x =(3 , 2 , 1 , 4) 3 i +1 i x ≤ x i ∈{ 1 ,...,n } 1 n i +1 i x =( x ,...,x ) min { i ∈{ 1 ,...n − 1 }| x >x } x =(3 , 2 , 1 , 4) 1 1 n i +1 i x =( x ,...,x ) card { i ∈{ 1 ,...n − 1 }| x >x } x cos ( x )= x [ − 10 , 10] 2 x ∈ [ − 10 , 10] y = x f ( x )= x

(1)

EURIA 1ère année

Examen du jeudi18 déembre 2014.

Polyopié distribuéen ours etnotes manusritesautorisés.

L'utilisationd'internet est interdite durant l'épreuve.

Durée : 1 heure 30

Exerie 1 Cet exerie est à réaliser en utilisant R. On donnera toutes les

ommandes R utilisées.

1. Traer sur un même graphiquele graphede lafontion

f(x) = x ² cos(x)

^en

noir et ladroite

y = x

^en ^rouge. ^On restreindra lafenêtre graphique aux intervalles

x ∈ [−10, 10]

^.^Reproduire shématiquement le graphiquesur la opie.

2. Trouvertoutes lesrainesde l'équation

x ² cos(x) = x

^sur l'intervalle

[−10, 10]

^.

Erire une fontion qui alulele nombre de termes stritement roissants dans un

veteur

x = (x 1 , ..., x n )

^, ^'est ^à^dire

card{i ∈ {1, ...n − 1}|x i+1 > x i }

^. ^Par^exemple,

pour

x = (3, 2, 1, 4)

^,^la^fontion^renverra ^la^valeur

1

^.Ôn ^ériraûne ^version âve ûne

boulefor et une versionsans boule.

Erire une fontionqui alulel'indiedu premiertermestritementroissant dans

un veteur

x = ( x 1 , ..., x n )

^,^'est ^à^dire

min { i ∈ {1 , ...n − 1}| x i+1 > x i }

^.^La^fontion

renverra le message'La suiteest déroissante' si

x i+1 ≤ x i

^pour ^tout

i ∈ {1, ..., n}

^.

Parexemple, pour

x = (3, 2, 1, 4)

^,^la^fontion ^renverra ^la ^valeur

3

^.^On ^érira^une

version ave une boule while etune version sans boule.

Un amivous propose le jeu suivant. On lane un dé. Sile résultatest 5ou 6,on

gagne 3euros, sile résultatest 4 ongagne 1euro etsi 'est 3ou moinsonperd 2.5

euros. Avantd'aepter la partie,vous essayez de simuler e jeu,pour voir sivous

avez des hanes de vous enrihir. Conlusion?

Exerie 5

Reprendre l'exerie préédent en utilisant letableur de votre hoix. On dérira

toutes lesommandes utilisées.

x =(3 , 2 , 1 , 4) 3 i +1 i x ≤ x i ∈{ 1 ,...,n } 1 n i +1 i x =( x ,...,x ) min { i ∈{ 1 ,...n − 1 }| x >x } x =(3 , 2 , 1 , 4) 1 1 n i +1 i x =( x ,...,x ) card { i ∈{ 1 ,...n − 1 }| x >x } x cos ( x )= x [ − 10 , 10] 2 x ∈ [ − 10 , 10] y = x f ( x )= x

f(x) = x 2 cos(x)

y = x

x ∈ [−10, 10]

x 2 cos(x) = x

[−10, 10]

x = (x 1 , ..., x n )

card{i ∈ {1, ...n − 1}|x i+1 > x i }

x = (3, 2, 1, 4)

1

x = ( x 1 , ..., x n )

min { i ∈ {1 , ...n − 1}| x i+1 > x i }

x i+1 ≤ x i

i ∈ {1, ..., n}

x = (3, 2, 1, 4)

3

f(x) = x ² cos(x)

x ² cos(x) = x