Soit X ∼ Poisson(λ), i.e. `a valeurs enti`eres et ∀k ∈ N, P(X = k) = e −λ λ k /k!.

Universit´e Paul Sabatier T. Delmotte Pr´epa Agreg 2019-2020

Probabilit´es

Feuille corrig´ee lors de la premi`ere s´eance de TD, mercredi 25 septembre 2019.

Exercice 1 (Loi discr`ete).

Soit X ∼ Poisson(λ), i.e. `a valeurs enti`eres et ∀k ∈ N, P(X = k) = e ^−λ λ ^k /k!.

1. Montrer que E(X) = λ. L’esp´erance E(X) = X

k∈ N

P(X = k)k

2. Montrer que Var(X) = λ. La variance Var(X) = E(X ² ) − E(X) ²

3. Montrer que la fonction g´en´eratrice g λ (s) = E(s ^X ) = e ^λ(s−1) .

4. Soit X et Y deux variables ind´ependantes, X ∼ Poisson(λ) et Y ∼ Poisson(µ).

Montrer que X + Y ∼ Poisson(λ + µ), (a) par un calcul direct P(X + Y = n) =

n

X

k=0

P(X = k et Y = n − k) = . . ., (b) en calculant la fonction g´en´eratrice de X + Y .

5. Soit Z =

X

X

i=1

Y _i , pour X, Y ₁ , Y ₂ , . . . famille ind´ependante, les Y _i ∼ Bernoulli(p), p ∈]0, 1], i.e. P(Y _i = 1) = p et P(Y _i = 0) = 1 − p, et la somme vide P 0

i=1 = 0.

Montrer par les deux m´ethodes comme ci-dessus que Z ∼ Poisson(pλ).

Exercice 2 (Loi `a densit´e).

Soit X ∼ N (0, σ ² ), i.e. admettant la densit´e f _σ

(x) = e ⁻

2 2σ2

√

2πσ ² pour laquelle R

R f _σ

= 1.

1. Calculer E(X). L’esp´erance E(X) =

Z +∞

−∞

f (x)x dx 2. Calculer Var(X).

3. Montrer que la fonction caract´eristique ψ _σ

(t) = E(e ^itX ) = e ^−σ

^t

^/2 , par exemple en ´etablissant une

´equation diff´erentielle en ψ _σ

.

4. Soit X ₁ et X ₂ deux variables ind´ependantes, X ₁ ∼ N (0, σ ² ₁ ) et X ₂ ∼ N (0, σ ₂ ² ).

Montrer que X 1 + X 2 ∼ N (0, σ ² ₁ + σ ² ₂ ),

(a) en calculant la fonction caract´eristique de X ₁ + X ₂ . (b) par le calcul direct pour φ born´ee mesurable de

E(φ(X 1 + X 2 )) = Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f _σ

1

(x 1 )f _σ

2

(x 2 )φ(x 1 + x 2 ) dx 1 dx 2 = . . . Il s’agit d’obtenir

Z +∞

−∞

f _σ

1

+σ

(z)φ(z) dz, ce qui identifie la loi de X 1 + X 2 et on peut v´erifier au pr´ealable que

Z +∞

−∞

e ⁻

x2 2σ2

1

e ⁻

(z−x)2 2σ2

2

dx = const · e ⁻

z2 2(σ2

1+σ2 2)

.

5. Pour σ ₁ ² = σ ₂ ² = 1, montrer que X 1 /X 2 suit la loi de Cauchy de densit´e 1

π(1 + x ² ) .

6. Si Z suit la loi de Cauchy, qu’en est-il de 1/Z ? Exercice 3 (Convergence en loi, somme de Riemann).

Soit X _n uniforme sur {1, . . . , n}, montrer que X _n /n converge en loi vers une uniforme sur [0, 1] lorsque n → ∞.

Il s’agit de montrer E(φ(X _n /n)) −→

n→∞

Z 1 0

φ(x) dx, pour toute φ continue born´ee.