N−1 X k=0 N X i=k+1 P(Y =i), et par inversion de sommes finies, avec06k &lt

Préliminaire

1. [Y > k] =∪k+1≤i≤N[Y =i] et ces derniers événements sont incompatibles...

N−1

X

k=0

P(Y > k) =

N−1

X

k=0 N

X

i=k+1

P(Y =i), et par inversion de sommes finies, avec06k < i6N, on a :

N−1

X

k=0

P(Y > k) =

N

X

i=1 i−1

X

k=0

P(Y =i) =

N

X

i=1

iP(Y =i) = E(Y).

N−1

X

k=0

(2k+ 1)P(Y > k) =

N−1

X

k=0 N

X

i=k+1

(2k+ 1)P(Y =i) =

N

X

i=1 i−1

X

k=0

(2k+ 1)P(Y =i)

Or pourifixé supérieur ou égal à 1,

i−1

X

k=0

(2k+ 1) = 2

i−1

X

k=0

k+

i−1

X

k=0

1 = (i−1)i

2 +i=i² d’où :

N−1

X

k=0

(2k+ 1)P(Y > k) =

N

X

i=1

i²P(Y =i) =E(Y²) Partie I : Inf et Sup

2. E(U₁) = N + 1

2 V(U₁) = N²−1 12

3. (a) P(Tn 6 k) = P(M ax(U1, . . . , Un) 6 k) = P

n

\

i=1

[Ui 6k]

!

et les variables aléatoires U₁, . . . , U_n sont mutuellement indépendantes :

P(T_n6k) =

n

Y

i=1

P(U_i 6k) = (P(U₁ 6k))ⁿ= k

N n

(b) Comme[T_n≤k] = [T_n ≤k−1]∪[T_n =k] avec incompatibilité : P(T_n=k) =P(T_n6k)−P(T_n6k−1) =

k N

n

−

k−1 N

n

4. (a) Pour N >2et pour tout k de{1, . . . , N −1}, 0< k

N <1 et donc lim

n→+∞

k N

n

= 0 . Par somme finie de termes ayant0 pour limite : ∀N >2, lim

n→+∞dn(N) = 0.

Cette limite est encore valable pour N = 1 d’après la définition de d_n(1).

(b) E(T_n) =

N−1

X

k=0

P(T_n> k) =

N−1

X

k=0

1−P(T_n6k) =N −

N−1

X

k=1

P(T_n6k) =N −d_n(N).

On en déduit immédiatement que : lim

n→+∞E(T_n) =N. (c) E(T_n²) =

N−1

X

k=0

(2k+ 1)P(T_n > k) = 2

N−1

X

k=0

kP(T_n > k) +E(T_n) = E(T_n)+2

N−1

X

k=0

k(1−P(T_n 6k))

E(T_n²) =N −d_n(N) +N(N −1)−2

N−1

X

k=0

k k

N n

−d_n(N) +N²−2N

N−1

X

k=0

k N

n+1

E(T_n²) =−d_n(N) +N²−2N d_n+1(N) Par la formule de Huygens, on obtient :

V(T_n) =E(T_n²)−E²(T_n) = −d_n(N) +N² −2N d_n+1(N)−(N −d_n(N))² V(Tn) =−dn(N)−2N dn+1(N) + 2N dn(N)−d²_n(N)

V(T_n) = (2N −1)d_n(N)−2N d_n+1(N)−d²_n(N) Avec le résultat de 4a), on a immédiatement : lim

n→+∞V(T_n) = 0.

(d) Soit N >2,∀n ∈N^∗, d_n(N) = 1ⁿ+ 2ⁿ+. . .+ (N −1)ⁿ Nⁿ

On en déduit que d_n+1(N) d_n(N) = 1

N.1ⁿ⁺¹+ 2ⁿ⁺¹+. . .+ (N −1)ⁿ⁺¹ 1ⁿ+ 2ⁿ+. . .+ (N −1)ⁿ .

Après mise en facteur de (N −1)ⁿ⁺¹ au numérateur et de (N −1)ⁿ au dénominateur, on peut écrire : d_n+1(N)

d_n(N) = N −1 N .α_n

β_n. avec α_n = 1 +

N−2

X

k=1

k N −1

n+1

et β_n = 1 +

N−2

X

k=1

k N −1

n

. Par limite d’une somme finie, on a : lim

n→+∞α_n= 1 et lim

n→+∞β_n= 1 ce qui entraine

n→+∞lim

dn+1(N)

d_n(N) = N −1 N On aura donc : V(T_n)

d_n(N) = 2N −1−2Nd_n+1(N)

d_n(N) −d_n(N)

et donc par passage à la limite lorsque n tend vers +∞, on obtient directement

n→+∞lim

V(T_n)

d_n(N) = 2N −1−2N(1−1/N) = 1, ce qui signifie que V(T_n)∼d_n(N).

5. P(Z_n > k) = P

n

\

i=1

[U_i > k]

!

=

n

Y

i=1

P(U_i > k) = (P(U₁ > k))ⁿ = (1−P(U₁ 6k))ⁿ = N −k

N n

On en déduit que P(Zn = k) = P(Zn > k −1)−P(Zn > k) et finalement P(Zn = k) = N −(k−1)

N

n

−

N −k N

n

=

N + 1−k N

n

−

N −k N

n

. Or si k∈ {1, . . . , N} alors (N + 1−k)∈ {1, . . . , N} et

P(Z_n =k) = P(T_n =N + 1−k) = P(N + 1−T_n=k)

On en déduit que Z_n a même loi que N + 1−T_n, ce qui permet de donner directement E(Z_n) etV(Z_n): E(Z_n) = E(N + 1−T_n) =N + 1−E(T_n) = 1 +d_n(N)

V(Z_n) = V(T_n) = (2N −1)d_n(N)−2N d_n+1(N)−d²_n(N).

6. Voici une proposition de fonction en Scilab : function T=simulmax(n) ;

T=max(grand(1,n,’uin’,1,N)) ; endfunction ;

Partie II. Couple (Inf,Sup) 7. Φn(k, l) =P([Tn 6k]∩[Zn6l]).

(a) Soit (k, l)∈ {1, . . . , N}².

• Si k 6l alors Φ_n(k, l) = P(T_n6k).P_[Tn6k](Z_n6l).

On sait que si [Tn 6 k] est réalisé alors [Zn 6 l] aussi et donc P_[Tn6k](Zn 6 l) = 1.

On aura donc Φ_n(k, l) =P(T_n6k) = k

N n

.

• Si k > l alors en utilisant le système complet d’évènements [[Z_n 6 l],[Z_n > l]), on peut écrire : P(T_n 6k) = Φ_n(k, l) +P([T_n 6k]∩[Z_n> l]).

Or [T_n6k]∩[Z_n> l] =

n

\

i=1

[l < U_i 6k], ce qui permet d’écrire : P([T_n6k]∩[Z_n>

l]) = (P(l+ 1 6U₁ 6k)ⁿ =

k

X

i=l+1

P(U₁ =i)

!ⁿ

=

k−l N

n

et finalement Φ_n(k, l) = P(T_n6k)−P([T_n 6k]∩[Z_n > l]) = k

N n

−

k−l N

n

. On a donc :

Φ_n(k, l) =













 k

N n

si k 6l k

N n

−

k−l N

n

sik > l

En fait la dernière égalité est vraie pour k > l puisque dans le cas k = l on retrouve Φ_n(k, l) = kⁿ

Nⁿ.

(b) Soit (k, l) ∈∈ {1, . . . , N}². Notons A_k,l = [T_n = k]∩[Z_n = l]. On sait que [T_n 6 k] = [T_n =k]∪[T_n < k] = [T_n = k]∪[T_n 6 k−1] et il y a incompatibilité des évènements des unions précédentes, on en déduit que :

Φ_n(k, l) = P([T_n 6k]∩[Z_n 6l]) = P([T_n =k]∩[Z_n6l]) +P([T_n< k]∩[Z_n 6l]) Or P([Tn < k]∩[Zn6l]) =P([Tn6k−1]∩[Zn 6l]) = Φn(k−1, l)

et P([T_n =k]∩[Z_n6l]) =P(T_n=k, Z_n=l) +P([T_n=k]∩[Z_n6l−1])

Or P([T_n =k, Z_n 6 l−1) = Φ_n(k, l−1)−P(T_n 6 k−1, Z_n 6 l−1) d’où finalement Φ_n(k, l) = P(A_k,l) + Φ_n(k, l−1)−Φ(k−1, l−1) + Φ_n(k−1, l)Ce qui donne le résultat voulu : P(A_k,l) = Φ_n(k, l) + Φ_n(k−1, l−1)−Φ_n(k, l−1)−Φ_n(k−1, l)

(c) • Si k < l alors il est clair que [T_n = k] ∩ [Z_n = l] = (le maximum de réels ne peut pas être strictement inférieur au minimum des ces réels). On aura donc P(T_n =k, Z_n=l) = 0

• Si k = l alors [T_n = k, Z_n = l = k] =

n

\

i=1

[U_i =k], par indépendance des variables

U₁, . . . , U_n, on a : P(T_n =k, Z_n =k) =

n

Y

i=1

P(U_i =k) = 1 Nⁿ

• Si k > l alors k−1 > l−1, k−1 >l et k > l−1. On peut remarquer les égalités données en 7a) et 7b) permettent d’écrire : P(T_n = k, Z_n = l) =

k−l+ 1 N

n

+ k−1−l

N

n

−2

k−l N

n

.

8. (a) Par le théorème de transfert, les variables T_n et Z_n étant discrètes finies, on sait que T_nZ_n admet une espérance et

E(TnZn) =

N

X

k=1 N

X

l=1

klP(Tn=k, Zn =l)

D’après ce qui a été écrit précédemment, on aura donc : E(T_nZ_n) =

N

X

k=2 k−1

X

l=1

klP(T_n=k, Z_n =l) +

N

X

k=1

k² Nⁿ +

N−1

X

k=1 N

X

l=k+1

klP(T_n=k, Z_n =l)

E(T_nZ_n) =

N

X

k=2 k−1

X

l=1

kl

k−l+ 1 N

n

+

k−1−l N

n

−2

k−l N

n + 1

Nⁿ

N

X

k=1

k²

On pose j =k−l, on obtient alors E(T_nZ_n) = 1

Nⁿ

N

X

k=1

k²+ 1 Nⁿ

N

X

k=2 k−1

X

j=1

k(k−j)[(j+ 1)ⁿ+ (j−1)ⁿ−2jⁿ]

E(T_nZ_n) = 1 Nⁿ

N

X

k=1

k²+ 1 Nⁿ

N

X

k=2

[k²(kⁿ−(k−1)ⁿ−1]− 1 Nⁿ

N

X

k=2

[k(k−1)kⁿ−k²(k−1)ⁿ]

E(TnZn) = 1 Nⁿ

N

X

k=1

k²− 1 Nⁿ

N

X

k=2

k²+ 1 Nⁿ

N

X

k=2

kⁿ⁺¹ = 1 Nⁿ+N

N

X

k=2

k N

n+1

=N

N

X

k=1

k N

n+1

Si N = 1 alors E(T_nZ_n) = 1 =N(1 +d_n+1(N)).

Si N >2, alors E(TnZn) =N +N

N−1

X

k=1

k N

n+1

et finalement :

∀N >1, E(T_nZ_n) =N(1 +d_n+1(N))

(b) On déduit de ce qui précède que pourN >2: Cov(T_n, Z_n) =E(T_nZ_n)−E(T_n)E(Z_n) = N +N d_n+1(N)−(N −d_n(N))(1 +d_n(N))

ρ_n = Cov(T_n, Z_n)

pV(T_n)V(Z_n) = Cov(T_n, Z_n)

V(T_n) = N d_n+1(N) +d_n(N)−N d_n(N) +d²_n(N) (2N −1)d_n(N)−2N d_n+1(N)−d²_n(N) On a vu queV(T_n)∼d_n(N),on aura donc lim

n→+∞ρ_n= lim

n→+∞

Nd_n+1(N)

d_n(N) + 1−N +d_n(N)

. Or lim

n→+∞

dn+1(N)

d_n(N) = N −1

N et lim

n→+∞dn(N) = 0, donc finalement lim

n→+∞ρn = 0 9. (a) P_[Tn=k](Z_n=l) = P(T_n=k, Z_n =l)

P(T_n =k)

Par les résultats de la question 7 et le résultat de la question 3 on a immédiatement :

P[Tn=k](Zn=l) =























0 sik < l 1

kⁿ−(k−1)ⁿ si k =l

(k−l−1)ⁿ+ (k−l+ 1)ⁿ−2(k−l)ⁿ

kⁿ−(k−1)ⁿ si k > l (b) De ce qui précède, on tire : E(Zn/[Tn =k]) =

N

X

l=1

lP_[Tn=k](Zn=l) On aura donc

E(Z_n/[T_n =k]) = k

kⁿ−(k−1)ⁿ+ 1 kⁿ−(k−1)ⁿ

k−1

X

l=1

l((k−l−1)ⁿ+ (k−l+ 1)ⁿ−2(k−l)ⁿ) On pose j =k−l et on a :

E(Z_n/[T_n =k]) = k

kⁿ−(k−1)ⁿ + 1 kⁿ−(k−1)ⁿ

k−1

X

j=1

(k−j)(((j+ 1)ⁿ−2jⁿ+ (j−1)ⁿ) Et en utilisant les résultats donnés à la question 8, on obtient :

E(Z_n/[T_n =k]) = k

kⁿ−(k−1)ⁿ+ 1

kⁿ−(k−1)ⁿ (k(kⁿ−(k−1)ⁿ−1)−((k−1)kⁿ−k(k−1)ⁿ)) Après simplification, on a : E(Z_n/[T_n=k]) = kⁿ

kⁿ−(k−1)ⁿ Partie III. Prévision

Pourt = (t₁, . . . , t_n)∈R^N, on poseW_t(T_n) =

N

X

k=1

t_k1_[Tn=k].

10. ([T_n=i])_16i6N est un système complet d’évènements, on en déduit par la formule des proba- bilités totales que :P(W_t(T_n) =t_k) =

N

X

i=1

P([W_t(T_n) =t_k]∩[T_n=i]) =

N

X

i=1

P(T_n =i)P_[Tn=i](W_t(T_n) =k) Or pour i etj dans {1, . . . , N} avec i6= j, [T_n = k]∩[T_n =i] = et donc ∀ω ∈[T_n =i],

W_t(T_n)(ω) =

N

X

j=1

t_j1_[Tn=j](ω) =t_i, ce qui signifie que si [T_n =i] est réalisé avec i6= k alors [W_t(T_n) =t_i] est réalisé et donc : P_[Tn=i](W_t(T_n) =t_k) =

0 si t_i 6=t_k 1 si ti =tk

On va ici supposer que sii 6=k alors t_i 6= t_k pour obtenir l’égalité demandée sinon cela ne fonctionne pas.

On aura donc P(W_t(T_n) =t_k) = P(T_n=k).1 +

N

X

i6=k,i=1

P(T_n=i).0 =P(T_n=k)

11. Par la formule de l’espérance totale, puisque ([Tn=i])_16i6N est un système complet d’évè- nements et queX_n+1 =T_n+11_[Tn=k] est une variable aléatoire discrète finie avec X_n+1(Ω) ⊂ {0,1, . . . , N} , on a : E(X_n+1) =E(T_n+11_[Tn=k]) =

N

X

i=1

E(T_n+11_[Tn=k]/[T_n=i]).P(T_n =i)

• Pour i dans {1, . . . , N}si i6=k alors E(X_n+1/[T_n =i]) = X

x∈Xn+1(Ω)

xP_[Tn=i](X_n+1 =x) =

N

X

x=0

xP_[Tn=i](T_n+11_[Tn=k]=x) D’après le système complet d’évènements, ∀ω∈[T_n =i], 1_[Tn=k](ω) = 0 alors

P_[Tn=i](T_n+11_[Tn=k]=x) =

0 si x6= 0 1 si x= 0 ce qui entraine ∀i6=k, E(X_n+1/[T_n=i]) = 0

• Si i=k alors E(X_n+1/[T_n=k]) =

N

X

x=0

xP_[Tn=k](X_n+1 =x) =

N

X

x=1

xP_[Tn=k](X_n+1 =x) et

∀ω ∈[T_n=k], X_n+1(ω) = T_n+1(ω), donc E(X_n+1/[T_n =k]) =

N

X

x=1

xP_[Tn=k](T_n+1 =x) = E(T_n+1/[T_n=k]) et donc finalement

E(T_n+11_[Tn=k]) = P(T_n=k)E(X_n+1/[T_n =k]) + 0 =P(T_n=k)E(T_n+1/[T_n =k]) 12. (a) Soit (k, j)∈ {1, . . . , N}²,T_n+1 =Sup(T_n, U_n+1) =M ax(T_n, U_n+1), on a donc :

• Si j < k alors P([T_n =k]∩[T_n+1 =j]) = 0,

• Si j > k alors par indépendance des variables U₁, . . . , U_n, U_n+1 :

P([T_n =k]∩[T_n+1 =j]) = P([T_n=k]∩[U_n+1 =j]) =P(T_n=k)P(U_n+1 =j) P([T_n =k]∩[T_n+1 =j]) = 1

NP(T_n =k) = kⁿ−(k−1)ⁿ Nⁿ⁺¹

• Si j =k alors

P([T_n =k]∩[T_n+1 =j]) = P([T_n=k]∩[U_n+1 6k])P(T_n=k)P(U_n+1 6k) P([T_n =k]∩[T_n+1 =j]) = P(T_n=k).k

N = k

Nⁿ⁺¹ (kⁿ−(k−1)ⁿ)

(b) On en déduit que

P_[Tn=k](T_n+1 =j) = P([T_n=k]∩[T_n+1 =j]) P(T_n=k) =



















0 si j < k k

N si j =k 1

N si j > k (c) On en déduit alors :

E(T_n+1/[T_n=k]) =

N

X

j=1

jP_[Tn=k](T_n+1 =j) = k² N + 1

N

N

X

j=k+1

j = k²

N+(N −k)(k+ 1 +N) 2N

E(T_n+1/[T_n=k]) = N + 1 2 + k²

2N − k 2N

(d) Par la formule de l’espérance totale, on obtient : E(T_n+1) =

N

X

k=1

P(T_n=k).E(T_n+1/[T_n=k]) En utilisant le résultat de la question pré- cédente, on peut décomposer en :

E(T_n+1) = N + 1 2

N

X

k=1

P(T_n=k) + 1 2N

N

X

k=1

k²P(T_n =k)− 1 2N

N

X

k=1

kP(T_n=k) Ce qui donne : E(T_n+1) = N + 1

2 + 1

2N (E(T_n²)−E(T_n)) 13. Par développement d’une somme de termes élevé au carré, on a :

(W_t(T_n))² =

N

X

k=1

t_k1_[Tn=k]

!²

=

N

X

k=1

t²_k(1_[Tn=k])² + 2 X

16i<j6N

t_it_j1_[Tn=i]1_[Tn=j]

Or (1_[Tn=k])² = 1_[Tn=k].1_[Tn=k] = 1_[Tn=k]∩[Tn=k] = 1_[Tn=k] et pour i < j 1_[Tn=i].1_[Tn=j] = 1_{[Tn=i]∩[Tn=j]}= 0 on rappelle que([T_n =k])_16k6N est un système complet d’évènements, les évènements sont donc deux à deux incompatibles.

Finalement (W_t(T_n))² =

N

X

k=1

t²_k1_[Tn=k]

14. Soit g telle que∀(t₁, . . . , t_N)∈R^N g(t₁, . . . , t_N) = E((T_n+1−W_t(T_n))²)

(a) En appliquant la formule de l’espérance totale avec le système complet([Tn =k])_16k6N, g(t) =

N

X

k=1

E (T_n+1−W_t(T_n))²|[T_n=k]

P(T_n=k) =

N

X

k=1

E (T_n+1² −2θ_kt_k+t²_k

P(T_n=k) On obtient la formule voulue en remarquant que :

T_n+1² −2θktk+t²_k= (tk−θk)²+E(T_n+1² )−θ²_k Alors : g(t) =

N

X

k=1

(t_k−θ_k)²P(T_n =k) +

N

X

k=1

(E(T_n+1² )−θ²_k)P(T_n =k)

(b) Comme la deuxième somme est constante (indépendante de t), le minimum de g est atteint quand la première somme est minimum. Or cette somme est positive, et nulle uniquement pour ∀k, tk =θk, donc pour t =θ.

Le minimum global de g sur R^N est atteint au pointθ (uniquement).

15. Par linéarité de l’espérance, on a :

E(W_θ(T_n)) =

N

X

k=1

θ_kE(1_[Tn=k]) =

N

X

k=1

E(T_n+1/[T_n=k])P(T_n=k) =E(T_n+1) Par la formule de Huygens, on a :

V(W_θ(T_n)) =E(W_θ²(T_n))−(E(W_θ(T_n)))² =E(W_θ²(T_n))−E(T_n+1² ) V(W_θ(T_n) =E(W_θ²(T_n))−E(T_n+1² ) +V(T_n+1)

Or g(θ) =E(T_n+1² )−2E(T_n+1W_θ(T_n)) +E(W_θ²(T_n)) et par le résultat de la question 11, on a :

E(T_n+1W_θ(T_n)) =

N

X

k=1

θ_kE(T_n+11_[Tn=k]) =

N

X

k=1

θ²_kP(T_n =k) = E(W_θ²(T_n)) (résultat 13) donc g(θ) = E(T_n+1² )−E(W_θ²(T_n))et V(W_θ(T_n)) =V(T_n+1)−g(θ),

mais par définition g(θ) =E((T_n+1−W_θ(T_n))²)>0, donc V(W_θ(T_n))6V(T_n+1)

16. (a) Soit ω ∈Ω, puisque ([T_n =j])_16j6N est un système complet d’évènements, il existe un uniquej ∈ {1, . . . , N} tel queT_n(ω) = j. On en déduit que sik 6=j alors1_[Tn=k](ω) = 0, et donc

N

X

k=1

kⁱ1_[Tn=k](ω) = jⁱ1_[Tn=j](ω) = jⁱ =T_nⁱ(ω).

Finalement : ∀ω∈Ω, T_nⁱ(ω) =

N

X

k=1

kⁱ1_Tn=k](ω), donc

N

X

k=1

kⁱ1_Tn=k] =T_nⁱ. (b) Pour k∈ {1, . . . , N}, θ_k =E(T_n+1/[T_n =k]) = N + 1

2 + k² 2N − k

2N. On en déduitW_θ(T_n) =

N

X

k=1

θ_k1_[Tn=k] = N + 1 2

N

X

k=1

1_[Tn=k]+ 1 2N

N

X

k=1

k²1_[Tn=k]− 1 2N

N

X

k=1

k1_[Tn=k]. Ce qui donne avec le résultat précédent : W_θ(T_n) = N + 1

2 + 1

2N(T_n²−T_n).

Partie IV Estimation

17. (a) D’après 4(b), E(T_n)tend vers N lorsque n tend vers +∞.

(b) D’après 4(c),V(T_n) tend vers 0lorsque n tend vers +∞.

(c) Lorsquen devient grand,Tn se comporte quasiment comme une variable d’espérance N et de variance nulle, soit une variable constante égale àN : lorsquen devient grand, T_n prend une valeur proche de N, donc fournit une estimation de N.

18. (a) Par indépendance des variables U₁, . . . , U_n, et d’après la loi U, on a :

∀(u₁, . . . , u_n)∈ {1, . . . , N}^N P

n

\

i=1

[U_i =u_i]

!

=

n

Y

i=1

P(U_i =u_i) = 1 Nⁿ. (b) Par définition d’une probabilité conditionnelle, on a :

P_[Tn=k]

n

\

i=1

[U_i =u_i]

!

= P

_n

\

i=1

[U_i =u_i]

!

∩[T_n =k]

!

P(T_n=k) .

Or siu_i ∈ {1, . . . , N/ } alors [U_i =u_i] =et par la définition de T_n simax(u_i)6=k alors

n

\

i=1

[U_i =u_i]∩[T_n =k] =.

Si ∀i∈ {1, . . . , n} etmax(u_i) =k alors

n

\

i=1

[U_i =u_i]∩[T_n=k] =

n

\

i=1

[U_i =u_i] d’où

P_[Tn=k]

n

\

i=1

[U_i =u_i]

!

=













 P

n

\

i=1

[U_i =u_i]

!

P(T_n=k) = 1

kⁿ−(k−1)ⁿ si16ui 6N etmax(ui) =k

0 sinon

.

19. On pose S_n =T_n+Z_n−1 etψ_n(k) = kⁿ⁺¹−(k−1)ⁿ⁺¹ kⁿ−(k−1)ⁿ .

(a) Snest une variable aléatoire fonction, indépendante deN, dun-échantillon iid(U1, . . . , Un) de la loi U. De plus E(S_n) = E(T_n) +E(Z_n)−1 = N −d_n(N) + 1 +d_n(N)−1 = N. On en déduit que S_n est un estimateur sans biais deN.

(b) S_n est une variable aléatoire discrète finie alors pour k∈ {1, . . . , N} E(Sn/[Tn =k]) =E(Tn/[Tn=k]) +E(Zn/[Tn =k])−1.

On a calculéE(Z_n/[T_n=k])dans la question 9b) etE(T_n/[T_n =k]) =

N

X

i=1

iP_[Tn=k](T_n =i) = k, d’où

E(S_n/[T_n =k]) =k+ kⁿ

kⁿ−(k−1)ⁿ −1 = kⁿ⁺¹−k(k−1)ⁿ+kⁿ−kⁿ+ (k−1)ⁿ kⁿ−(k−1)ⁿ

E(S_n/[T_n =k]) = kⁿ⁺¹−(k−1)ⁿ(k−1)

kⁿ−(k−1)ⁿ =ψ_n(k)

(c) ψ_n(T_n)est une variable aléatoire ne dépendant pas deN, qui, par le théorème de transfert (Tn(Ω) est inclus dans le domaine de définition de ψn), admet une espérance et

E(ψ_n(T_n)) =

N

X

k=1

ψ_n(k)P(T_n=k) =

N

X

k=1

kⁿ⁺¹−(k−1)ⁿ⁺¹ Nⁿ

Par télescopage, il reste : E(ψ_n(T_n)) = Nⁿ⁺¹ Nⁿ =N

(d) On pose ϕ_n(k) = E(S_n²/[T_n=k])pour k entier compris entre 1 et N.

Soit la fonction f :λ7→E((S_n−λ)²/[T_n =k]), il est clair que f est à valeurs positives et par linéarité de l’espérance on a :f(λ) = ϕ_n(k)−2λψ_n(k) +λ²

donc en particulier 06f(ψ_n(k))et f(ψ_n(k)) =ϕ_n(k)−ψ²_n(k)donc ψ²_n(k)6ϕ_n(k).

On en déduit, par produit par un terme positif et par somme, que :

N

X

k=1

ψ_n²(k)P(T_n=k)6

n

X

k=1

ϕ_n(k)P(T_n=k) Ce qui donne, par le théorème de transfert et la formule de l’espérance totale : E(ψ_n²(T_n))6E(S_n²).

Or E(ψ_n(T_n) =N =E(S_n)alors par la formule de Huygens, on a : V(ψ_n(T_n))6V(S_n).

(e) Par formule sur la variance d’une somme de variables aléatoires, on a : V(S_n) = V(T_n) +V(Z_n) + 2Cov(Z_n, T_n)

On a vu V(Z_n) = V(T_n) et on a calculé Cov(T_n, Z_n) dans la question 8b), on a donc

V(S_n) = 2 ((2N −1)d_n(N)−2N d_n+1(N)−d²_n(N) +N d_n+1(N) +d_n(N)−N d_n(N +d²_n(N)) V(S_n) = N d_n(N)−N d_n+1(N) = N(d_n(N)−d_n+1(N))

On en déduit que lim

n→+∞V(S_n) = 0 et puisque 0 6 V(ψ_n(T_n)) 6 V(S_n), par théorème d’encadrement, on a aussi lim

n→+∞V(ψ_n(T_n)) = 0.

(ψ_n(T_n))est une suite d’estimateurs deN sans biais dont la variance tend vers0lorsque n tend vers +∞, on sait alors (par inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

∀ε >0, P (|ψ_n(T_n)−N|>ε)6 V(ψ_n(T_n))

ε² ), que la suite d’estimateurs deN (ψ_n(T_n))

est convergente.

20. R_n est un estimateur sans biais du paramètre N. On pose pour k entier compris entre1 et N : f_n(k) =E(R_n/[T_n=k]).

(a) On va supposer ici que Rn admet une variance, alors en utilisant la fonction positive λ7→E((R_n−λ)²/[T_n=k])comme fait en question précédente, on trouve :

∀λ∈R, 06E((R_n−λ)²/[T_n=k]) =λ²−2λf_n(k) +E(R²_n/[T_n=k]) et pour λ=f_n(k), on a :

∀k ∈ {1, . . . , N}, 06−fn(k)²+E(R²_n/[Tn=k]).

Par produit parP(T_n=k)>0puis par somme pourk allant de 1 àN, on obtient avec la formule de l’espérance totale : 06−

N

X

k=1

f_n(k)²P(T_n =k) + E(R²_n), et par le théorème de transfert : 06E(R²_n)−E(f_n²(T_n)) (∗).

Toujours par le théorème de transfert et la formule de l’espérance totale, on a E(fn(Tn)) =

N

X

k=1

fn(k)P(Tn =k) =E(Rn) = N, d’où finalement par la formule de Huy- gens et (∗), on a : 06V(fn(Tn))−V(Rn).

(b) On suppose que pour toutN ∈N^∗,E(F(T_n)) =N =

N

X

k=1

F(k)P(T_n=k). Montrons par récurrence sur k ∈N^∗, queF(k) =ψ_n(k).

On rappelle que E(ψn(Tn)) =N. En prenantN = 1,N =E(F(T_n)) =

N

X

k=1

F(k)P(T_n=k) = F(1) et E(ψ_n(T_n)) = N =

N

X

k=1

ψ_n(k)P(T_n =k) =ψ_n(1), doncF(1) =ψ_n(1).

Supposons que pour k fixé dans N^∗, on ait∀i∈ {1, . . . , k} F(i) = ψ_n(i).

En prenantN =k+ 1, on aura N =E(F(Tn)) =

N

X

i=1

F(i)P(Tn =i) =

k

X

i=1

ψn(i)P(Tn =i) +F(k+ 1)P(Tn =k+ 1), et par application de l’hypothèse de récurrence faite ci-dessus, on a :

N =E(F(T_n)) =E(ψ_n(T_n))−ψ_n(k+ 1)P(T_n=k+ 1) +F(k+ 1)P(T_n=k+ 1), N =N+P(Tn=N) (F(k+ 1)−ψn(k+ 1)).

Or P(T_n =N)6= 0, donc F(k+ 1) =ψ_n(k+ 1). ce qui termine la récurrence : On a ainsi : ∀k∈N^∗, F(k) = ψ_n(k).

Ce qui donne bien sûr : ∀N ∈N^∗, ∀k ∈ {1, . . . , N}, F(k) =ψn(k).

(c) Soit R_n une variable d’espérance N, par le résultat 20a) et 20b), on a f_n(T_n) a pour espérance N et donc ∀k∈ {1, . . . , N}, f_n(k) = ψ_n(k). ce qui entraine :

∀ω ∈Ω, f_n(T_n(ω)) =ψ_n(T_n(ω))ce qui signifie que f_n(T_n) = ψ_n(T_n) et on a : V(fn(Tn))6V(Rn) et V(fn(Tn)) =V(ψn(Tn))donc V(ψn(Tn))6V(Rn).

ψ_n(T_n) est donc une variable d’esprance N optimale, on dit c’est un « estimateur sans biais deN optimal » (de variance minimale).