=maximum du cardinal d’une sous-famille libre extraite de(xi)16i6p.

Soientn=dimE, r=rg(xi)16i6p (etp=card(xi)16i6p).

• r6petr=p⇔(xi)16i6p libre.

• r6netr=n⇔(x_i)_16i6pgénératrice de E.

• (x_i)_16i6pbase deE⇔r=p=n.

b) d’une application linéaire.

Soit f ∈ L(E, F) où E est de dimension finie. rg(f) = dim(Imf) = rg((f(ei))_16i6n) où (e_i)_16i6n est une base de E quelconque.

Théorème du rang.La restriction def à un supplémentaire de Kerf réalise un isomorphisme de ce supplémentaire sur Imf. En particulier, dimKerf+rgf=dimE.

Conséquences.

Théorème.Si dimE=dimF <+∞etf∈L(E, F))alors (fest injective⇔fest surjective⇔f est bijective).

Théorème.Sin=dimE<+∞etf∈L(E)les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) fbijective 2) det(f)6=0 3)finjective

4) fsurjective 5) Kerf={0} 6) Imf=E

7) rgf=n 8)f inversible à droite pour◦ 9)finversible à gauche pour ◦ 10)fsimplifiable à droite pour◦ 11)fsimplifiable à gauche pour◦

c) Transformations ne modifiant pas le rang.

Les transformations élémentaires suivantes ne modifie pas le rang (car ne modifie pas le sous espace engendré) : a) permuter les vecteurs de la famille

b) remplacer un vecteurxde la famille parλxoùλest un scalaire non nul c) ajouter à un vecteurxde la famille un autre vecteur de la famille.

Plus généralement, on ne modifie pas le rang d’une famille en ajoutant à un vecteurx de cette famille une combinaison linéaire des autres vecteurs de cette famille.

5) Dimensions usuelles.

•dim(E×F) =dimE+dimFet plus généralement dim(E1×...×E_p) =dimE1+...+dimEp.

•dim(F⊕G) =dimF+dimGet plus généralement dim(E1⊕...⊕Ep) =dimE1+...+dimEp.

•dim(L(E, F)) = (dimE)×(dimF). Donc dim(L(E)) = (dimE)².

•dim(F+G) =dimF+dimG−dim(F∩G).