Devoir Maison No. 2, Alg`ebre Lin´eaire, Licence L2, UPS, 2010-2011.
Exercise 1(Somme des carr´es des coefficients). Soit (E,h., .i) un espace eucli- dien de dimensionn, et soitφ∈End(E).
1) Montrer que, si (ei) et (fk) sont deux bases orthonormales deE, alors
n
X
i=1
kφ(ei)k2=
n
X
i=k
kφ∗(fk)k2. (Indication: utiliser la formulekxk2=P
ihx, eii2=P
khx, fki2).
2) En d´eduire que la quantit´e Pn
i=1kφ(ei)k2 est ind´ependante de la base orthonormale choisie.
3) Soit A = (aij)j=1,...,ni=1,...,n une matrice r´eelle sym´etrique, et λ1, . . . , λn ses valeurs propres, compt´es avec leur multiplicit´e. Montrer que
X
1≤i,j≤n
a2ij =
n
X
i=k
λ2k.
Exercise 2 (D´ecomposition polaire). Soit (E,h., .i) un espace euclidien. Un endomorphisme sym´etriqueφdeEest ditd´efini positif si pour toutx∈E, x6= 0 on ah, φ(x), xi>0.Notons S(E) l’ensemble des endomorphismes sym´etriques deE, etS++(E) l’ensemble des endomorphismses d´efinis positifs.
1) Soit φ ∈ S(E). Montrer que φ ∈ S++(E) si et seulement si toutes les valeurs propres deφsont strictement positives.
2) Soientφ∈S++(E) ,γ1, . . . , γp ses valeurs propres positives distinctes, et Ei= ker(φ−γiIdE).On d´efinitψi(x) =√
γixsix∈Ei etψi(x) = 0 six∈Ei⊥. On note enfin ψ=ψ1+. . .+ψp. Montrer queψ2 :=ψ◦ψ=φ, et que ψest sym´etrique d´efini positif.
3) Soit ζ un autre endomorphisme sym´etrique d´efini positif de E tel que ζ2=φ.
a) Montrer queζψ =ψζ.
b) En d´eduire queζ(Ei) =Ei pour touti= 1, . . . , p.
c) Montrer que la restriction deζ sur Ei coincides avec la restriction deψ sur Ei.
d) En d´eduire queζ=ψ(c.a.d., tout morphisme sym´etrique d´efini positif admet une uniqueracine carr´eedansS++(E))
4) Soitf ∈GL(E) (c.`a.d. f ∈End(E) inversible).
a) Montrer quef∗◦f ∈S++(E)
b) Soitgla racine carr´ee def∗◦f dansS++(E). Montrer quef◦g−1∈O(E).
c) En d´eduire que tout endomorphisme inversible f de E se factorise de fa¸con unique comme composition d’un endomorphisme orthogonal de E avec un en- domorphisme sym´etrique d´efini positif deE: il existe un unique couple (h, g)∈ O(E)×S++(E) tel quef =h◦g.(Cette factorisation s’appelle lad´ecomposition polaire def).
5) SoitE=R3avec le produit scalaire canonique. Calculer la d´ecomposition polaire de l’endomorphisme deR3 donn´e par la matrice suivante (dans la base canonique):
A=
2 1 1
3 0 0
−1 5 0
.
1
