PSI* — 2020/2021 — Préparation aux oraux — Algèbre no 23 Page 1
23. (Centrale)SoitEunK-espace vectoriel,f ∈ L(E)diagonalisable etE1, . . . , Ep les sous-espaces propres de f et C(f) = g∈ L(E) / g◦f =f ◦g . Montrer que C(f) est isomorphe à L(E1)× · · · × L(Ep).
Quelle est la dimension de C(f) ? Dans le cas p= dimE, montrer queC(f) =K[f].
Solution
Je sais que, pourg∈ C(f), les sous-espaces propres def sont stables parg. Je dispose donc pour tout k∈[[1, p]]de l’endomorphismegk induit par g surEk et je peux définir
Φ : C(f) → F =L(E1)× · · · × L(Ep) g → (g1, . . . , gp)
. Φ est clairement linéaire, injective car E =
p k=1
Ek (puisque f est diagonalisable par hypothèse) : si Φ (g) = 0,g est nulle sur chacun desEk et donc nulle surE.
Reste à prouver que Φ est surjective : soit donc (u1, . . . , up) ∈ F ; toujours grâce à E =
p k=1
Ek, je dispose de l’unique endomorphisme g de E dont la restriction à Ek est x →uk(x), cela pour tout k.
Alors, comme uk ∈ L(Ek), les Ek sont stables par g. Il en résulte que f et g commutent (il suffit de l’écrire, puisque f induit sur Ek λk.IdEk, qui commute avec uk !).
Par conséquent g ∈ C(f) etΦ (g) = (u1, . . . , up) par construction. Tout élément de F admet donc un antécédent par Φ.
En conclusion, Φest linéaire et bijective :
Φest un isomorphisme de C(f) dans L(E1)× · · · × L(Ep).
En particulier, ces deux espaces ont la même dimension : dimC(f) =
p k=1
(dimEk)2.
Le cas où p= dimE est celui où tous lesEk sont des droites et alorsdimC(f) = dimE.
L’inclusion K[f]⊂ C(f) est banale (et vraie pour toutf deL(E). . . ).
Pour l’autre inclusion je propose deux méthodes superbes, il est difficile de choisir !
1) Commef admetpvaleurs propres distinctesλ1, . . . , λp (avec icip= dimE),f admet comme polynôme annulateur χf =
p k=1
(X−λk) et tout autre polynôme annulateur non nul est de degré au moins p(car admetp racines distinctes, lesλk !). On en déduit classiquement (cf. chapitre2, bas de la page 6) que K[f] =Kp−1[f]et que IdE, f, . . . , fp−1 est libre. Ainsi K[f]est de dimension p, la même que C(f), l’inclusion ci-dessus est donc une égalité.
2) Soit B = (e1, . . . , ep) une base de E formée de vecteurs propres de f. Soitg ∈ C(f) ; les sous-espaces propres de f sont stables par g, or ce sont des droites, par conséquent les ek sont aussi des vecteurs propres de g, c’est-à-dire que la matrice de g dans B est également diagonale, notons µ1, . . . , µp les valeurs propres. Du fait que les λk sont distincts 2 à 2, on obtient classiquement un polynôme P (de Lagrange !) tel que P(λk) =µk pour tout k. Et il en résulte immédiatement queP(f) =g (ces deux endomorphismes de E coïncident sur B!).
Par conséquentC(f)⊂K[f], cqfd. Noter qu’en regardant bien les polynômes de Lagrange, on obtient plus précisément C(f)⊂Kp−1[f], ce qui permet de retrouver le résultat de la première méthode.
En conclusion,
Lorsque p= dimE,C(f) =K[f] =Kp−1[f].
