ÉCS2 Réduction des endomorphismes, diagonalisation des matrices carrées.
Quand le texte est partagé en deux colonnes, celle de gauche traite des endomorphismes, celle de droite des matrices.Kdésigne le corps des scalaires : K=Rou C.
Notations
E: un espace vectoriel de dimension n∈N∗ n : un entier naturel non nul.
f : un endomorphisme de E. M : une matrice deMn(K).
Recherche des valeurs propres
¬λ∈Sp(f)⇔rg(f−λ×idE)< n ¬ λ∈Sp(M)⇔rg(M−λ×In)< n + Je détermine pour quelle valeur deλce rang est strictement inférieure àn
λ∈Sp(f)⇔ ∃u(6= 0)∈E, f(u) =λu λ∈Sp(M)⇔ ∃U(6= 0)∈Mn,1(K),MU =λU + Je détermine pour quelle valeur deλces équations ont des solutions non nulles.
®Je connais un polynôme annulateur Pde f ® Je connais un polynôme annulateurP deM + Les valeurs propres sont parmi les racines deP :
pour chaque racineλde P, je regarde le rang de f−λ×idE et je conclus à l’aide de¬ Détermination de la dimension des sous-espaces propres
∀λ∈Sp(f), dim(Eλ) =n−rg(f−λ×idE) ∀λ∈Sp(M), dim(Eλ) =n−rg(M−λ×In) Recherche des vecteurs propres
−
→u ∈Eλ ⇔f(−→u) =λ−→u ⇔(f −λ×idE)(−→u) =−→
0 U∈Eλ ⇔MU =λU⇔(M−λ×In)U = 0
+ Si je dispose d’écriture matricielle, je résous le système obtenu. Si j’ai déjà utilisé la méthode du pivot pour trouver les valeurs propres, je peux utiliser la réduite de Gauss triangulaire.
+ Sinon, j’interpête la relationf(−→u) =λ−→u en fonction du contexte.
Condition SUFFISANTE de diagonalisabilité
f possède nvaleurs propres distinctes M possèden valeurs propres distinctes + alorsf (resp.M) est diagonalisable.
Théorème général de diagonalisabilité
f diagonalisable ... M diagonalisable ...
... si, et seulement si, X
λ∈Sp(fouM)
dim(Eλ) =n.
pour trouver les valeurs propres, je peux utiliser la réduite de Gauss triangulaire.
+ Sinon, j’interpête la relationf(−→u) =λ−→u en fonction du contexte.
Projecteurs, symétries, homothéties Matrices triangulaires
• Ils sont diagonalisables. • Ses valeurs propres sont exactement ses coefficients
• p projecteur⇔p2 =p diagonaux : Sp(M) ={mi,i,16i6n}
Sp(p) ={0,1},E0 =Kerp= Gdirection • En particulier, si ses coefficients diagonaux sont E1 =Imp= F sur lequel on projette deux à deux distincts, alorsM est diagonalisable.
• ssymétrie ⇔s2=idE Matrices n’ayant qu’une seule valeur propre Sp(s) ={−1,1},E−1 =Kerp= Gdirection Si Sp(M) ={λ}, alors Mest diagonalisable si, E1 = Faxe de la symétrie et seulement si, M =λ×In.
• hλ homothétie de rapport λ⇔hλ=λ×idE Autrement dit, si, et seulement si, Sp(hλ) ={λ},Eλ = E (tout l’espace !) M est déjà diagonale
Liens entre un endomorphisme et une matrice représentative On suppose ici queB est une base deEet que M =matB(f). Alors
¬Sp(f) =Sp(M),
f(−→u) =λ−→u ⇔MU =λUoù U =matB(−→u),
® f est diagonalisable si, et seulement si, Mest diagonalisable,
¯ P−1MPest diagonale si, et seulement si,P est une matrice de passage deB vers une base C formée de vecteurs propres def, autrement dit les colonnes deP sont des vecteurs propres deM.
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
