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1. (Epo01)Montrer que, pour tout naturelnnon nul,
n
X
k=0
n k
3k(1−X)3n−2kXk= (1−X3)n
2. (Epo02)On pose uv
= 0siv /∈J0, uK. Montrer que
k
X
i=0
(−1)i p
i p
k−i
=
0 sikimpair.
(−1)k2 p
k 2
sikpair.
3. (Epo03)Soita∈R.
a. Montrer que H diviseHn et former le quotient : H =X2−2 cha X+ 1
Hn = sh(na)Xn+1−sh((n+ 1)a)Xn+ sha b. Montrer queCdiviseCn et former le quotient :
C=X2−2 cosa X+ 1
Cn = sin(a)Xn−sin(na)X+ sin((n−1)a) c. Montrer que P divisePn et former le quotient :
P=X2−3X+ 2 Pn= (X−2)2n+ (X−1)n−1.
4. (Epo04)Calculs polynomiaux.
a. Montrer que
(X3+X2+X+ 1)
2n
X
k=0
(−1)kXk =
X2n+3+X2n+1+X2+ 1.
b. DévelopperQn k=0
1 +X(2k)
par récurrence.
c. Factoriser (par récurrence) 1+X+1
2!X(X+1)+· · ·+1
n!X(X+1)· · ·(X+n−1) Préciser les racines de
1−X+ 1
2!X(X−1) +· · · + (−1)n 1
n!X(X−1)· · ·(X−n+ 1) 5. (Epo05)Trouver tous les polynômes non constants deC[X]
divisibles par leur dérivée.
6. (Epo06) Factoriser X8 −2X4cos 2α+ 1 en produits de polynômes réels de degré 1 ou 2.
7. (Epo07)Calculer récursivement toutes les expressions sy- métriques (polynomiales) dea1,a2,· · ·, an jusqu'au de- gré 4 en fonction deσ1,σ2,σ3,σ4.
Elles seront classées par degré puis par concentra- tion croissante c'est à dire
X
i
ai, X
i6=j
aiaj, X
i
ai2,
X
i6=j6=k
aiajak, X
i6=j
a2iaj, X
i
ai3
X
i6=j6=k6=l
aiajakal, X
i6=j6=k
a2iajal, · · ·, X
i
ai4.
8. (Epo08)Calculer la somme des carrés des racines de P =X3+ 2X2+ 3X+ 4.
En divisantX7parP, calculer la somme des puissances 7 des racines deP.
9. (Epo09) Soit u = (un)n∈
N∗ une suite de nombres com- plexes. On dira qu'une suite (Qn)n∈
N de polynômes à coecients complexes vérieE(u)si et seulement si :
Q0= 1, ∀n∈N∗: (
Qfn(0) =un
Q0n =Q\n−1(X+ 1) a. Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes
vériantE(u).
b. Soit ε la suite nulle : εn = 0 pour tout n ∈ N∗. Montrer que la suite(Pn)n∈
Navec P0= 1, ∀n∈N∗: Pn= 1
n!X(X+n)n−1 vérieE(ε).
c. Soita∈Cet α= Pfn(a)
n∈N∗. Montrer que
Pcn(X+a)
n∈NvérieE(α). d. Soity ∈ C. Montrer qu'il existe une suite uà dé-
terminer telle que
n
X
i=0
P]n−i(y)Pi
!
n∈N
vérieE(u). En déduire que :
Pfn(x+y) =
n
X
i=0
Pei(x)]Pn−i(y) pour tousx, ycomplexes et nnaturel.
10. (Epo10)Étant donnép∈N∗, on pose X
0
= 1et X
p
= 1
p!X(X−1)· · ·(X−p+ 1) On dénit une application∆deK[X]dansK[X] par
∀P ∈K[X], ∆(P) =P(Xb + 1)−P
a. Montrer que la fonction polynômiale associée à Xp ne prend surZque des valeurs entières.
b. Montrer quedeg(∆(P)) = deg(P)−1. Préciser le coecient dominant de∆(P). Calculer∆( Xp
). c. Exprimer ∆n(P) = ∆◦ · · · ◦∆
| {z }
nfois
(P) en vous inspi- rant de la formule du binôme.
d. SoitP de degré au plusn−1. Montrer que
n
X
k=0
(−1)k n
k
Pe(k) = 0.
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e. Soit P de degré n. Exprimer P en fonction des
∆k(P)et des Xp en vous inspirant de la formule de Taylor.
Déterminer tous les polynômes à coecients réels tels que les fonctions associées ne prennent sur Z que des valeurs entières.
11. (Epo11)En utilisant les racines de(X+1)n−e2inα, calculer
n−1
Y
k=0
sin(kπ n +α)
12. (Epo12)Déterminer tous les polynômes à coecients com- plexes tels que
P(Xb 2) =P.Pb(X−1)
On pourra commencer par montrer qu'une racine non nulle deP est nécessairement de module 1.
13. (Epo13) Soit m, n, p trois entiers naturels. Montrer que X2+X+ 1divise
X3m+X3n+1+X3p+2
14. (Epo14)Factoriser les polynômes suivants en produits de polynômes irréductibles deR[X]:
(1−X2)3+ 8X3 X8+ 2X6+ 3X4+ 2X2+ 1 1−X+X2+· · ·+ (−1)2nX2n
15. (Epo15)Soit P ∈ C[X] de degré 4. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
Les points dont les axes sont les racines de P forment un parallélogramme.
P0 et P(3) ont une racine en commun.
16. (Epo16)Pour chaque sytème, former le polynôme unitaire de degré3 dont les racinesx, y, zvérient
x+y+z= 1 x2+y2+z2= 9
1 x+1
y +1 z = 1
x+y+z= 2 x2+y2+z2= 6
1 x+1
y +1 z = 1
2 17. (Epo17) Comment choisir les nombres complexes s et p
pour que les deux racines deX2−sX+paient le même argument ?
18. (Epo18)Déterminer un polynômeP de degré4 tel que sin 9θ= cos8θsinθPe(tan2θ)
pour tous les réelsθ6≡π2 moduloπ. En déduire que tan 20◦×tan 40◦×tan 60◦×tan 80◦= 3 19. (Epo19)
a. Soit P ∈K[X]et α, β deux éléments distincts de K. Calculer le reste de la division de P par
(X−α)(X−β) à l'aide deP(α)e etPe(β).
b. Soienta1,· · · , an des réels et P =
n
Y
k=1
(Xsinak+ cosak)
Quel est le reste de la division deP parX2+ 1? 20. (Epo20)Pourkentier entre0etn−1etzk=e2ikπn montrer
∀θ∈R:
n−1
Y
k=0
(z2k−2zkcosθ+ 1) = 2(1−cosnθ) 21. (Epo21)Montrer que l'application
ϕ:
(K[X]→K[X]
P →P+P0+· · ·+P(n) avecn= deg(P) est bijective. Préciser sa bijection réciproque.
22. (Epo22)Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynômePn∈Q[X]à déterminer tel que
Pn−Pn0 =Xn
23. (Epo23)SoitP ∈K[X]eta∈K. On dénitQetR par : Q=P−Pe(a)−1
2(X−a)(P0+Pf0(a)) R=P−Pe(a)−1
6(X−a)(P0+Pf0(a) + 4cP0(1
2(X+a))) Calculer la multiplicité deacomme racine deQetR 24. (Epo24)Montrer que , dansR[X],
P2−XQ2=XR2⇒P =Q=R= 0R[X]
25. (Epo25)Calculer le quotient de la division de P=nXn+1−(n+ 1)Xn+ 1 par(X−1)2. 26. (Epo26) Dans chaque cas, déterminer les P ∈ C[X] tels
que
Pb(X2) = (X2+ 1)P
X(X+ 1)P00+ (X+ 2)P0−P = 0 Pb(2X) =P0P00
(chercher les degrés possibles et utiliser des coecients indéterminés)
27. (Epo27)En utilisant
X2+aX+b2= (X+b)2+ (a−2b)X Factorisez en polynômes irréductibles deR[X]
X4+ 1, X6+ 1, X6+ 2X4+ 2X2+ 1,
X6+ 3X4+ 5X2+ 6, X8−2X4cos(2α) + 1 28. (Epo28)Polynômes de Bernstein.
Dans cet exercice, il sera utile de transformerk nk. Soitn≥2 entier etα∈C.
Montrer que
n
X
k=0
k n−α
2n k
Xk(1−X)n−k
= (X−α)2+ 1
nX(1−X)
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29. (Epo29)Soit n∈ Net P ∈ K[X], montrer que Pn−Xn est divisible par P −X. Soit A ∈ K[X], montrer que A(A)b −Aest divisible parA−X.
30. (Epo30)Montrer que
2n
X
k=0
(−1)k 2n
k 2
= (−1)n 2n
n
31. (Epo31)SoitP ∈R[X]tel que
∀a∈R, P(a)e >0
Montrer qu'il existeA etB dansR[X]tels que P=A2+B2
32. (Epo32) Déterminer des conditions nécessaires et su- santes surλetµpour que
X2+ 1diviseX4+X3+λX2+µX+ 2 33. (Epo33)Division suivant les puissances croissantes.
La valuation d'un polynôme (notéeval(P)) est le plus grand des entiersktels queXkdiviseP. On convient que le polynôme nul est de valuation−∞conventionellement inférieure à toutes les autres.
a. Montrer que val(P Q) = val(P) + val(Q) et que val(P+Q)≥val(P) + val(Q).
b. SoitA∈K[X]non nul de valuation nulle. Montrer que pour toutB∈K[X]de valuation nulle et tout n ∈ N, il existe un unique couple (Qn, Rn) dans K[X]tels que
B =QnA+Rn avec val(Rn)> n
c. Exemple Diviser B= 1 +X+X2 parA= 1−X3 suivant les puissances croissantes avecn= 4. 34. (Epo34)SoitP et Adans R[X] etB dansC[X]tous non
nuls tels queP =AB. Montrer queB est à coecients réels.
35. (Epo35) Soit P ∈ C[X] de degré n > 1. Pour k entier entre0 et n, on note Sk la somme des racines deP(k). Exprimer lesSk en fonction dek, n, S0.
36. (Epo36)Quels sont les polynômes unitaires de degré3dans C[X]dont les trois racinesx,y,z vérient
x+y+z= 1, xyz= 1
et si on impose en plus que les trois racines soient de module1? Déterminer les triplets de nombres complexes x,y,z de module 1 tels que
x+y+z= 1 xyz = 1
37. (Epo37)SoitP un polynôme de degrénà coecients réels admettantnracines réelles etaun réel non nul. Montrer queaP +P0 admetnracines réelles distinctes.
38. (Epo38) Soit P un polynôme divisible par sa dérivée se- conde P00 et a une racine multiple deP00. Montrer que aest une racine deP de multiplicité au moins4.
39. (Epo39)Déterminer les entiers naturelsn≥2 tels que Pn = (X−1)n−Xn+ 1
ait une racine double.
40. (Epo40)Soitn∈N∗. Former le quotient de la division de (X−1)n+2+ (X+ 3)n+1−1 par(X−1)n. 41. (Epo41)Soitn∈N∗. Montrer que
P=
n
X
k=0
1 k!Xk
n'a que des racines simples dansC.
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1. pas de correction pour Epo01.tex 2. pas de correction pour Epo02.tex 3. (Cpo03)
Divisibilité pour a. b. c.
Les polynomes de degré 2 se factorisent facilement.
H= (X−ea)(X−e−a), C= (X−eia)(X−e−ia), P = (X−1)(X−2).
En substituant respectivement les racines auXdeHn, Cn,Pn, on trouve à chaque fois0ce qui assure (cours) que les restes sont nuls.
Quotient pourHn.
De la relation trigonométrique
2 sh(na) ch(a) = sh((n+ 1)a) + sh((n−1)a), on déduitHn−sh(na)Xn−1=Hn−1.
Puis le quotient
sh(na)Xn−1+· · ·+ sh(2a)X+ sh(a).
Quotient pourCn.
NotonsQnle polynôme tel queCn =QnC. En posant les divisions, on trouve
Q2= sin(a), Q3= sin(a)X+ sin(2a).
On induit que
Qn = sin(a)Xn−2+ sin(2a)Xn−3+· · ·+ sin((n−1)a).
Pour le vérier, on multiplie ce polynôme par C=X2−2 cos(a)X+ 1.
Présentons les coecients en tableau Xn: sin(a)
Xn−1: sin(2a)−2 cos(a) sin(a) = 0
Xn−2: sin(3a)−2 cos(a) sin(2a) + sin(a) = 0 ...
X2: sin(n−1)a−...= 0
X :−2 cosasin(n−1)a+ sin(n−2)a=−sinna X0: sin(n−1)a
On a bien montré que
QnC= sin(a)Xn−sin(na)X+ sin((n−1)a.
Quotient pourPn.
Cette fois, on réussit à factoriser directement avec des sommes en progression géométriques.
(X−1)n−1 = ((X−1)−1)
(X−1)n−1+· · ·+ (X−1) + 1 Donc
Pn= (X−2)((X−2)2n−1+ 1
| {z }
+(X−1)+
· · ·+ (X−1)n−1).
De même
(X−2)2n−1+ 1 = 1−(2−X)2n−1
= (1−2 +X) 1 + (2−X) +· · ·+ (2−X)2n−2 .
Finalement, le quotient est 1 + (2−X) +· · ·+ (2−X)2n−2
+ (X−1)n−1+· · ·+ (X−1).
4. pas de correction pour Epo04.tex
5. (Cpo05) On suppose que P0 divise P. Il existe donc Q∈ C[X] tel que P =P0Q. Par dénition de la dérivée, le degré deQest 1.
Soita ∈C une racine de P de multiplicité α. Il existe doncP1∈C[X]tel que
P= (X−a)αP1avecPf1(a)6= 0 On dérive :
P0=α(X−a)α−1P1+ (X−a)αP10 puis on multiplie parQpour reformerP
(X−a)αP1= (X−a)α−1(αP1+ (X−a)P10)Q On simplie par (X−a)α−1 puis on substitue a à X. On en déduit
(∗) (X−a)P1= (αP1+ (X−a)P10)Q
⇒αfP1(a)Q(a) = 0e ⇒Q(a) = 0e Donc a est racine de Q. Comme deg(Q) = 1, il existe λ∈ C tel que Q =λ(X−a). L'examen du coecient dominant dans la relationP =P0Qmontre que λ= n1 où n = deg(P). On remplace dans (∗) et on simplie encore. On en tire
P1= (αP1+ (X−a)P10)λ
En substituant encore a à X, on obtient αλ = 1 soit m= deg(P). Les polynômes divisibles par leur dérivée sont donc ceux de la forme
c(X−a)n
6. (Cpo06)On utilise l'identité remarquable
X2−2Xcosα+ 1 = (X−eiα)(X−e−iα).
en substituantX4 àX.
X8−2X4cosα+ 1 = (X4−eiα)(X4−e−iα) On factorise avec les racines 4-ièmes deeiαet e−iα.
X8−2X4cosα+ 1 =
(X−eiα4)(X+eiα4)(X−ieiα4)(X+ieiα4) (X−e−iα4)(X+e−iα4)(X−ie−iα4)(X+ie−iα4)
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En regroupant les facteurs conjugués, l'expression facto- risée est
(X2−2Xcosα
4 + 1)(X2+ 2Xcosα 4 + 1) (X2−2Xsinα
4 + 1)(X2+ 2Xsinα 4 + 1) car
Re(ieiα4) =−sinα 4.
7. (Cpo07)Le principe est de développer le produit de deux sommes déjà connues pour obtenir une seule nouvelle somme et d'autres sommes déjà connues.
NotonsS1, S2,· · ·, S8les 8 premières sommes présentées par l'énoncé. Ensuite
S9=X
i6=j
a2ia2j, S10=X
i6=j
a3iaj, S11=X
i
ai4.
Présentons successivement les valeurs avec (si besoin) les produits (entre parenthèses) qui permettent de les obtenir
S1=σ1, S2= 2σ2, (S12) :S3=σ21−2σ2, S4= 6σ3, (S1S2) :S5=σ1σ2−3σ3,
(S1S3) :S6=σ13−3σ1σ2+ 3σ3. Pour le degré 4 :S7= 4!σ4= 24σ4,
(S1S4) :S8= 2σ1σ3−8σ4,
(S22) :S9=−4σ1σ3+ 2σ22+ 4σ4, (S1S5) :S10=−σ1σ3+σ12σ2−2σ22+ 4σ4, (S1S6) :S11=σ14−4σ21σ2+ 4σ1σ3−4σ4+ 2σ22. 8. (Cpo08)Notonsa1,a2, a3les racines :
P =X3+ 2X2+ 3X+ 4 = (X−a1)(X−a2)(X−a3).
Avec les notations usuelles des polynômes symétriques élémentaires :
S2=X
i
a2i =σ12−2σ2.
D'après les relations entre coecients et racines : σ1=−2, σ2= 3⇒S2=−2.
Pour calculer S7 = P
ia7i, on diviseX7 par P. Après calculs,
X7=Q P+Ravec
(Q=X4−2X3+X2+ 5 R=−14X2+ 15X+ 20 CommePe(ai) = 0,
a7i =−14a2i + 15a1+ 20
⇒S7=−14S2+ 15σ1+ 30 =−2.
9. pas de correction pour Epo09.tex 10. pas de correction pour Epo10.tex
11. pas de correction pour Epo11.tex 12. pas de correction pour Epo12.tex
13. (Cpo13)Il est évident quej et j2sont racines.
14. pas de correction pour Epo14.tex 15. pas de correction pour Epo15.tex
16. (Cpo16) On trouve les triplets (1,2,−2) à permutation près.
17. (Cpo17)Si p= 0 une des racines est nulle et n'a pas d'ar- gument. On suppose doncp6= 0.
Les racines z et z0 ont le même argument lorsque leurs quotients sont réels et strictement positifs. Formons le polynôme unitaireP dont les racines sont zz0 et zz0.
z z0
z0 z = 1 z z0 +z0
z = z2+z02
zz0 =s2−2p p = s2
p −2 On en déduit
P =X2−uX+ 1
On doit donc caractériser la propriété pour P d'avoir deux racines réelles strictement positives. Cela se pro- duit si et seulement si le discriminant est positif ou nul et la somme des racines strictement positive. Cela re- vient à u réel et > 2. En revenant aux notations de l'énoncé, la condition cherchée est
s2
p ∈Ret s2 p >4
18. (Cpo18) Pour simplier l'écriture, on noterac, s, t au lieu de sinθ, cosθ, tanθ. On écrit que sin 9θ est la partie imaginaire de (c +is)9 développé avec la formule du binôme. Seules les puissances impaires deiscontribuent à cette partie imaginaire, les coecients présentent une alternance de+et de−. En mettant en facteurc8s, on obtient
sin 9θ=c8s(
9 1
− 9
3
t2+ 9
5
t4
− 9
7
t6+ 9
9
t8) =c8sP(te 2) avec
P = 9− 9
3
X2+ 9
5
X2− 9
7
X3+X4 Les racines de P sont les tan2θ non nuls pour les θ annulantsin 9θ.
sin 9θ= 0⇒θ≡0 mod π 9
⇒tanθ∈
tankπ
9 , k= 1,· · · ,8
⇒tan2θ∈
tankπ
9 , k= 1,· · · ,4
car ils sont deux à deux opposés. Les carrés des quatre tangentes exprimées en degré de l'énoncé sont donc les racines deP. Leur produit est 9d'après l'expression de P. On en déduit la relation demandée car elles sont po- sitives.
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19. (Cpo19)
a. Comme le reste est de degré inférieur ou égal à 1, il est de la forme
R=uX+v
avecuetv dansK. En substituantαetβ àX, on obtient un système de deux équations aux incon- nuesαetβ
(uα+v= ˜P(α) uβ+v= ˜P(β)
que l'on résoud avec les formules de Cramer u=
P(α)˜ −P˜(β)
α−β , v= αP˜(β)−βP˜(α) α−β
b. CommeX2+ 1 = (X−i)(X+i), on peut appli- quer la première question avec α = i et β = −i. Comme P est à coecients réels, on peut remar- quer queP˜(β) = ˜P(α). On en déduit que uest la partie imaginaire deP˜(i)et v sa partie réelle. En introduisant la fonction exponentielle, on obtient nalement que le reste demandé est
XsinS+ cosS avecS=
n
X
k=1
ak
20. pas de correction pour Epo20.tex 21. (Cpo21)Considérons
ψ:
(K[X]→K[X] Q→Q−Q0 .
Avec des simplications de sommes télescopiques et P(n+1)= 0pour n= deg(P), on montre que
ϕ◦ψ= Id
K[X] et ψ◦ϕ= Id
K[X].
22. (Cpo22)En formant un système avec des coecients indé- terminé, on trouve que l'unique polynôme est
n!
n
X
k=0
1 k!Xk
23. pas de correction pour Epo23.tex 24. pas de correction pour Epo24.tex 25. (Cpo25)On peut factoriser directement :
P=n(Xn+1−Xn) + 1−Xn
= (X−1) nXn−1−X− · · · −Xn−1
= (X−1) (Xn−1) + (Xn−X) +· · ·+ (Xn−Xn−1)
. On en déduit que le quotient est
(1 +X+X2+· · ·Xn−1)
+ (X+X2+· · ·Xn−1)
· · ·+ (Xn−1)
= 1 + 2X+ 3X2+· · ·+nXn−1.
26. (Cpo26) Si P n'est pas nul, en examinant les termes de plus haut degré, on trouve une condition nécessaire sur le degré. On cherche ensuite l'ensemble des solutions à l'aide de coecients indéterminés et d'un système. On trouve
Degré2, solutionsλ(X2−1)avecλ∈C.
Degré1, solutionsλ(X+ 2)avecλ∈C.
Degré3, une seule solution : 49X3. 27. (Cpo27)On trouve :
(X2+√
2X+ 1)(X2−√
2X+ 1) (X2+ 1)(X2+√
3X+ 1)(X2−√
3X+ 1) (X2+ 1)(X2+X+ 1)(X2−X+ 1)
(X2+ 2)(X2+ q
2√
3−1X+√ 3) (X2−
q 2√
3−1X+√ 3)
(X2−2 cosα
2X+ 1)(X2+ 2 cosα 2X+ 1) (X2−2 sinα
2X+ 1)(X2+ 2 sinα 2X+ 1) 28. (Cpo28)On rappelle que
k n
k
=n n−1
k−1
, k(k−1) n
k
=n(n−1) n−2
k−2
.
On exprime le kn −α2
aveck(k−1)et k: k
n−α 2
=k2 n2 −2αk
n+α2
= 1
n2k(k−1) + 1
n2 −2α n
k+α2. On en déduit
n
X
k=0
k n−α
2 n k
Xk(1−X)n−k
=n−1 n X2
n
X
k=2
n−2 k−2
Xk−2(1−X)n−2−(k−2)
+1−nα n X
n
X
k=1
n−1 k−1
Xk−1(1−X)n−1−(k−1)+α2
= (1− 1
n)X2+ (1
n−2α)X+α2
= (X−α)2+ 1
nX(1−X).
29. (Cpo29)On utilise l'identité remarquable géométrique : Pn−Xn= (P−X)(Pn−1+Pn−2X+· · ·+Xn−1)
| {z }
=Pn
.
SiA=a0+a1X+· · ·+apXp, alors
A(A)−Ab =a1(A−X)+a2(A2−X2)+· · ·ap(Ap−Xp)
= (A−X) (a1+a2An+· · ·+apAp).
Lycée Hoche MPSI B Feuille Polynômes : corrigés
30. (Cpo30)Identier les coecients dans l'égalité (1−X)2n(1 +X)2n= (1−X2)2n
31. (Cpo31)Si un polynôme réel de degrénest à valeurs réelles strictement positives, il s'exprime comme un produit de polynômes du second degré sans racine réelles
X2−2 RezX+|z|2= (X−Rez)2+ (Imz)2 Chacun de ces polynômes est donc une somme de deux carrés. Or le produit de deux polynômes sommes de 2 carrés est lui même une somme de deux carrés à cause de l'identité
(A2+B2)(U2+V2) = (AU−BV)2+ (AV +BU)2 On remarque l'analogie avec le carré du module du pro- duit de deux nombres complexes.
32. (Cpo32)Le polynômeX2+ 1divise le polynôme donné si et seulement siiet−isont racines. Cela donne
(λ−iµ= 3−i λ+iµ= 3 +i ⇔
(λ= 3 µ= 1 Le polynôme se factorise en
X4+X3+ 3X2+X+ 2 = (X2+ 1)(X2+X+ 1) 33. (Cpo33)
a. Formules faciles en considérant le coecient du terme de plus bas degré.
b. Pour l'unicité, on raisonne comme pour la division euclidienne en faisant jouer à la valuation le rôle du degré. Pour l'existence, on raisonne par récurrence surn. Notons
a=c0(A)6= 0, b=c0(B)6= 0 Pourn= 0,Q0= ba convient.
S'il existeQnetRnvériant les conditions, on peut écrire
Rn=Xn+1R avecr=c0(R) On vérie alors que l'on peut prendre
Qn+1=Qn+r aXn+1 c. On trouve
Q3= 1 +X+X2−X3 R3=X4(1 +X−X2) 34. (Cpo34)On conjugue et on simplie
AB=P =P =AB=AB⇒B=B⇒B∈R[X] 35. (Cpo35)On peut supposerP unitaire sans changer les ra-
cines. Le coecient deXn−1 est lié à la somme des ra- cines :
P =Xn−S0Xn−1+· · ·
P(k)=n(n−1)· · ·(n−k+ 1)Xn−k
−(n−1)(n−2)· · ·(n−k)S0Xn−k−1+· · · On en déduit
Sk= (n−1)(n−2)· · ·(n−k)
n(n−1)· · ·(n−k+ 1) S0=n−k n S0
36. (Cpo36) D'après les relations entre coecients et racines, ils sont de la forme
P =X3−X2+uX−1
avecu∈C. Considérons un polynôme Qobtenu en in- versant soit
Q= 1−X+ ¯uX2−X3 Pour toutzcomplexe non nul,
Pe(1
¯ z) = 1
¯
z3 1−z¯+u¯z2−z¯3
=Q(z)e
¯ z3 De plus,zest de module 1 si et seulement si
z= 1
¯ z
On en déduit que les racines deP sont de module 1 si et seulement si P et Q ont les mêmes racines c'est à dire égaux à un facteur complexe non nul près. On doit donc avoir Q=−P ce qui se produit siu= 1. Le seul polynôme unitaire vériant les conditions est donc
X3−X2+X−1 = (X2+ 1)(X−1) dont les racines sont1, i,−i.
37. (Cpo37)Considérer la fonctionf dénie dans Rprivé des racines deP par :
f(x) =a+fP0(x) P(x)e
et les limites aux extrémités des intervalles où elle est dénie.
38. pas de correction pour Epo38.tex
39. (Cpo39)Sizest une racine double, elle est aussi racine du polynôme dérivé donc
( (z−1)n=zn−1
(z−1)n−1=zn−1 ⇒(z−1)zn−1=zn−1
⇒zn−1= 1 On doit donc aussi avoir (z−1)n−1= 1. Géométrique- mentz etz−1dans le cercle unité ne peut se produire que siz=e±iπ3. On doit donc avoir
(n−1)π
3 ≡0 mod (2π)⇔n≡1 mod (6).
Réciproquement, si n ≡ 1 mod (6), alors z = eiπ3 est une racine double. En eetz−1 =ei2π3 donc
zn−1= (z−1)n−1= 1⇒ (
Pfn(z) =z−1−z+ 1 = 0 Pfn0(z) =n(1−1) = 0.
Ainsi
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40. (Epo40) Le quotient de la division d'une somme par un polynôme xé (ici(X−1)n) est la somme des quotients.
Pour(X−1)n+2, le quotient est(X−1)2. Pour−1le quotient est nul carn≥1.
Pour (X + 3)n+1, le quotient s'obtient à partir de la formule du binôme pour
(X+ 3)n+1= (4 + (X−1))n+1. La contribution est donc
(X−1) + 4(n+ 1).
Le quotient demandé est donc
(X−1)2+ (X−1) + 4(n+ 1) =X2+X+ 4(n+ 1).
41. (Cpo41)Le polynôme s'exprime avec sa dérivée : P =P0+ 1
n!Xn.
La seule racine multiple éventuelle est0mais0n'est pas une racine. Toutes les racines sont donc simples.
